Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
Gebrauchsanleitung für Studierende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Bausteine mathematischen Denkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1.1
1.2
Erste Schritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lesen und Schreiben mathematischer Texte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Texterarbeitung und Übung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
10
2
2.1
2.2
2.3
Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
27
33
3
3.1
3.2
3.3
Mengen, Relationen, Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
47
61
78
4
4.1
4.2
4.3
Größter gemeinsamer Teiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
84
93
96
5
5.1
5.2
5.3
Aussagenlogik und Widerspruchsbeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
102
110
115
6
6.1
6.2
6.3
Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
120
129
133
7
7.1
7.2
7.3
Abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
138
143
150
8
8.1
8.2
8.3
Kommutative Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
154
159
163
I
II
Die Konstruktion der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9
Vollständige geordnete Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
xii
Inhaltsverzeichnis
9.1
9.2
9.3
Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.1 Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.2 Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11 Addition und Multiplikation auf den natürlichen Zahlen . . . . . 211
11.1 Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.2 Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12 Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12.1 Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
12.2 Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13 Von den ganzen zu den rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
13.1 Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13.2 Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
14 Von den rationalen zu den reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.1 Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
14.2 Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
15 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
15.1 Texterarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
15.2 Übung und Selbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
16 Lösungsvorschläge für die Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1 Erste Schritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Mengen, Relationen, Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Größter gemeinsamer Teiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5 Aussagenlogik und Widerspruchsbeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.7 Abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.8 Kommutative Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.9 Vollständig angeordnete Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.10 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.11 Addition und Multiplikation auf den natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . .
16.12 Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.13 Von den ganzen zu den rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.14 Von den rationalen zu den reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.15 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.16 Lösungen zu den Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
275
275
276
286
312
316
322
330
339
344
359
361
367
370
374
377
380
Bloom’sche Taxonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
Inhaltsverzeichnis
xiii
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Mathematische Symbole und Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
http://www.springer.com/978-3-662-45511-1