Themen: Gleitpunktzahlen und Maschinengenauigkeit

1 Grundlagen
Themen:
◮
Gleitpunktzahlen und Maschinengenauigkeit
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1 Grundlagen
Themen:
◮
Gleitpunktzahlen und Maschinengenauigkeit
◮
Vektor- und Matrizennormen
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1 Grundlagen
Themen:
◮
Gleitpunktzahlen und Maschinengenauigkeit
◮
Vektor- und Matrizennormen
◮
Stabilität linearer Gleichungssysteme
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.1
Gleitpunktarithmetik und Rundungsfehler
Eine Gleitpunktzahl, auch Gleitkommazahl genannt, im
Dezimalsystem ist von der Form
x = 0.d1 d2 . . . dt ×10k , di ∈ {0, 1, . . . , 9}, (= t gültige Stellen)
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.1
Gleitpunktarithmetik und Rundungsfehler
Eine Gleitpunktzahl, auch Gleitkommazahl genannt, im
Dezimalsystem ist von der Form
x = 0.d1 d2 . . . dt ×10k , di ∈ {0, 1, . . . , 9}, (= t gültige Stellen)
mit
d1 6= 0 für x 6= 0 und
− m ≤ k ≤ m.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.1
Gleitpunktarithmetik und Rundungsfehler
Eine Gleitpunktzahl, auch Gleitkommazahl genannt, im
Dezimalsystem ist von der Form
x = 0.d1 d2 . . . dt ×10k , di ∈ {0, 1, . . . , 9}, (= t gültige Stellen)
mit
d1 6= 0 für x 6= 0 und
− m ≤ k ≤ m.
Es gibt also nur endlich viele Gleitpunktzahlen!
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.1
Gleitpunktarithmetik und Rundungsfehler
Eine Gleitpunktzahl, auch Gleitkommazahl genannt, im
Dezimalsystem ist von der Form
x = 0.d1 d2 . . . dt ×10k , di ∈ {0, 1, . . . , 9}, (= t gültige Stellen)
mit
d1 6= 0 für x 6= 0 und
− m ≤ k ≤ m.
Es gibt also nur endlich viele Gleitpunktzahlen!
Setze m = ∞ voraus.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Maschinengenauigkeit
Es sei
Grundlagen
M = Menge der Gleitpunktzahlen.
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Maschinengenauigkeit
Es sei
Grundlagen
M = Menge der Gleitpunktzahlen.
Die Maschinengenauigkeit eps ist die kleinste positive Zahl in
M mit
1. + eps > 1. == true.
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Maschinengenauigkeit
Es sei
Grundlagen
M = Menge der Gleitpunktzahlen.
Die Maschinengenauigkeit eps ist die kleinste positive Zahl in
M mit
1. + eps > 1. == true.
In die Maschinengenauigkeit geht ein:
◮
Zahl t der gültigen Stellen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Maschinengenauigkeit
Es sei
Grundlagen
M = Menge der Gleitpunktzahlen.
Die Maschinengenauigkeit eps ist die kleinste positive Zahl in
M mit
1. + eps > 1. == true.
In die Maschinengenauigkeit geht ein:
◮
Zahl t der gültigen Stellen
◮
Art der Rundung (normales Auf- und Abrunden bzw.
Abschneiden)
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Maschinengenauigkeit
Es sei
Grundlagen
M = Menge der Gleitpunktzahlen.
Die Maschinengenauigkeit eps ist die kleinste positive Zahl in
M mit
1. + eps > 1. == true.
In die Maschinengenauigkeit geht ein:
◮
Zahl t der gültigen Stellen
◮
Art der Rundung (normales Auf- und Abrunden bzw.
Abschneiden)
Beides hängt von der Programmiersprache und/oder dem
Rechner ab.
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Maschinengenauigkeit
Es sei
Grundlagen
M = Menge der Gleitpunktzahlen.
Die Maschinengenauigkeit eps ist die kleinste positive Zahl in
M mit
1. + eps > 1. == true.
In die Maschinengenauigkeit geht ein:
◮
Zahl t der gültigen Stellen
◮
Art der Rundung (normales Auf- und Abrunden bzw.
Abschneiden)
Beides hängt von der Programmiersprache und/oder dem
Rechner ab.
Vorsicht: Das Rechenwerk arbeitet i.a. genauer.
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Feststellung von eps
program
eps=1
1 eps=0.99*eps
if(masch(1.+eps)==1) goto 1
write eps
end
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Feststellung von eps
program
eps=1
1 eps=0.99*eps
if(masch(1.+eps)==1) goto 1
write eps
end
Das aufgerufene Funktionsunterprogramm ist
function masch(q)
masch=0
if(q>1.) masch=1
end
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Feststellung von eps
program
eps=1
1 eps=0.99*eps
if(masch(1.+eps)==1) goto 1
write eps
end
Das aufgerufene Funktionsunterprogramm ist
function masch(q)
masch=0
if(q>1.) masch=1
end
Durch den Aufruf von masch muss 1.+q das Rechenwerk
verlassen.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Resultate für den fortran90 ifort-Compiler
Bytelänge
4
8
16
eps
0.6 · 10−7
1.0 · 10−16
1.0 · 10−34
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Resultate für den fortran90 ifort-Compiler
Bytelänge
4
8
16
eps
0.6 · 10−7
1.0 · 10−16
1.0 · 10−34
Diese Werte stimmen genau mit der üblichen Belegung der
Speicherplätze überein, wonach ein Byte für den Exponenten
und die übrigen Bytes für die Mantisse verwendet wird.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Resultate für den fortran90 ifort-Compiler
Bytelänge
4
8
16
eps
0.6 · 10−7
1.0 · 10−16
1.0 · 10−34
Diese Werte stimmen genau mit der üblichen Belegung der
Speicherplätze überein, wonach ein Byte für den Exponenten
und die übrigen Bytes für die Mantisse verwendet wird.
