Probeklausur August 2007

Probeklausur August 2007
Wie in der richtigen Klausur für das Erste Staatsexamen sind in 4 Zeitstunden
4 Aufgaben zu bearbeiten (jeweils maximal zwei pro Fach).
Algebra
Aufgabe 1
a) Berichte über endliche Körper: Erkläre die Notation Fq . Wann ist Fq′ /Fq
eine Galoiserweiterung? Gib die Galoisgruppe möglichst explizit an.
b) Bestimme alle irreduziblen quadratischen Polynome über F3 .
c) Zeige
F81 ∼
= F3 [X]/(X 4 + X + 2) .
d) Wie ist OrdF∗q (r) für ein r ∈ F∗q definiert? Welche Werte kann OrdF∗81 (r)
haben?
Aufgabe 2
Sei G eine endliche Gruppe und U eine beliebige Untergruppe von G. Wir
setzen
NG (U) := {g ∈ G | gU = Ug}
a) Zeige, dass NG (U) die größte Untergruppe von G ist, die U als Normalteiler enthält. D. h. zeige im Einzelnen:
i) NG (U) ist eine Untergruppe von G, die U enthält.
ii) U ist ein Normalteiler von NG (U).
iii) Jede Untergruppe V von G, die U als Normalteiler enthält, ist eine
Untergruppe von NG (U).
b) Definiere den Begriff p-Sylow-Gruppe“ und formuliere die Sylow-Sätze.
”
c) Sei Sp ⊂ G eine p-Sylow-Gruppe. Zeige NG (NG (Sp )) = NG (Sp ).
Tipp zu c): Beweise unter mehrfacher Anwendung der Sylow-Sätze, dass Sp
ein Normalteiler von NG (NG (Sp )) ist und wende dann Teil a) an.
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Zahlentheorie
Aufgabe 3
a) Definiere den Begriff Primzahl“ und beweise, dass es in N unendlich
”
viele Primzahlen gibt.
Tipp: Betrachte Zahlen der Form n + 1 für geeignete n.
b) Beweise, dass die Restklasse 3 von Z/4Z unendlich viele Primzahlen
enthält.
Tipp: Betrachte Zahlen der Form 4n − 1 für geeignete n.
c) Beweise, dass die Restklasse 1 von Z/4Z unendlich viele Primzahlen
enthält.
Tipp: Betrachte Zahlen der Form n2 +1 für geeignete n und benutze dabei
den ersten Ergänzungssatz.
Aufgabe 4
a) Definiere den Begriff Primitivwurzel modulo m“ und berichte, für welche
”
Moduln wie viele Primitivwurzeln existieren.
b) Bestimme alle Primzahlen p, für die
∀x ∈ Z : x ≡ x13 (mod p)
gilt.
Hinweis: Betrachte zuerst den Spezialfall, dass x eine Primitivwurzel ist.
c) Zeige durch Betrachtung eines geeigneten nicht-primen Restes, dass
∀x ∈ Z : x ≡ x13 (mod pk )
für keine Primzahlpotenz pk mit k ≥ 2 gilt.
d) Formuliere den Chinesischen Restsatz.
e) Bestimme den größten Modul m mit der Eigenschaft
∀x ∈ Z : x ≡ x13 (mod m) .
Hinweis: Wende alle vorhergehenden Aufgabenteile an.
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Funktionentheorie
Aufgabe 5
Wir betrachten M := {z ∈ C | |z − 5 + i| > 1 und |Re(z) − 4| + |Im(z)| < 5}.
a) Skizziere die Menge M in der komplexen Zahlenebene.
b) Ist f (z) :=
z+1
z 3 +2z 2 −1007
auf M holomorph?
c) Gibt es eine auf M holomorphe Funktion, die auf M keine Stammfunktion hat?
Aufgabe 6
Zeige, dass
f (z) :=
Z
∞
0
t2
1
e−t sin(tz)dt
+1
eine auf M := {z ∈ C | |Im(z)| < 1} holomorphe Funktion ist.
Differentialgleichungen
Aufgabe 7
Es sei I ⊂ R ein Intervall, a, b ∈ C(I, R) und
a(t) −b(t)
, t∈I
A(t) =
b(t) a(t)
Betrachte hiermit das lineare homogene Differentialgleichungssystem
u′ (t) = A(t)u(t), t ∈ I
(∗)
a) Zeige: Unter der üblichen Identifikation R2 ∼
= C wird (∗) in eine komplexe
Differentialgeichung
z ′ (t) = c(t)z(t), t ∈ I
(∗∗)
mit c ∈ C(I, C) transformiert.
b) Zeige: Ist z ∈ C(I, C) \ {0} eine Lösung von (∗∗), so bilden die zu z und
iz korrespondierenden Lösungen von (∗) ein Fundamentalsystem.
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c) Bestimme ein Fundamentalsystem von (∗) und berechne die WronskiDeterminante.
d) Löse das Anfangswertproblem
cos t − sin t
cos(1) + sin(1)
′
u (t) =
u(t), u(0) =
sin t cos t
cos(1) − sin(1)
Aufgabe 8
Es sei I ⊂ R ein Intervall und für y1 , . . . , yn ∈ C n−1 (I, R) bezeichne


y1 (x)
···
yn (x)
 y ′ (x)
···
yn′ (x) 
 1

W[y1 ,...,yn ] (x) = det 
, x ∈ I
..
..


