Die Bearbeitungszeit für die Probeklausur ist mit 180 Minuten kalkulier

16. Dezember 2009
Probeklausur zur Algebra (WS 2009/10)
Die Bearbeitungszeit für die Probeklausur ist mit 180 Minuten kalkuliert (wie in der
richtigen Klausur). Einziges erlaubtes Hilfsmittel bei der Klausur wird ein beidseitig beschriebenes DIN A4- Blatt sein. Es ist daher ratsam vor der Bearbeitung dieser Probeklausur ein solches DIN A4- Blatt zu erstellen und die Probeklausur unter Klausurbedingungen
zu bearbeiten.
1. Aufgabe: Jede der folgenden Behauptungen ist mit richtig“ (Eintrag 1) oder falsch“
”
”
(Eintrag 0) zu bewerten; die Einträge haben innerhalb der Kästchen zu erfolgen. Begründungen werden in diesem Teil nicht verlangt.
Für jede korrekte Antwort gibt es zwei Pluspunkte; für jede falsche Antwort gibt es
einen Minuspunkt. Für jede Enthaltung gibt es null Punkte.
(1) Jede Untergruppe des Zentrums einer Gruppe G ist Normalteiler in G.
(2) In Q/Z ist jedes Element Torsionselement.
(3) 4 · Z ∩ 6 · Z = 24 · Z.
(4) Faktorgruppen zyklischer Gruppen sind zyklisch.
(5) Jede Gruppe der Ordnung 4 ist zyklisch.
(6) Alle abelschen Gruppen sind einfach.
(7) Sei p prim und r ≥ 2. Es gibt eine einfache Gruppe der Ordnung pr .
(8) Der Polynomring K[X] über einen Körper K ist kommutativ.
(9) Die ganzen Zahlen bilden einen Hauptidealring.
(10) Der Ring M2 (R) ist ein Integritätsbereich.
2. Aufgabe: (5 Punkte) Es sei ϕ : G → H ein Epimorphismus von Gruppen. Zeige, dass
für jedes x ∈ G die Menge ϕ(ZG (x)) eine Untergruppe von ZH (ϕ(x)) ist.
Erinnerung an den Zentralisator: ZG (x) = { g ∈ G | xg = gx }.
3. Aufgabe: (5 Punkte) Finde alle x ∈ Z, die gleichzeitig folgende Kongruenzen erfüllen.
x ≡ 1(mod 2),
Begründe Deine Antwort!
x ≡ 2(mod 3),
x ≡ 9(mod 7)
4. Aufgabe: (5 Punkte) Sei G eine Gruppe und a, b ∈ G mit ab = ba. Weiter seien
m = ord(a) und n = ord(b) teilerfremd. Zeige ord(ab) = mn.
5. Aufgabe: (5 Punkte) Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G vom Index
≤ 2. Zeige, dass U ein Normalteiler in G ist.
6. Aufgabe: (5 Punkte) Zeige, dass es keine einfache Gruppe der Ordnung 105 gibt.
7. Aufgabe: (10 Punkte) Sei R der Ring der stetigen Funktionen
f : [0, 1] → R versehen
mit punktweiser Addition und Multiplikation. Weiter sei I = f ∈ R f ( 21 ) = 0 . Zeige:
(i) I ist ein Ideal in R,
(ii) Der Faktorring R/I ist ein Körper,
(iii) Sei f ∈ R mit f ( 21 ) 6= 0, dann gilt I + Rf = R.
8. Aufgabe: (10 Punkte) Betrachte die Matrix S = ( 01 20 ). Sei K die Menge aller 2 × 2Matrizen A mit rationalen Einträgen, die mit S kommutieren (d.h. AS = SA). Zeige:
(i) Mit der üblichen Matrizenmultiplikation und -addition ist K ein Körper. Hier
reicht es die multiplikative Abgeschlossenheit, Kommutativität bzgl. Multiplikation sowie die multiplikative Invertierbarkeit aller von null verschiedenen Elemente
zu zeigen.
√
√
(ii) K ist isomorph zu Q[ 2]. Dabei ist Q[ √2] derjenige Teikörper der rellen Zahlen,
der aus allen Elementen der Form a + b 2 mit a, b ∈ Q besteht.