3. Probetest M3 ET 1 Anmerkung 1 Zweck des Tests ist es

3. Probetest M3 ET
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6. Mai 2009
Anmerkung 1 Zweck des Tests ist es, sich mit den Begriffen an und für sich auseinanderzusetzen. Versuchen Sie, unter Benützung der Vorlesungsunterlagen den Test durchzuarbeiten.
1) Sind A und B beides wahre Aussagen, so auch A ∧ (B ∨ C), welchen Wahrheitswert C
auch immer hat
Antw.: J: A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C). Da X ∨ Y genau dann wahr ist, wenn es entweder
X oder Y ist, folgt die Behauptung
2) Es ist stets (A ∧ B) ∨ A ⇔ (A ∧ B) ∨ B
Antw.: N: Es ist (A ∧ B) ∨ A ⇔ A und (A ∧ B) ∨ B ⇔ B aufgrund der Verschmelzungsregeln.
Nun genügt es, A wahr und B falsch zu wählen
3) Die Negation von Für jede auf R monotone und stetige Funktion f liegt die Menge C(f )
”
jener x ∈ R, an denen f keine Ableitung besitzt, in einem Intervall der Länge 1“ lautet Für
”
jede auf R monotone und stetige Funktion f liegt die Menge C(f ) jener x ∈ R, an denen f
keine Ableitung besitzt, nicht vollständig in einem Intervall der Länge 1“
Antw.: N: Es sei f (x) = 0. Dann ist C(f ) die leere Menge. Sie ist in jedem Intervall der
Länge 1 enthalten
4) Die Aussage der vorigen Frage hat die Form
(∀f )(∃I)(A(f, I))
wobei A(f, I) die Aussage C(f ) ⊆ I und I hat Länge ≤ 1“ bedeutet
”
Antw.: J: Hiemit sollte sich auch die vorherige Frage leichter abhandeln lassen
5) Es gibt Mengen A, B, C sodaß (A \ B) \ C = A \ (B \ C)
Antw.: J: Z.B. wenn man alle Mengen gleich der leeren Menge wählt (korr.: 27.4.09)
6) Wie immer die Mengen A, B, C beschaffen sind, gilt (A \ B) \ C = A \ (B \ C)
Antw.: N: Wir wählen A 6= ∅, B := ∅ und C := A. Linke Seite ergibt ∅, die rechte A
7) Es ist {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1} =
S
x∈[−1,1] {y
∈ R | |y| ≤
√
1 − x2 }
Antw.: J: Eine einfache Skizze zeigt, daß es sich um eine Zerlegung der Einheitskreisscheibe
handelt, wie man sie etwa beim Berechnen von Bereichsintegralen benützt
8) Es gibt Mengen für die A × B = B × A gilt
Antw.: J: Dies gilt genau dann, wenn entweder A = B oder eine der Mengen leer ist
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9) Es werden Werkstücke x y als gleichwertig“ bezeichnet, falls Ihre Längendifferenz kleiner
”
als 10µm ist. Es liegt eine Äquivalenzrelation vor
Antw.: N: Die Transitivität ist nicht erfüllt
10) Wie vorher: In der Praxis sind natürlich noch mehr Bedingungen gegeben. Z.B. sind
nur endlich viele Werkstücke vorhanden und keines ist kleiner als 1 Meter. Jetzt ist es eine
Äquivalenzrelation
Antw.: N: Die Transitivität ist nicht erfüllt
11) Es werde für komplexe Zahlen uRv gesetzt, wenn |u| ≤ |v| gilt. Es liegt eine Halbordnung
vor
Antw.: N: Die Antisymmetrie ist nicht erfüllt, weil z.B. iR1 und 1Ri aber nicht i = 1 gilt
12) Eine Relation auf einer Menge A kann nicht zugleich symmetrisch und antisymmetrisch
sein
Antw.: N: Auf A := {1} werde R := {(1, 1)} festgelegt. Dann ist R sowohl Halbordnung als
