1 ¨Ubung zur Algebraischen Zahlentheorie

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Prof. Dr. Jörn Steuding
Florian Stefan
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Ausgabe: 21. April 2009
Abgabe: 28. April 2009
Übung zur Algebraischen Zahlentheorie
√
Aufgabe 1.1 (4 Punkte). Zeigen Sie, dass Z[ −5] nicht faktoriell ist.
Hinweis: Wenden Sie den komplexen Betrag auf reduzible Elemente an.
Aufgabe 1.2 (3 Punkte). Seien L|K und M |L endliche Erweiterungen von
Körpern. Zeigen Sie: M |K ist ebenfalls eine endliche Körpererweiterung und
es gilt [M : K] = [M : L][L : K].
Aufgabe 1.3 (3 Punkte). Seien α, β komplexe Zahlen, so dass α + β und
αβ algebraische Zahlen sind. Zeigen Sie, dass α eine algebraische Zahl ist.
Aufgabe 1.4 (5 Punkte). Seien K|Q und L|K endlich. Zeigen Sie ohne Verwendung des Hauptsatzes der Galois-Theorie: Die Erweiterung L|K enthält
nur endlich viele Zwischenkörper.
Aufgabe 1.5 (3 Punkte). Sei K ein Zahlkörper und α ∈ K invariant unter
allen Einbettungen σ ∈ Hom(K, C). Zeigen Sie, dass α rational ist.
Aufgabe 1.6 (6 Punkte).
α1 , . . . , αn ∈ C sämtliche Nullstellen des
PnSeien n−i
n
∈ Q[X].
Polynoms f (X) = X + i=1 ci X
a) Definieren Sie die elementarsymmetrischen Polynome s1 , . . . , sn in dem
Ring Q[X1 , . . . , Xn ] und formulieren Sie den zugehörigen Hauptsatz. Begründen Sie: Es gibt ein Polynom ∆ über Q mit
Y
∆(s1 , . . . , sn ) =
(Xi − Xj )2 .
i<j
b) Sei ∆(f ) = ∆(−c1 , c2 , . . . , (−1)n cn ). Zeigen Sie:
n
Y
Y
2
n(n−1)/2
∆(f ) =
(αi − αj ) = (−1)
f 0 (αi ).
i<j
i=1
Hinweise: Alle Aussagen müssen unter Verwendung von Ergebnissen
aus Vorlesung oder Übung hinreichend begründet werden. Die Übungsblätter
müssen einzeln bearbeitet und in der Vorlesung abgegeben werden. Alle Ringe
seien kommutativ mit Einselement.
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