18. Sei G eine Gruppe, g ∈ G mit ord(g) = k ∞. Man zeige: für

18. Sei G eine Gruppe, g ∈ G mit ord(g) = k < ∞. Man zeige: für beliebiges t ∈ Z
gilt
k
.
ord(g t ) =
ggT(t, k)
Hinweis: man betrachte zuerst den Fall 0 ≤ t < k und verwende, dass ord(g t ) die
kleinste natürliche Zahl s ist mit k | ts.
Man folgere, dass eine Restklasse t̄ in (Z/kZ, +) genau dann ein erzeugendes
Element der Restklassengruppe Z/kZ ist, wenn ggT(t, k) = 1.
19. Sei G = hgi eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Man zeige:
(a) jede Untergruppe von G ist zyklisch;
(b) zu jedem Teiler d von n gibt es genau eine Untergruppe von G mit d Elen
menten; diese wird von g d erzeugt.
20. Seien g, h kommutierende Elemente einer Gruppe G, d.h. gh = hg, mit ord(g) =
n < ∞ und ord(h) = m < ∞; dann gilt ord(gh) < ∞ und ord(gh) | kgV(n, m).
Außerdem gilt
ord(gh) = nm ⇔ ggT(n, m) = 1.
21. Man zeige, dass die Gruppen (Q, +) und (Q+ , ·) nicht endlich erzeugt sind (man
zeige also, dass jede endliche Teilmenge jeweils eine echte Untergruppe erzeugt).
22. Sei G = S3 , die Gruppe aller Permutationen der Menge {1, 2, 3} (wir schreiben
die Elemente von G in Zyklenschreibweise). Sei H = h(12)i die von der Transposition (12) erzeugte Untergruppe; man bestimme die Zerlegung von G in die
Rechtsnebenklassen und in die Linksnebenklassen bezüglich H.
23. Sei G = hgi zyklisch und H irgendeine Gruppe; man zeige, dass jeder Homomorphismus ϕ : G → H durch den Wert ϕ(g) eindeutig bestimmt ist.
24. Sei p eine Primzahl. Bestimme alle Homomorphismen Z/pZ → Z/pZ, Z/pZ →
Z/p2 Z und Z/p2 Z → Z/pZ. Betrachte explizit einen konkreten Fall, z.B. p = 3.
25. Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf einer Gruppe G; man zeige die Äquivalenz der
folgenden Aussagen:
(a) ∀x1 , x2 , y1 , y2 ∈ G : x1 ∼ x2 & y1 ∼ y2 ⇒ x1 y1 ∼ x2 y2
(b) ∀x, y, z ∈ G : x ∼ y ⇒ xz ∼ yz & zx ∼ zy.
26. Man gebe einen Isomorphismus zwischen (Q+ , ·), der Gruppe der positiven rationalen Zahlen bezüglich Multiplikation, und (Z[X], +), der Gruppe der Polynome
mit ganzzahligen Koeffizienten in einer Veränderlichen X bezüglich Addition,
an. (Hinweis: Q+ wird von den Elementen p0 = 2, p1 = 3, p2 = 5, . . . erzeugt,
während Z[X] von X 0 , X 1 , X 2 , . . . erzeugt wird.)
27. Sei Q die Gruppe aus Bsp. 17. Man bestimme alle Untergruppen von Q und
zeige, dass jede solche Untergruppe ein Normalteiler ist; man gebe Multiplikationstabellen aller zugehörigen Faktorgruppen.
28. Für eine Gruppe G sei S(G) die Gruppe aller bijektiven Abbildungen G → G
(S(G) ist eine Gruppe bezüglich der Komposition von Funktionen). Man zeige,
dass die Abbildung G → S(G), a 7→ λa ein injektiver Homomorphismus ist (dabei
ist λa : G → G die Linkstranslation x 7→ ax).
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