Für die Numerik sollte man 8 Bytes verwenden, was
manchmal als double precision bezeichnet wird.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Rundungsfehler
Es gibt eine Abbildung rd :
R → M mit
rd (x) = x(1 + ε) mit |ε| ≤ eps.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Rundungsfehler
Es gibt eine Abbildung rd :
R → M mit
rd (x) = x(1 + ε) mit |ε| ≤ eps.
Nach dem oben Gesagten sind Rundungsfehler relative
Fehler, was in diesem Modell berücksichtigt wird.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Gleitpunktoperationen
Die Gleitpunktoperationen ◦∗ : M × M → M sind dann
definiert durch
x ±∗ y = rd (x ± y ),
x ·∗ y = rd (x · y ),
x
x/∗ y = rd ( ).
y
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Gleitpunktoperationen
Die Gleitpunktoperationen ◦∗ : M × M → M sind dann
definiert durch
x ±∗ y = rd (x ± y ),
x ·∗ y = rd (x · y ),
x
x/∗ y = rd ( ).
y
Im Einklang mit dem oben Angeführten wird also
angenommen, dass in M exakt gerechnet und anschließend
gerundet wird.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Eigenschaften der Gleitpunktoperationen
Die Gleitpunktoperationen sind weder assoziativ noch
distributiv.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Eigenschaften der Gleitpunktoperationen
Die Gleitpunktoperationen sind weder assoziativ noch
distributiv.
Beispiel Wir betrachten die Addition +∗ bei t = 1 und
normaler Auf- und Abrundung:
(0.8 +∗ 0.6) +∗ 0.3 = 0.1 × 101
0.8 +∗ (0.6 +∗ 0.3) = 0.2 × 101
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Eigenschaften der Gleitpunktoperationen
Die Gleitpunktoperationen sind weder assoziativ noch
distributiv.
Beispiel Wir betrachten die Addition +∗ bei t = 1 und
normaler Auf- und Abrundung:
(0.8 +∗ 0.6) +∗ 0.3 = 0.1 × 101
0.8 +∗ (0.6 +∗ 0.3) = 0.2 × 101
Rechenzeiten: Was ist schneller für eine Gleitpunktzahl a
0.5 ∗ a,
a ∗ 0.5,
a/2,
a/2. ?
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Numerische Stabilität
R
R
Die Funktion f : n → sei stetig differenzierbar. Die
Auswertung von f heißt numerisch stabil, wenn es eine
Konstante K gibt mit
für alle ∆x ∈
f (x) − f (x + ∆x) |∆x|
≤K
f (x)
|x|
Rn mit ∆x genügend klein.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Numerische Stabilität
R
R
Die Funktion f : n → sei stetig differenzierbar. Die
Auswertung von f heißt numerisch stabil, wenn es eine
Konstante K gibt mit
f (x) − f (x + ∆x) |∆x|
≤K
f (x)
|x|
R
für alle ∆x ∈ n mit ∆x genügend klein.
q
|x| = x12 + . . . + xn2 ist hier die euklidische Norm des
Vektors x (siehe später).
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Numerische Stabilität
R
R
Die Funktion f : n → sei stetig differenzierbar. Die
Auswertung von f heißt numerisch stabil, wenn es eine
Konstante K gibt mit
f (x) − f (x + ∆x) |∆x|
≤K
f (x)
|x|
R
für alle ∆x ∈ n mit ∆x genügend klein.
q
|x| = x12 + . . . + xn2 ist hier die euklidische Norm des
Vektors x (siehe später).
In der Regel hängt die Konstante K auch von x selber ab.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Numerische Stabilität
Anschaulich bedeutet die numerische Stabilität, dass die
Rundungsfehler bei der Auswertung von f nur kontrolliert
verstärkt werden: Die Konditionszahl K sollte möglichst klein
sein.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Numerische Stabilität
Anschaulich bedeutet die numerische Stabilität, dass die
Rundungsfehler bei der Auswertung von f nur kontrolliert
verstärkt werden: Die Konditionszahl K sollte möglichst klein
sein.
Da Rundungsfehler relative Fehler sind, müssen auch in der
Definiton der numerischen Stabilität relative Fehler stehen.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel
Für die Addition f (x1 , x2 ) = x1 + x2 erhalten wir
f (x) − f (x + ∆x) ∆x + ∆x 1
2
≤?
=
f (x)
x1 + x2
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel
Für die Addition f (x1 , x2 ) = x1 + x2 erhalten wir
Es gilt
f (x) − f (x + ∆x) ∆x + ∆x 1
2
≤?
=
f (x)
x1 + x2
|∆x1 + ∆x2 | ≤
√
2(∆x12 + ∆x22 )1/2 =
√
2|∆x|
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel
Für die Addition f (x1 , x2 ) = x1 + x2 erhalten wir
Es gilt
f (x) − f (x + ∆x) ∆x + ∆x 1
2
≤?
=
f (x)
x1 + x2
|∆x1 + ∆x2 | ≤
√
2(∆x12 + ∆x22 )1/2 =
und
(x12 + x22 )1/2 ≤ |x1 | + |x2 |,
√
2|∆x|
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel
Falls x1 , x2 > 0
f (x) − f (x + ∆x) ∆x + ∆x √ |∆x|
1
2
.
≤ 2
=
f (x)
x1 + x2
|x|
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel
Falls x1 , x2 > 0
f (x) − f (x + ∆x) ∆x + ∆x √ |∆x|
1
2
.
≤ 2
=
f (x)
x1 + x2
|x|
Die Addition zweier positiver Zahlen ist also numerisch stabil
und die Subtraktion zweier ungefähr gleich großer Zahlen ist
instabil.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel
Falls x1 , x2 > 0
f (x) − f (x + ∆x) ∆x + ∆x √ |∆x|
1
2
.
≤ 2
=
f (x)
x1 + x2
|x|
Die Addition zweier positiver Zahlen ist also numerisch stabil
und die Subtraktion zweier ungefähr gleich großer Zahlen ist
instabil.
