¨Ubungen aus Analysis 1 - Aufgabenblatt IV WS 2004/2005

Übungen aus Analysis 1 - Aufgabenblatt IV
WS 2004/2005
31. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge an =
√
n3 + 1 −
√
n3 .
32. Nutzen Sie die Ungleichung n! = n(n − 1) · · · 3 · 2 · 1 ≥ 2n−1 , n ≥ 2, um zu zeigen, dass die
Folge
n
X
1
an =
k!
k=1
konvergiert.
33. Sei 0 < a < b. Zeigen Sie: Die rekursiv definierten Folgen {an } und {bn } mit a0 = a, b0 = b
und
an + bn
2an bn
, bn+1 =
an+1 =
an + bn
2
bilden eine Intervallschachtelung für das geometrische Mittel.
Untersuchen Sie die Folgen (xn )n∈N auf Konvergenz, und berechnen Sie gegebenenfalls den
Grenzwert:
34. x1 = a und xn+1 = x2n +
1
4
für n ∈ N und a ∈ [0, 12 ].
35. x1 = 0 und xn+1 = 12 (a + x2n ) für n ∈ N und a ∈ [0, 1].
36. x1 = a und xn+1 = a +
37. x1 = 1 und xn+1 =
1
xn
1
1+xn
für n ∈ N und a ≥ 1.
für n ∈ N.
Pn
Sei (xn )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Für n ∈ N heißen die Zahlen sn = n1 k=1 xk CesàroMittel der Folge (xn ). Die Folge (xn ) heißt Cesàro-limitierbar, wenn die Folge sn der
Cesàro-Mittel konvergiert. In diesem Fall heißt der Grenzwert der Folge sn Cesàro-Limes.
38. Untersuchen Sie, ob die Folgen (xn )n∈N Cesàro-limitierbar sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Cesàro-Limes.
(a) xn = n2 + n
(b) xn = 3 + (−1)n
(c) xn = 2 + 3−n
39. Untersuchen Sie, ob die Folgen (xn )n∈N Cesàro-limitierbar sind, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Cesàro-Limes.
(
(
0 falls 4k ≤ n < 2 · 4k für k ∈ N0
n falls n = k 2 für k ∈ N
(b) xn =
(a) xn =
1 sonst
0 sonst
40. Die van der Corput-Folge (vn )n∈N ist wie folgt definiert: Der Wert von vn ist die Dezimaldarstellung von n am Komma gespiegelt (zum Beispiel ist v123 = 0.321 und v1234 = 0.4321).
Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folge (vn ).
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