auch Äquivalenzrelation auf A
13) Die übliche Ordnung auf den rationalen Zahlen ist noethersch
Antw.: N: z.B. ist 1, 21 , 13 , . . . eine unendliche absteigende Kette
14) Es sei A := {1, 2, 3}, B := {1, 2} und R := {(1, 2), (2, 2), (3, 2)}. R ist Funktionsgraph
einer surjektiven Funktion
Antw.: N: Es liegt zwar eine Funktion vor, jedoch ist gibt es zu 1 ∈ B kein a ∈ A mit
f (a) = 1. (Begründung der Antwort korrigiert am 6.5.09)
15) Sind f : A → B und g : B → C Funktionen und g injektiv, so auch gf
Antw.: N: Es sei A := {1, 2}, B := {1}, C := B und g(1) = 1, sowie f (1) = f (2) = 1, so ist
gf (1) = gf (2) = 1, also gf nicht injektiv, obwohl es g ist
16) Im freien Monoid {a, b}∗ werde durch ab → b und ba → a ein TES festgelegt. Das TES
ist konfluent
Antw.: N: Es kann aba = aba → ba → a bzw. aba → aa reduziert werden, ohne daß man
nun zu einem gemeinsamen reduzierten Wort gelangen könnte
17) Das TES des vorigen Beispiels ist noethersch
Antw.: J: Die Wortlänge wird bei jedem Schritt kleiner
18) In jeder Halbgruppe gibt es ein Einselement
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Antw.: N: Die geraden natürlichen Zahlen bilden eine Halbgruppe ohne Einselement
19) Das regelmäßige 5-Eck hat eine Symmetriegruppe mit 10 Elementen
Antw.: J: Es gibt die 5 Drehungen, sowie 5 Spiegelungen an Seitenmittelachsen
20) Die Ordnung einer Gruppe ist stets transitiv
Antw.: N: Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente
21) In einer Gruppe der Ordnung 1024 kann es kein Element der Ordnung 17 geben
Antw.: J: Weil 17 kein Teiler von 1024 ist. (Satz von Lagrange: die Ordnung eines Elements,
d.i. die Ordnung der Gruppe, die das Element erzeugt, ist ein Teiler der Gruppenordnung)
22) Die Symmetriegruppe des 5-Ecks besitzt einen Normalteiler der Ordnung 5
Antw.: J: Die Drehungen bilden einen Normalteiler
23) Jede Gruppe besitzt einen Normalteiler
Antw.: J: z.B. die triviale Gruppe, die nur aus dem Einselement besteht
24) Die Symmetriegruppe eines Pentagondodekaeders (lauter regelmäßige Fünfecke) ist durch
30 teilbar
Antw.: J: Es gibt eine 5-zählige, eine 3-zählige und eine 2-zählige Drehachse. Demnach hat
die Symmetriegruppe Elemente der Ordnungen 5,3, und 2. Somit ist ihre Ordnung durch jede
dieser Zahlen, also auch durch 5 × 3 × 2 teilbar, weil diese Zahlen paarweise relativ prim sind
(kleinstes gemeinsames Vielfaches von 2,3,5)
25) Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist stets ein Normalteiler im Definitionsbereich
Antw.: J: korrekt
26) Es ist 7 das multiplikative Inverse von 5 in Z17
Antw.: J: Es ist 7 × 5 = 35 ≡ 1
(mod 17)
27) Es ist x2 + x multiplikatives Inverses von x + 1 im Quotientenring IF2 [x]/hx3 + x + 1i
Antw.: J: Überprüfen ist leichter als finden“. Es ist (x + 1)(x2 + x) = x3 + x2 + x2 + x ≡
”
(−x − 1) + x2 + x + x2 + x = 1, weil wir sowohl modulo 2 als auch stets x3 durch (−x − 1)
ersetzen dürfen. (Nachkorrektur von Angabe und Lösung am 4.5.09)