Auf die gleiche Weise leitet man her, dass Multiplikation und
Division numerisch stabile Operationen sind.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Die Differenz als Bösewicht
Die Subtraktion zweier ungefähr gleich großer Zahlen ist
instabil.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Die Differenz als Bösewicht
Die Subtraktion zweier ungefähr gleich großer Zahlen ist
instabil.
Vorkommen:
◮
Auswertung eines Polynoms in der Nähe einer Nullstelle
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Die Differenz als Bösewicht
Die Subtraktion zweier ungefähr gleich großer Zahlen ist
instabil.
Vorkommen:
◮
Auswertung eines Polynoms in der Nähe einer Nullstelle
◮
Bestimmung des Skalarprodukts zweier fast orthogonaler
Vektoren
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Fazit
◮
Akkumulation von Rundungsfehlern bei der Addition
nichtnegativer Zahlen verläuft linear in der Anzahl der
Summanden
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Fazit
◮
◮
Akkumulation von Rundungsfehlern bei der Addition
nichtnegativer Zahlen verläuft linear in der Anzahl der
Summanden
Sie kann durch die Verwendung einer höheren
Genauigkeit ausgeglichen werden
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Fazit
◮
◮
Akkumulation von Rundungsfehlern bei der Addition
nichtnegativer Zahlen verläuft linear in der Anzahl der
Summanden
Sie kann durch die Verwendung einer höheren
Genauigkeit ausgeglichen werden
Dagegen: Numerische Instabilität aufgrund Auslöschung kann
nur durch modifizierte Algorithmen behoben werden.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.2
Ein Beispiel
Für die reellen Zahlen p, q > 0 mit p >> q > 0 soll der
Ausdruck
p
y = −p + p 2 + q
in Gleitkommaarithmetik näherungsweise bestimmt werden.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.2
Ein Beispiel
Für die reellen Zahlen p, q > 0 mit p >> q > 0 soll der
Ausdruck
p
y = −p + p 2 + q
in Gleitkommaarithmetik näherungsweise bestimmt werden.
y ist die kleinere der beiden Nullstellen von
y 2 + 2py − q = 0.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Algorithmus 1
Das Standardverfahren zur Bestimmung von y ist sicherlich
die direkte Auswertung der obigen Formel
t = p2 + q
√
u= t
y = −p + u
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Algorithmus 1
Das Standardverfahren zur Bestimmung von y ist sicherlich
die direkte Auswertung der obigen Formel
t = p2 + q
√
u= t
y = −p + u
Unter der Voraussetzung p >> q > 0 ist p ∼ u, der
Algorithmus daher instabil.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Algorithmus 2
t = p2 + q
√
u= t
v =p+u
y = q/v
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Algorithmus 2
t = p2 + q
√
u= t
v =p+u
y = q/v
Liefert das gleiche wegen
q
p
y=
p + p2 + q
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Algorithmus 2
t = p2 + q
√
u= t
v =p+u
y = q/v
Liefert das gleiche wegen
p
q
q
p − p2 + q
p
p
p
y=
=
·
p + p2 + q
p + p2 + q p − p2 + q
p
p
q(p − p 2 + q)
p2 + q
=
−p
+
= 2
p − (p 2 + q)
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Algorithmus 2 ist numerisch stabil
In v = p + u haben wir nun zwei positive Zahlen addiert.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Algorithmus 2 ist numerisch stabil
In v = p + u haben wir nun zwei positive Zahlen addiert.
Die Auswertung der Wurzel ist ebenfalls numerisch stabil.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Algorithmus 2 ist numerisch stabil
In v = p + u haben wir nun zwei positive Zahlen addiert.
Die Auswertung der Wurzel ist ebenfalls numerisch stabil.
In der Tat erhalten wir bei zwölfstelliger Rechnung für
p = 1000,
q = 0.018 000 000 081
die Ergebnisse
Alg. 1 : 0.900 030 . . . × 10−5
Alg. 2 : 0.899 999 999 999 999 × 10−5 ,
der exakte Wert ist 0.9 × 10−5 .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.3
Vektor- und Matrizennormen
Sei X ein nicht notwendig endlich dimensionaler linearer
Vektorraum über = oder = .
K R
K C
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.3
Vektor- und Matrizennormen
Sei X ein nicht notwendig endlich dimensionaler linearer
Vektorraum über = oder = .
K R
R
K C
Eine Abbildung k · k : X → heißt Norm, wenn sie den
folgenden Bedingungen genügt:
(i) kxk ≥ 0 und
kxk = 0 ⇔ x = 0
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.3
Vektor- und Matrizennormen
Sei X ein nicht notwendig endlich dimensionaler linearer
Vektorraum über = oder = .
K R
R
K C
Eine Abbildung k · k : X → heißt Norm, wenn sie den
folgenden Bedingungen genügt:
(i) kxk ≥ 0 und
kxk = 0 ⇔ x = 0
(ii) kαxk = |α| kxk für alle α ∈
K und x ∈ X .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.3
Vektor- und Matrizennormen
Sei X ein nicht notwendig endlich dimensionaler linearer
Vektorraum über = oder = .
K R
R
K C
Eine Abbildung k · k : X → heißt Norm, wenn sie den
folgenden Bedingungen genügt:
(i) kxk ≥ 0 und
kxk = 0 ⇔ x = 0
(ii) kαxk = |α| kxk für alle α ∈
(iii) kx + y k ≤ kxk + ky k.
