Übungen zur Vorlesung Übungsblatt 06 COMPUTERALGEBRA I

Übungen zur Vorlesung
COMPUTERALGEBRA I
Dr. T.Sprenger
Übungsblatt 06
03.06.2010
Aufgabe 1: (Sieb des Eratosthenes)
Das Sieb des Eratosthenes erzeugt alle Primzahlen bis zu einer vorgegebenen Zahl n ∈ N≥2 durch
√
Herausstreichen aller Vielfachen der Zahlen 2, 3, . . . , b nc (ausgenommen der Zahl selbst) aus der
Liste {2, 3, . . . , n}.
(a) Warum bestimmt dieses Verfahren alle Primzahlen von 2 bis n?
(b) Schreiben Sie eine Funktion Eratosthenes, die aus einer Liste {2, 3, . . . , n} durch Sieben
alle Primzahlen von 2 bis n als Liste ausgibt.
(9 Punkte)
Aufgabe 2: (Einheitengruppe & Primfaktorzerlegung)
(a) Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement 1. Zeigen Sie, dass (R× , ·) mit
R× = {u ∈ R | Es gibt ein v ∈ R mit u · v = 1}
eine Gruppe, die so genannte Einheitengruppe von R, bildet.
(b) Seien x = p1e1 · · · prer und y = p1f1 · · · prfr die Primfaktorzerlegungen von x und y , wobei
p1 , . . . , pr alle Primfaktoren von x und y seien. Für die Exponenten ei , fi (i = 1, . . . , r ) gilt
ei , fi ∈ N≥0 . Zeigen Sie, dass dann
min(e1 ,f1 )
gcd(x, y ) = p1
min(er ,fr )
· · · pr
max(e1 ,f1 )
und lcm(x, y ) = p1
max(er ,fr )
· · · pr
.
(9 Punkte)
Abgabetermin: bis spätestens Donnerstag, 17.06.2010, 08.15 Uhr an [email protected].