Logik und Diskrete Strukturen, WS 08/09

Logik und Diskrete Strukturen, WS 08/09
Übungsblatt 12
Universität Bonn, Institut für Informatik I
Letzter Übungszettel im Semester
Abgabe: Dienstag 27.1.2009, bis 09.10 Uhr, vor HS D
Aufgabe 1:
Normalformen
Wir betrachten folgende Wahrheitstafel:
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r α
0 0
1 0
0 1
1 1
0 0
1 1
0 0
1 1
a) Finden Sie einen nur die Variablen p, q, r enthaltenden aussagenlogsichen Ausdruck α in konjunktiver Normalform, welcher die obige Wahrheitstafel liefert.
b) Wie Teil a), aber mit disjunktiver Normalform.
Aufgabe 2:
Äquivalenzrelationen von aussagenlogischen Ausdrücken
Sei A die Menge der aussagenlogischen Ausdrücke, in denen höchstens die Variablen
{p, q, r, s, t} vorkommen. Wir definieren eine Relation auf A und A durch:
α ∼ β genau dann, wenn für jede Bewertung der Variablen p, q, r, s, t die Aussagen α
und β den gleichen Wahrheitswert annehmen.
a) Zeigen Sie: ∼ ist eine Äquivalenzrelation.
Mit A∼ bezeichnen wir die Menge der Äquivalenzklassen.
b) Für zwei Äquivalenzklassen C1 , C2 ∈ A∼ und aussagenlogische Ausdrücke α ∈
C1 , β ∈ C2 bezeichnen wir nun diejenige Äquivalenzklasse als F (C1 , C2 ), die
(α ∧ β) enthält. Zeigen Sie, dass dadurch eine Abbildung F : A∼ × A∼ −→ A∼
wohldefiniert ist.
c) Bildet (A∼ , F ) eine Gruppe?
Bitte wenden!
Aufgabe 3:
Wiederholung [keine Abgabe vorgesehen]
Setzen Sie sich auseinander mit:
Mengen, Teilmengen, Komplemente, Vereinigung, Kartesisches Produkt, Durchschnitte, Potenzmengen, Mächtigkeit einer Menge, Relationen, Äquivalenzrelationen, Reflexivität, Symmetrie, Transitivität, Abbildungen, Injektivität, Surjektivität, Bijektivität, Wohldefiniertheit, Signaturen, Strukturen, Gruppen, zyklische Gruppen, Assoziativität, Kommutativität, abelsch, Gruppenordnung, Untergruppen, Zahnradproblem, a ≡ b (mod n), Chinesischer Restsatz, Ringe, Restklassenring, Nullteiler, Einheiten, Körper, Kleiner Fermat’scher Satz, Homomorphismen, Isomorphismen, Graphen, Eulersche Graphen, Hamiltonsche Graphen, Planarität, ¡Beispiele
nicht plana¢
n
rer Graphen, vollständige Induktion, binomischer Lehrsatz, n!, k , rekursiv definierte
Folgen, ggT, Euklidscher Algorithmus und Zahl dafür benötigter Schritte, Primzahlen,
Abzählbarkeit/Überabzählbarkeit von Mengen, Schubfachprinzip, Aussagen, Negation, AL(Π), Bewertung, Erfüllbarkeit, Gültigkeit, Wahrheitstafeln, Aussagenlogischer
Kalkül, kontradiktorisch, Zusammenhang von Herleitbarkeit und Gültigkeit, Normalformen
Hinweise:
• Was sind jeweils die zentralen Definitionen und Resultate zu diesen Begriffen?
• Welche Zusammenhänge zwischen diesen Begriffen gibt es?
• Diskutieren Sie den Stoff mit Ihren Mitstudenten!
• Wenn Sie Unsicherheiten verspüren oder Fragen bleiben, nutzen Sie die Übungsgruppen zur Klärung!
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