K und x ∈ X .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Diskussion der Norm
Anschaulich können wir uns vorstellen, dass die Norm von x
die Länge des Vektors x angibt oder, falls wir x als Punkt
ansehen, die Entfernung dieses Punktes zum Nullpunkt. In
dieser Interpretation sind alle Axiome sinnvoll:
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Diskussion der Norm
Anschaulich können wir uns vorstellen, dass die Norm von x
die Länge des Vektors x angibt oder, falls wir x als Punkt
ansehen, die Entfernung dieses Punktes zum Nullpunkt. In
dieser Interpretation sind alle Axiome sinnvoll:
kxk ≥ 0 und
kxk = 0 ⇔ x = 0
Abstände sind positiv, sofern es sich nicht um den Nullvektor
handelt.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Diskussion der Norm
Anschaulich können wir uns vorstellen, dass die Norm von x
die Länge des Vektors x angibt oder, falls wir x als Punkt
ansehen, die Entfernung dieses Punktes zum Nullpunkt. In
dieser Interpretation sind alle Axiome sinnvoll:
kxk ≥ 0 und
kxk = 0 ⇔ x = 0
Abstände sind positiv, sofern es sich nicht um den Nullvektor
handelt.
kαxk = |α| kxk für alle α ∈
K und x ∈ X .
Die Länge eines Vielfachen ist das Vielfache der Länge.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Diskussion der Norm
Anschaulich können wir uns vorstellen, dass die Norm von x
die Länge des Vektors x angibt oder, falls wir x als Punkt
ansehen, die Entfernung dieses Punktes zum Nullpunkt. In
dieser Interpretation sind alle Axiome sinnvoll:
kxk ≥ 0 und
kxk = 0 ⇔ x = 0
Abstände sind positiv, sofern es sich nicht um den Nullvektor
handelt.
kαxk = |α| kxk für alle α ∈
K und x ∈ X .
Die Länge eines Vielfachen ist das Vielfache der Länge.
kx + y k ≤ kxk + ky k.
Die Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Skalarprodukt und euklidische Norm
Für x, y ∈
Cn ist das Skalarprodukt definiert durch
(x, y ) =
n
X
xj y j .
j=1
Die euklidische Norm ist für Vektoren x ∈
definiert durch
|x| =
n
X
j=1
|xj |2
1/2
Cn (oder x ∈ Rn )
= (x, x)1/2 .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Euklidische Norm
|x| =
n
X
j=1
Grundlagen
|xj |
2
1/2
= (x, x)
1/2
.
Aufgrund des Satzes von Pythagoras handelt es sich hierbei
in der Tat um die Entfernung des Punktes x zum Nullpunkt.
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Euklidische Norm
|x| =
n
X
j=1
Grundlagen
|xj |
2
1/2
= (x, x)
1/2
.
Aufgrund des Satzes von Pythagoras handelt es sich hierbei
in der Tat um die Entfernung des Punktes x zum Nullpunkt.
Die Normaxiome (i) und (ii) sind klar, für die
Dreiecksungleichung benötigen wir ein Hilfsmittel:
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Die Cauchy-Ungleichung
Lemma Für x, y ∈
Cn gilt
|(x, y )| ≤ |x| |y |.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Die Cauchy-Ungleichung
Lemma Für x, y ∈
Cn gilt
|(x, y )| ≤ |x| |y |.
Beweis Für a, b ≥ 0 gilt die Youngsche Ungleichung
1
1
ab ≤ a2 + b2 ,
2
2
die man aus der binomischen Formel beweist.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis der Cauchy-Ungleichung
Mit der Youngschen Ungleichung erhalten wir
n
n
X
X
1 2 1 2 1 2 1 2
|xj | + |yj | ≤ |x| + |y | .
|(x, y )| = xj y j ≤
2
2
2
2
j=1
j=1
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis der Cauchy-Ungleichung
Mit der Youngschen Ungleichung erhalten wir
n
n
X
X
1 2 1 2 1 2 1 2
|xj | + |yj | ≤ |x| + |y | .
|(x, y )| = xj y j ≤
2
2
2
2
j=1
j=1
Für |x| = |y | = 1 ist die Ungleichung damit bewiesen.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis der Cauchy-Ungleichung
Mit der Youngschen Ungleichung erhalten wir
n
n
X
X
1 2 1 2 1 2 1 2
|xj | + |yj | ≤ |x| + |y | .
|(x, y )| = xj y j ≤
2
2
2
2
j=1
j=1
Für |x| = |y | = 1 ist die Ungleichung damit bewiesen.
Für x, y 6= 0 schreibe wieder
x = αx̃,
y = βỹ
mit |x̃| = |ỹ | = 1
und erhalte die Cauchy-Ungleichung.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis der Cauchy-Ungleichung
Mit der Youngschen Ungleichung erhalten wir
n
n
X
X
1 2 1 2 1 2 1 2
|xj | + |yj | ≤ |x| + |y | .
|(x, y )| = xj y j ≤
2
2
2
2
j=1
j=1
Für |x| = |y | = 1 ist die Ungleichung damit bewiesen.
Für x, y 6= 0 schreibe wieder
x = αx̃,
y = βỹ
mit |x̃| = |ỹ | = 1
und erhalte die Cauchy-Ungleichung.
Beachte das Homogenitätsargument!
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Nun zum Beweis der Dreicksungleichung für die Euklidische
Norm:
|x + y |2 = (x + y , x + y ) = |x|2 + 2(x, y ) + |y |2
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Nun zum Beweis der Dreicksungleichung für die Euklidische
Norm:
|x + y |2 = (x + y , x + y ) = |x|2 + 2(x, y ) + |y |2
≤ |x|2 + 2|x| |y | + |y |2 = (|x| + |y |)2 .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Frobenius-Norm
Für die euklidische Matrixnorm, auch Frobenius-Norm
genannt, schreiben wir entsprechend
|A| =
n
m X
X
j=1 k=1
|ajk |2
1/2
,
A∈
Cm×n oder A ∈ Rm×n .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Transponierte und adjungierte Matrix
Für Matrizen A ∈
Cm×n , A = (ajk )j=1,...,m, k=1,...,n setze
AT = (akj )k=1,...,n, j=1,...,m = transponierte Matrix
AH = (akj )k=1,...,n, j=1,...,m = adjungierte Matrix
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Transponierte und adjungierte Matrix
Für Matrizen A ∈
Cm×n , A = (ajk )j=1,...,m, k=1,...,n setze
AT = (akj )k=1,...,n, j=1,...,m = transponierte Matrix
AH = (akj )k=1,...,n, j=1,...,m = adjungierte Matrix
T
A =
1
1 + 2i
1
1 + 2i
,
1 + 3i
2
1 + 3i
1
H
, A =
2
1 − 2i
A=
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Beispiel
Grundlagen
1 − 3i
2
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Notation
Ist A ∈
Cn×n regulär, so gilt
(AH )−1 = (A−1 )H .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Notation
Ist A ∈
Cn×n regulär, so gilt
(AH )−1 = (A−1 )H .
