Fourierreihen 1 Einleitungsgedanke 2 Definitionen und Eigenschaften

Faddeenkov Igor
Hauptseminar " Early Fourier Analysis "
Prof. Dr. Caroline Lasser
22.10.2015
Fourierreihen
1 Einleitungsgedanke
Im Gegensatz zur DFT schaut man sich im folgenden Funktionen mit Periode 1 an. Auch hier versucht
man mithilfe einer Linearkombination von Basisfunktionen e(nx)
∞
X
f (x) =
cn e(nx)
(1)
n=−∞
eine beliebige Funktion f darzustellen.
2 Denitionen und Eigenschaften
Nach Umtauschen der cn (n ∈ Z) bekommt man als alternative Schreibweise für f ,
∞
X
1
(an cos(2πnx) + bn sin(2πnx))
f (x) = a0 +
2
(2)
n=1
wobei
bn = icn − ic−n
an = cn + c−n ,
(3)
oder wenn man nach den cn auöst:
1
c−n = (an + ibn )
(4)
2
R
Schreibe für ”f ist 1−periodisch und 01 |f (x)| dx < ∞” im folgenden: f ∈ L1 (T)
1
cn = (an − ibn ),
2
Anmerkung:
Denition 2.1. Sei f
∈ L1 (T). Setze für n ∈ Z
Z
1
fb(n) =
f (x)e(−nx)dx
(5)
0
Die fb(n) bezeichnet man als Fourier-Koezienten und die durch diese ausgedrückte Reihe
∞
X
fb(n)e(nx)
(6)
n=−∞
nennt man Fourierreihe von f. Diese fb(n) sind eindeutig bestimmt, d.h. durch sie wird f (x) ausgedrückt. Damit gilt: cn = fb(n).
1
Durch diese eindeutige Festlegung der Fourierkoezienten gilt damit:
1
Z
Z
1
f (x) cos(2πnx) dx (n ≥ 0) und bn = 2 ·
an = 2 ·
f (x) sin(2πnx) dx (n > 0)
(7)
0
0
bzw.
1
1
1
fb(n) = (an − ibn ) (n > 0), fb(n) = (an − ibn ) (n > 0) und fb(n) = a0 (n = 0)
2
2
2
R
Insbesondere gilt für den nullten (konstanten) Fourierkoezienten: fb(0) = 12 a0 = 01 f (x) dx
R
Lemma 1. Sei f 1-periodisch und 01 f (x) dx existiere. Dann gilt für a ∈ R:
Z
a+1
Z
(8)
1
f (x) dx
f (x) dx =
0
a
Im Buch sind weitere Eigenschaften wie z.B. die Linearität, Beschränktheit oder die Dreicksungleichung angegeben.
Als Beispiele sind die Sägezahnfunktion, die Sägezahnfunktion mit einer Unstetigkeitsstelle sowie die
Rechtecksschwingung-Funktion gegeben.
Nun benutzt man das
Lemma 2. Sei f
∈ L1 (T). Dann gilt:
Z
lim
1
δ→0 0
|f (x + δ) − f (x)| dx = 0.
um das folgende wichtige Resultat zu zeigen:
Theorem 3. Riemann-Lebesgue-Lemma
Sei f ∈ L1 (T). Dann gilt:
lim fb(n) = 0.
n→±∞
Theorem 4. Sei f
Rx
∈ L1 (T) und setze F (x) := 0 f (u) du − fb(0)x.
fb(n)
Dann ist F (x) stetig, 1-periodisch, es gilt Fb(n) = 2πin
für alle n 6= 0 und es gilt
Z
1
Fb(0) =
0
Corollary 1. Sei
1
− x F (x)dx
2
f eine stetige und 1-periodische Funktion. Es soll zusätzlich ein f 0 ∈ L1 (T) und
ein c ∈ R geben, so dass
Z
x
f (x) = c +
f 0 (u) du ∀x.
(9)
0
Dann ist
fb0 (n) = 2πinfb(n) ∀n.
Anmerkung: Die Stetigkeit von f ist wichtig, wie man an der unstetigen Sägezahnfunktion sieht.
Nun kann man von der Form der Funktion f auf die Eigenschaften der Koezienten an , bn schliessen:
2
Theorem 5. Sei
f ∈ L1 (T) und die Koezienten bn wie in (3) deniert. Falls f für 0 < x < 1
monoton fallend ist, so sind die bn ≥ 0 für alle positiven ganzen Zahlen n.
Lemma 6. Sei f eine konvexe Funktion in ]0, 1[. Dann gilt
1
Z
f (x) cos(2πx) dx ≥ 0
0
.
Theorem 7. Sei
f ∈ L1 (T) und die Koezienten an wie in (3) deniert. Falls f für 0 < x < 1
schwach konvex ist, so sind die an ≥ 0 für alle postiven ganzen Zahlen n.
3 Andere Perioden
Für Funktionen mit einer beliebigen Periode P transformiert man diese auf 1-periodische Probleme,
löst sie, und transformiert sie zurück.
Sei f mit bel. Periode P > 0 gegeben, g(x) = f (P x) die auf die Periode 1 transformierte Funktion.
Dann lautet die Fourierreihe von f (x) = g(x/P ):
1
cn = gb(n) =
P
Z
∞
P
n=−∞
cn e(nx/P ) mit
P
(10)
f (x)e(−nx/P ) dx
0
oder nach ähnlichen Umformungen wie oben
2
an =
·
P
Z
P
f (x) cos(2πnx/P ) dx
2
bn =
·
P
und
0
Z
P
f (x) sin(2πnx/P ) dx.
(11)
0
4 Faltung
Sei f ∈ L1 (T) und g ∈ L1 (T). Die Faltung von f und g ist gegeben durch
Z
h(x) = (f ∗ g)(x) =
1
(12)
f (u) g(x − u) du
0
Es gilt f ∗ g = g ∗ f, sowie
Theorem 8. Sei f, g und h wie in (13) deniert. Dann ist h(x) 1-periodisch und es gilt
Z
1
Z
|h(x)| dx ≤
0
1
Z
|f (u)| du ·
0
1
|g(v)| dv
(13)
0
sowie
b
h(n) = fb(n)b
g (n) ∀n.
(14)
Alternative Schreibweise: ||f ∗ g||1 ≤ ||f ||1 · ||g||1
Anmerkung:
f ∗ g ist glatter als f und g . Zusätzlich konvergieren die Fourierkoezienten von f ∗ g
schneller gegen 0, als die von f oder von g .
Theorem 9. Sei f eine beschränkte, 1-periodische Funktion und sei g ∈ L1 (T). Dann ist f ∗ g eine
stetige Funktion und max |f ∗ g| ≤ ||f ||∞ · ||g||1 .
Im Anschluss wird die Faltung zweier unbeschränkter Funktionen betrachtet.
3