.
.
(n−1)
y1
(n−1)
(x) · · · yn
(x)
die Wronski-Determinante.
a) Sind y1 , . . . , yn linear abhängig auf I, so ist W[y1 ,...,yn ] ≡ 0. Zeige anhand
der Funktionen y1 (x) = x|x|, y2 (x) = x2 mit I = R, dass die Umkehrung
der Aussage nicht gilt.
b) Zwei nirgends verschwindende Funktionen y1 , y2 ∈ C 1 (I, R) sind genau
dann linear abhängig, wenn W[y1 ,y2 ] ≡ 0.
c) Zeige oder widerlege: Sind y1 , y2 linear unabhängig auf I, so sind sie auch
auf jedem Teilintervall J ⊂ I linear unabhängig.
d) Es sei W[y1 ,y2 ] (x) 6= 0 für alle x ∈ I. Zeige, dass zwischen zwei aufeinander
folgenden Nullstellen von y2 stets genau eine Nullstelle von y1 liegt.
(Hinweis: Differenziere yy12 und wende den Satz von Rolle an.)
e) Erläutere kurz den Zusammenhang zwischen obiger Wronski-Determinante und Differentialgleichungen.
f) Bestimme eine Basis des Lösungsraumes der Eulerschen Differentialgleichung
x2 y ′′ − 2xy ′ + 2y = 0, x ∈ R
und berechne die Wronski-Determinante. Warum steht das Ergebnis nicht
im Widerspruch zu den Erläuterungen in e)?
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Angewandte Mathematik für Lehramt
Aufgabe 9
Ein Körper der Masse m verlasse zur Zeit t = 0 den Nullpunkt eines xyKoordinatensystems mit einer Anfangsgeschwindigkeit vom Betrag v0 unter
dem Winkel ϕ, wobei 0 < ϕ ≤ π/2 gilt. Zur Zeit t befinde sich der Körper im
Punkt (x(t), y(t)). Sehen wir vom Luftwiderstand ab, so wirkt in der horizontalen Richtung keine und in der vertikalen, nach unten weisenden Richtung
nur die Schwerkraft auf den Körper, d.h. es gelten die Differentialgleichungen
mx′′ = 0
my ′′ = −mg.
Hierbei bezeichnet g die Erdbeschleunigung.
a) Zeigen Sie, dass für die Koordinaten die Gleichungen
x(t) = (v0 cos ϕ)t
y(t) = (v0 sin ϕ)t − 1/2gt2
gelten.
b) Zeigen Sie, dass für die Steighöhe h des Körpers gilt:
h=
v02 sin2 ϕ
2g
c) Zeigen Sie, dass für die Wurfweite w des Körpers gilt:
w=
v02 sin(2ϕ)
g
d) Berechnen Sie den Winkel ϕ, der zur größten Wurfweite führt und die
dazugehörige maximale Wurfweite.
e) Begründen Sie, warum die Wurfbahn im Fall ϕ 6= π/2 der nichtnegative
Teil einer quadratischen Parabel ist. Wie sieht der Wurf im Fall ϕ = π/2
aus?
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Aufgabe 10
Die Menge eines radioaktiven Isotops zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
exp(−at) mit einem unbekannten Parameter a > 0. Zur Bestimmung von a
werden zwei fehlerhafte Messungen gemacht:
Zeit
1
2
Menge
1/2
1/3
a) Formulieren Sie ein nichtlineares Ausgleichsproblem zur Schätzung von a.
b) Geben Sie die Iterationsformel des Gauß-Newton Verfahrens für dieses
Ausgleichsproblem an.
c) Berechnen Sie die erste Iterierte des Gauß-Newton Verfahrens zu der
Startnäherung a0 = ln 2.
Hinweis: a1 ist die Lösung des linearen Ausgleichsproblems
2
−1/2
0
= min !
(a
−
ln
2)
−
a ∈ R.
−1/2
1/12 2
Dieses Resultat darf verwendet werden, falls a) und b) nicht gelöst werden.
Stochastik
Aufgabe 11
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweifachen Wurf
mit einem fairen Würfel die Augensumme gleich 7 ist.
b) Seien U und V zwei unabhängige, auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Berechnen Sie die Dichtefunktion von U + V .
c) Formulieren Sie das starke Gesetz der großen Zahlen.
d) Seien U1 , U2 , U3 , . . . unabhängig und gleichverteilt auf [0, 1]. Es bezeichne
r
U12 + U22 + . . . + Un2
Mn =
n
das quadratische Mittel von U1 , . . . , Un .
p
Zeigen Sie, dass limn→∞ Mn = 1/3 fast sicher.
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Aufgabe 12
Es werde eine faire Münze unendlich oft geworfen. Für n = 1, 2, . . . sei Xn
der Wurf, bei dem die Münze zum n-ten Mal Kopf zeigt.
a) Zeigen Sie, dass P (X1 = k) = 1/2k .
b) Berechnen Sie P (X1 = 3 | X2 = 5).
c) Berechnen Sie E(X1 | X2 = 5).
d) Berechnen Sie P (Xn = k).
e) Berechnen Sie EX1 .
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