Aus AA−1 = I folgt, dass
(A−1 )H AH = I H = I .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Notation
Ist A ∈
Cn×n regulär, so gilt
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
(AH )−1 = (A−1 )H .
Aus AA−1 = I folgt, dass
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
(A−1 )H AH = I H = I .
AH
Damit ist die Inverse von
gerade die Matrix
Diese Beziehung rechtfertigt die Schreibweise
(A−1 )H .
A−H = (A−1 )H sowie A−T = (A−1 )T .
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Alternative Definition
Mit dem euklidischen Skalarprodukt (·, ·) gilt
Cn ,
∀x, y ∈ Cn .
(Ax, y ) = (x, AT y ) ∀x, y ∈
(Ax, y ) = (x, AH y )
Grundlagen
A reell
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Alternative Definition
Mit dem euklidischen Skalarprodukt (·, ·) gilt
Cn ,
∀x, y ∈ Cn .
(Ax, y ) = (x, AT y ) ∀x, y ∈
(Ax, y ) = (x, AH y )
Grundlagen
A reell
Rechenregeln:
(AB)H = B H AH ,
insbesondere (AH A)H = AH A.
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Skalarprodukt
Vektoren werden auch als Spaltenmatrizen aufgefasst, daher:
n
Zeile mal Spalte X
y j xj = (x, y ).
yHx
=
j=1
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Symmetrische und hermitesche Matrizen
Rn×n heißt symmetrisch, wenn A = AT .
A ∈ Cn×n heißt hermitesch, wenn A = AH .
A∈
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Symmetrische und hermitesche Matrizen
Rn×n heißt symmetrisch, wenn A = AT .
A ∈ Cn×n heißt hermitesch, wenn A = AH .
A∈
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Bei hermiteschen Matrizen ist die zugehörige quadratische
Form reellwertig
q(x) := (Ax, x) = (x, AH x) = (x, Ax) = (Ax, x) ⇒ q(x) ∈
R.
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Äquivalenz der Normen im Endlichdimensionalen
Satz Auf endlich dimensionalen Räumen sind alle Normen
äquivalent, d.h. zu zwei Normen k · k1 und k · k2 auf einem
endlich dimensionalen Raum V gibt es Konstanten m, M > 0
mit
mkxk2 ≤ kxk1 ≤ Mkxk2 für alle x ∈ V .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Äquivalenz der Normen im Endlichdimensionalen
Satz Auf endlich dimensionalen Räumen sind alle Normen
äquivalent, d.h. zu zwei Normen k · k1 und k · k2 auf einem
endlich dimensionalen Raum V gibt es Konstanten m, M > 0
mit
mkxk2 ≤ kxk1 ≤ Mkxk2 für alle x ∈ V .
Anwendung In der numerischen Mathematik werden eine
Vielzahl von Matrixnormen verwendet, die demnach alle
äquivalent sind.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Äquivalenz der Normen im Endlichdimensionalen
Satz Auf endlich dimensionalen Räumen sind alle Normen
äquivalent, d.h. zu zwei Normen k · k1 und k · k2 auf einem
endlich dimensionalen Raum V gibt es Konstanten m, M > 0
mit
mkxk2 ≤ kxk1 ≤ Mkxk2 für alle x ∈ V .
Anwendung In der numerischen Mathematik werden eine
Vielzahl von Matrixnormen verwendet, die demnach alle
äquivalent sind.
Aber die Konstanten c1 , c2 hängen in der Regel von der
Raumdimension ab.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Inverse Dreiecksungleichung
Lemma Für jede Norm gilt die inverse Dreiecksungleichung
kx − y k ≥ kxk − ky k für alle x, y ∈ V .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Inverse Dreiecksungleichung
Lemma Für jede Norm gilt die inverse Dreiecksungleichung
kx − y k ≥ kxk − ky k für alle x, y ∈ V .
Beweis Mit der normalen Dreiecksungleichung folgt
kxk = k(x − y ) + y k ≤ kx − y k + ky k,
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Inverse Dreiecksungleichung
Lemma Für jede Norm gilt die inverse Dreiecksungleichung
kx − y k ≥ kxk − ky k für alle x, y ∈ V .
Beweis Mit der normalen Dreiecksungleichung folgt
kxk = k(x − y ) + y k ≤ kx − y k + ky k,
also
kx − y k ≥ kxk − ky k.
Vertauschen wir hier die Rollen von x und y , so ist das
Lemma bewiesen.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis des letzten Satzes
Es genügt, den Fall V =
Cn (oder V = Rn ) zu betrachten.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis des letzten Satzes
Cn (oder V = Rn ) zu betrachten.
Jede Norm k · k : Cn → R, x 7→ kxk ist stetig, denn wenn
Es genügt, den Fall V =
xk → x, so folgt aus dem letzten Lemma
kxk k − kxk ≤ kxk − xk → 0.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis des letzten Satzes
Cn (oder V = Rn ) zu betrachten.
Jede Norm k · k : Cn → R, x 7→ kxk ist stetig, denn wenn
Es genügt, den Fall V =
xk → x, so folgt aus dem letzten Lemma
kxk k − kxk ≤ kxk − xk → 0.
Die Einheitssphäre
S = {x ∈
ist kompakt.
Cn : |x| = 1}
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis des letzten Satzes
Da die Normen k · kj stetig sind, nehmen sie ihr Minimum
und Maximum auf S an, also
mj ≤ kxkj ≤ Mj
für alle x mit |x| = 1.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis des letzten Satzes
Da die Normen k · kj stetig sind, nehmen sie ihr Minimum
und Maximum auf S an, also
mj ≤ kxkj ≤ Mj
für alle x mit |x| = 1.
Wegen 0 ∈
/ S, sind die mj > 0. Mit x = αx̃, |x̃| = 1, folgt
hieraus
mj |x| ≤ kxkj ≤ Mj |x| ∀x ∈ n .
C
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Nutzen der Homogenität
Die Ungleichungen
mj |x| ≤ kxkj ≤ Mj |x| ∀x ∈
Grundlagen
Cn .
sind homogen in x, d.h. sind sie für ein x erfüllt, so auch für
alle αx mit α ∈ .
C
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Nutzen der Homogenität
Die Ungleichungen
mj |x| ≤ kxkj ≤ Mj |x| ∀x ∈
Grundlagen
Cn .
sind homogen in x, d.h. sind sie für ein x erfüllt, so auch für
alle αx mit α ∈ .
C
Es genügt also, die Ungleichung für alle x mit |x| = 1 zu
beweisen (=Homogenitätsargument).
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Die p-Normen
Die p-Normen auf
Cn (oder Rn ) sind definiert durch
kxkp =
n
X
j=1
|xj |p
kxk∞ = max |xj |.
1≤j≤n
1/p
,
1 ≤ p < ∞,
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Die p-Normen
Die p-Normen auf
Cn (oder Rn ) sind definiert durch
kxkp =
n
X
j=1
|xj |p
1/p
,
1 ≤ p < ∞,
kxk∞ = max |xj |.
1≤j≤n
Für die Numerik wichtig sind die Normen
X
kxk1 =
|xj |, kxk2 = |x|, kxk∞ = max(|x1 |, . . . , |xn |).
j
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Die induzierte Matrixnorm
Sei k · k1 eine Norm auf dem
dem m .
C
Cn und k · k2 eine Norm auf
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Die induzierte Matrixnorm
Sei k · k1 eine Norm auf dem
dem m .
C
Cn und k · k2 eine Norm auf
Der Ausdruck
kAk1→2 =
kAxk2
,
x∈Cn \{0} kxk1
sup
ist eine Norm auf dem Matrizenraum
A∈
Cm×n .
Cm×n ,
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Die induzierte Matrixnorm
Sei k · k1 eine Norm auf dem
dem m .
C
Cn und k · k2 eine Norm auf
Der Ausdruck
kAk1→2 =
kAxk2
,
x∈Cn \{0} kxk1
sup
ist eine Norm auf dem Matrizenraum
A∈
Cm×n ,
Cm×n .
kAk1→2 heißt (von k · k1 k und k · k2 ) induzierte Matrixnorm.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Die induzierte Matrixnorm
Sei k · k1 eine Norm auf dem
dem m .
C
Cn und k · k2 eine Norm auf
Der Ausdruck
kAk1→2 =
kAxk2
,
x∈Cn \{0} kxk1
sup
ist eine Norm auf dem Matrizenraum
A∈
Cm×n ,
Cm×n .
kAk1→2 heißt (von k · k1 k und k · k2 ) induzierte Matrixnorm.
Die induzierte Matrixnorm auf dem
Rm×n ist analog definiert.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Zwei wichtige Tatsachen
Offenbar gilt
kAk1→2
Grundlagen
kAxk2
= sup kAxk2 .
= sup
n
kxk1 =1
x∈C \{0} kxk1
Homogenitätsargument!
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Zwei wichtige Tatsachen
Offenbar gilt
kAk1→2
Grundlagen
kAxk2
= sup kAxk2 .
= sup
n
kxk1 =1
x∈C \{0} kxk1
Homogenitätsargument!
Die Menge {x : kxk1 = 1} ist kompakt, so dass die stetige
Funktion x 7→ kAxk2 das Maximum annimmt.
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Zwei wichtige Tatsachen
Offenbar gilt
kAk1→2
Grundlagen
kAxk2
= sup kAxk2 .
= sup
n
kxk1 =1
x∈C \{0} kxk1
Homogenitätsargument!
Die Menge {x : kxk1 = 1} ist kompakt, so dass die stetige
Funktion x 7→ kAxk2 das Maximum annimmt.
Wir können daher auch gleich
kAk1→2 =
schreiben.
max
x∈
C
n \{0}
kAxk2
kxk1
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis der Normeigenschaft
Aufgrund der letzten Darstellung existiert kAk1→2 .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis der Normeigenschaft
Aufgrund der letzten Darstellung existiert kAk1→2 .
kAk1→2 = 0 gilt genau dann, wenn Ax = 0 für alle x, also
A = 0.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis der Normeigenschaft
Aufgrund der letzten Darstellung existiert kAk1→2 .
kAk1→2 = 0 gilt genau dann, wenn Ax = 0 für alle x, also
A = 0.
Die positive Homogenität folgt aus der positiven
Homogenität von k · k2
kαAk1→2 = sup kαAxk2 = |α| sup kAxk2 = |α| kAk1→2 ,
kxk1 =1
kxk1 =1
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis der Dreiecksungleichung
Die Dreiecksungleichung folgt analog aus der
Dreiecksungleichung für kk̇2
kA + Bk1→2 = sup kAx + Bxk2
kxk1 =1
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis der Dreiecksungleichung
Die Dreiecksungleichung folgt analog aus der
Dreiecksungleichung für kk̇2
kA + Bk1→2 = sup kAx + Bxk2
kxk1 =1
≤ sup kAxk2 + sup kBxk2
kxk1 =1
kxk1 =1
= kAk1→2 + kBk1→2 .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Verträglichkeit
Sei k · kM eine Matrixnorm auf
Vektornorm auf n .
C
Cn×n und k · kV
eine
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Verträglichkeit
Sei k · kM eine Matrixnorm auf
Vektornorm auf n .
C
Cn×n und k · kV
k · kM heißt verträglich mit k · kV , wenn
kAxkV ≤ kAkM kxkV
∀A ∈
eine
Cn×n ∀x ∈ Cn .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel 1
Euklidische Normen sind verträglich,
|Ax| ≤ |A| |x|
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel 1
Euklidische Normen sind verträglich,
|Ax| ≤ |A| |x|
was man mit Hilfe der Cauchy-Ungleichung beweist,
2
X X
2
|Ax| =
ajk xk j
k
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel 1
Euklidische Normen sind verträglich,
Grundlagen
|Ax| ≤ |A| |x|
was man mit Hilfe der Cauchy-Ungleichung beweist,
2
X X
2
|Ax| =
ajk xk j
k
≤
XX
|ajk |2 ×
=
X
X
j
j,k
k
|ajk |2
k
X
k
|xk |2
|xk |2 = |Ax|2 |x|2 .
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel 2
Die von einer Vektornorm k · kV induzierte Matrixnorm
k · kV →V ist mit dieser Vektornorm verträglich
kAxkV ≤ kAkV →V kxkV .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel 2
Die von einer Vektornorm k · kV induzierte Matrixnorm
k · kV →V ist mit dieser Vektornorm verträglich
kAxkV ≤ kAkV →V kxkV .
Dies folgt aus der Definition der induzierten Norm: kAkV →V
ist nämlich die kleinste Konstante c, so dass
kAxkV ≤ ckxkV
für alle x richtig ist.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Submultiplikativität
Sei k · kM eine Matrixnorm auf
Cn×n .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Submultiplikativität
Sei k · kM eine Matrixnorm auf
Cn×n .
k · kM heißt submultiplikativ, wenn
kABkM ≤ kAkM kBkM
∀A, B ∈
Grundlagen
Cn×n .
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel 1
Euklidische Normen sind submultiplikativ
|AB| ≤ |A| |B|
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel 1
Euklidische Normen sind submultiplikativ
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
|AB| ≤ |A| |B|
wegen
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
2
X X
|AB| =
ajk bkl 2
j,l
≤
k
XX
j,l
k
|ajk |2 ×
X
k
|bkl |2 )
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel 1
Euklidische Normen sind submultiplikativ
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
|AB| ≤ |A| |B|
wegen
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
2
X X
|AB| =
ajk bkl 2
j,l
≤
k
XX
j,l
k
= |A|2 |B|2 .
|ajk |2 ×
X
k
|bkl |2 )
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel 2
Die von einer Vektornorm k · kV induzierte Matrixnorm
k · kV →V ist auch submultiplikativ wegen der Verträglichkeit
kABkV →V = sup kABxkV ≤ sup kAkV →V kBxkV
kxkV =1
kxkV =1
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beispiel 2
Die von einer Vektornorm k · kV induzierte Matrixnorm
k · kV →V ist auch submultiplikativ wegen der Verträglichkeit
kABkV →V = sup kABxkV ≤ sup kAkV →V kBxkV
kxkV =1
kxkV =1
≤ sup kAkV →V kBkV →V kxkV
kxkV =1
= kAkV →V kBkV →V
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Notation
Sei A ∈
Cm×n . Wenn nichts anderes gesagt wird, ist
|Ax|
.
kAk = sup
x6=0 |x|
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Notation
Sei A ∈
Cm×n . Wenn nichts anderes gesagt wird, ist
|Ax|
.
kAk = sup
x6=0 |x|
d.h. k · k ohne irgendwelche Indizes ist immer die von den
euklidischen Normen induzierte Matrixnorm.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Charakterisierung von k · k
Lemma Für A ∈
Cn×n gilt
kAk = ρ(AAH )1/2 = ρ(AH A)1/2 ,
wobei ρ(B) den betragsmäßig größten Eigenwert von B
bezeichnet.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Charakterisierung von k · k
Lemma Für A ∈
Cn×n gilt
kAk = ρ(AAH )1/2 = ρ(AH A)1/2 ,
wobei ρ(B) den betragsmäßig größten Eigenwert von B
bezeichnet.
Ist A ∈
C
n×n
hermitesch, so gilt
kAk = ρ(A).
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis
Es gilt
Grundlagen
(AH Ax, x)
(Ax, Ax)
= sup
.
kAk2 = sup
(x, x)
x6=0
x6=0 (x, x)
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis
Es gilt
Grundlagen
(AH Ax, x)
(Ax, Ax)
= sup
.
kAk2 = sup
(x, x)
x6=0
x6=0 (x, x)
Wegen (AH A)H = AH A ist AH A hermitesch und wegen
(AH Ax, x) = (Ax, Ax) = |Ax|2 ≥ 0
ist AH A positiv semidefinit.
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis
Es gilt
Grundlagen
(AH Ax, x)
(Ax, Ax)
= sup
.
kAk2 = sup
(x, x)
x6=0
x6=0 (x, x)
Wegen (AH A)H = AH A ist AH A hermitesch und wegen
(AH Ax, x) = (Ax, Ax) = |Ax|2 ≥ 0
ist AH A positiv semidefinit.
Sie besitzt daher einen vollständigen Satz von Eigenvektoren
v1 , . . . , vn mit
AH Avj = λj vj
und λj nichtnegativ.
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis
In
Grundlagen
(AH Ax, x)
.
kAk = sup
(x, x)
x6=0
2
P
setzen wir x = j cj vj ein und erhalten wegen der
Orthogonalität der vj
2
(AH A j cj vj , j cj vj )
j λj |cj |
P
P
.
= sup P
2
( j cj vj , j cj vj )
c6=0
c6=0
j |cj |
kAk2 = sup
P
P
P
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis
In
Grundlagen
(AH Ax, x)
.
kAk = sup
(x, x)
x6=0
2
P
setzen wir x = j cj vj ein und erhalten wegen der
Orthogonalität der vj
2
(AH A j cj vj , j cj vj )
j λj |cj |
P
P
.
= sup P
2
( j cj vj , j cj vj )
c6=0
c6=0
j |cj |
kAk2 = sup
P
P
P
Dieses Optimierungsproblem wird natürlich durch cn = 1,
cj = 0 für 1 ≤ j ≤ n − 1 gelöst, wenn λn der größte
Eigenwert von AH A ist.
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis
Ist A hermitesch, so erhalten wir die Eigenwerte und
Eigenvektoren von AH A = A2 aus den Eigenwerten und
Eigenvektoren von A:
Av = λv ⇒ AH Av = A2 v = λ2 v .
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Weitere Beispiele von Matrizennormen
Auf dem
Cm×n sind
(i) kAkZ = maxj
Pn
k=1 |ajk |
Grundlagen
(=Zeilensummennorm),
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Weitere Beispiele von Matrizennormen
Auf dem
Cm×n sind
(i) kAkZ = maxj
(ii) kAkS =
Pn
k=1 |ajk | (=Zeilensummennorm),
Pm
maxk j=1 |ajk | (=Spaltensummennorm),
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Weitere Beispiele von Matrizennormen
Auf dem
Cm×n sind
(i) kAkZ = maxj
(ii) kAkS =
Pn
k=1 |ajk | (=Zeilensummennorm),
Pm
maxk j=1 |ajk | (=Spaltensummennorm),
(iii) kAk∞ = maxj,k |ajk |.
ebenfalls Matrizennormen.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Weitere Beispiele von Matrizennormen
Auf dem
Cm×n sind
(i) kAkZ = maxj
(ii) kAkS =
Pn
k=1 |ajk | (=Zeilensummennorm),
Pm
maxk j=1 |ajk | (=Spaltensummennorm),
(iii) kAk∞ = maxj,k |ajk |.
ebenfalls Matrizennormen.
(i) und (ii) sind submultiplikativ.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
kAk∞
ist nicht submultiplikativ wegen
1 1
1 1
2 2
=
.
1 1
1 1
2 2
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.4
Stabilität linearer Gleichungssysteme
C
Sei A ∈ n×n (oder A ∈
Gleichungssystem
Rn×n ). Wir wollen das lineare
Ax = b
lösen.
für b ∈
Cn
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.4
Stabilität linearer Gleichungssysteme
C
Sei A ∈ n×n (oder A ∈
Gleichungssystem
Rn×n ). Wir wollen das lineare
Ax = b
für b ∈
Cn
lösen.
Satz Sei A regulär. Dann gilt für die Lösung x + ∆x des
gestörten Problems
A(x + ∆x) = b + ∆b
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
1.4
Stabilität linearer Gleichungssysteme
C
Sei A ∈ n×n (oder A ∈
Gleichungssystem
Rn×n ). Wir wollen das lineare
Ax = b
für b ∈
Cn
lösen.
Satz Sei A regulär. Dann gilt für die Lösung x + ∆x des
gestörten Problems
A(x + ∆x) = b + ∆b
die Abschätzung
|∆x|
|∆b|
≤ kAk kA−1 k
.
|x|
|b|
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Konditionszahl
Die Zahl
cond (A) = kAk kA−1 k
gibt die Verstärkung des relativen Fehlers bei ungenauer
Auswertung der rechten Seite an und heißt deshalb
Konditionszahl der Matrix A.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis
Aus A∆x = ∆b folgt
∆x = A−1 ∆b ⇒ |∆x| ≤ kA−1 k |∆b|.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Beweis
Aus A∆x = ∆b folgt
∆x = A−1 ∆b ⇒ |∆x| ≤ kA−1 k |∆b|.
Aus Ax = b erhalten wir entsprechend die Abschätzung
|b| ≤ kAk |x| und damit die Behauptung.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Anwendung
Bei iterativen Verfahren zur Lösung von Ax = b erhalten wir
Näherungen x̃, aber kennen den Fehler |x − x̃| nicht. Wann
sollen wir abbrechen?
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Anwendung
Bei iterativen Verfahren zur Lösung von Ax = b erhalten wir
Näherungen x̃, aber kennen den Fehler |x − x̃| nicht. Wann
sollen wir abbrechen?
Bestimme das Residuums r = b − Ax̃ = A(x − x̃).
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Anwendung
Bei iterativen Verfahren zur Lösung von Ax = b erhalten wir
Näherungen x̃, aber kennen den Fehler |x − x̃| nicht. Wann
sollen wir abbrechen?
Bestimme das Residuums r = b − Ax̃ = A(x − x̃).
x̃ ist dann die exakte Lösung von Ax̃ = b − r und für den
relativen Fehler gilt dann
|x − x̃|
|r |
≤ cond (A) .
|x|
|b|
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Anwendung
Bei iterativen Verfahren zur Lösung von Ax = b erhalten wir
Näherungen x̃, aber kennen den Fehler |x − x̃| nicht. Wann
sollen wir abbrechen?
Bestimme das Residuums r = b − Ax̃ = A(x − x̃).
x̃ ist dann die exakte Lösung von Ax̃ = b − r und für den
relativen Fehler gilt dann
|x − x̃|
|r |
≤ cond (A) .
|x|
|b|
Mit x̃ sind r und b bekannt, die Kondition von A muss
allerdings geschätzt werden.
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?
Grundlagen
Gleitpunktarithmetik
und
Rundungsfehler
Ein Beispiel
Vektor- und
Matrizennormen
Stabilität linearer
Gleichungssysteme
Direkte Lösung
linearer Gleichungssysteme
Gauß Elimination
Die CholeskyZerlegung
Das HouseholderVerfahren
Welches
Verfahren ist
vorzuziehen?