Dynamische Systeme - Universität Hamburg

Rückblick
Dynamische Systeme
Reiner Lauterbach
Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften
Universität Hamburg
5. Vorlesung
Ergänzungen
14.05.2012
Reiner Lauterbach
Dynamische Systeme
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Cantormenge
Koch-Kurve und Schneeflocke
Weitere Fraktale
Cantormenge
Satz. Die Cantormenge C ⊂ [0, 1] ist gegeben durch


∞


X
C = c ∈ [0, 1] c =
cj 3−j , cj ∈ {0, 2} .


j=1
S
Beweis. C = [0, 1] \ A, wobei A = A(q) und A(q) die
Vereinigung der im q-ten Schritt entfernten 2q−1 Mengen Aj1 j2 j3 ...jq
der Länge 3−q ist. Wir zeigen: Ein Element a ∈ [0, 1] ist genau
dann in A, wenn jede triadische Darstellung von a die Ziffer 1
mindestens einmal enthält.
1
2
A1 = x ∈ [0, 1] < x <
3
3
Daher ist a ∈ A1 , genau dann wenn x = 3−1 + y und 0 < y < 13 .
Damit ist x ∈ [0, 1] genau dann in A1 , wenn die triadische
Entwicklung von x mit einer 1 beginnt.
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Cantormenge
Koch-Kurve und Schneeflocke
Weitere Fraktale
Cantormenge – Shift-Operatoren
Betrachten wir zu einer Zahl x ∈ [0, 1] die Folge
(x1 , x2 , . . . , xj , . . . ) mit x =
∞
X
xj 3−j ,
j=1
so können wir die beiden Shift-Operatoren definieren:
sh− (x1 , x2 , x3 , . . . ) = (x2 , x3 , . . . ) Linksshift
und
sh+ (x1 , x2 , x3 , . . . ) = (0, x1 , x2 , x3 , . . . ) Rechtsshift mit Einfügen von 0.
sh+ entspricht der Multiplikation mit 3−1 , denn
∞
X
∞
xj 3−(j+1) =
j=1
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1 X −j
xj 3 .
3
j=1
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Cantormenge
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Weitere Fraktale
Shift und Multiplikation
sh− entspricht der Multiplikation mit 3 und Weglassen der
Vorkommastelle. Es gilt
sh− ◦ sh+ (x1 , x2 , . . . ) = (x1 , x2 , . . . )
und
sh+ ◦ sh− (x1 , x2 , . . . ) = (0, x2 , . . . ).
Damit sieht man, dass diese Shift-Operatoren nicht miteinander
vertauschen.
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Cantormenge
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Weitere Fraktale
Anwendung der Shift Operatoren
Ist nun x ∈ A1 und ist x = (x1 , x2 , x3 , . . . ) die zugeordnete Folge
der Koeffizienten in der triadischen Darstellung, so ist x1 = 1 und
jede Folge die durch (sh+ )j aus x hervorgeht enthält eine 1.
Schreiben wir für eine Folge x die zugehörige reelle Zahl x als
x = e(x) =
∞
X
xj 3−j ,
j=1
so ist
e((sh+ )k (x)) = 3−k e(x) ∈ A0...01 ,
wobei hier genau k-Nullen im Index stehen. Die Menge A(k)
erhalten wir nun indem wir die k Nullen durch eine beliebige Folge
von 0, 2 ersetzen (davon gibt es 2k ) und dann über all diese
Mengen vereinigen.
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Cantormenge
Koch-Kurve und Schneeflocke
Weitere Fraktale
Satz – Cantormenge Eigenschaften
Satz.
1
Die Cantormenge enthält kein Intervall der Form (a, b) mit
0 ≤ a < b ≤ 1.
2
1
C= C∪
3
2 1
+ C
3 3
und C ∩ [0, 12 ] = 13 C .
3
C ist überabzählbar, genauer gilt: C ist gleichmächtig zu
[0, 1].
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Cantormenge
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Weitere Fraktale
Beweis – Teil 1
Beweis.
1
Die Länge einer Menge Aw1 w2 ...wk 1 mit wi ∈ {0, 2} ist 3−(k+1) ,
die Gesamtlänge der im k-tem Schritt entfernten Mengen ist,
k
wie bereits gesehen 32k+1 . Da die Summe aller dieser Zahlen
gegen 1 konvergiert, gibt es zu jedem ε > 0 ein N, so dass die
ersten n-Summanden für n > N eine Summe größer als 1 − ε
liefern. Setzen wir ε = b − a > 0, so erhalten wir einen
Widerspruch, zur Tatsache, dass (a, b) ⊂ C impliziert, dass
(a, b) ∩ A = ∅ und damit auch (a, b) ∩ A(k) = ∅ k ≤ n.
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Cantormenge
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Weitere Fraktale
Beweis – Teil 2
2
Betrachte
1
1
1
1
C ⊂ [0, 1] = [0, ] ⊂ [0, ]
3
3
3
2
und die Tatsache, dass Multiplikation mit 3−1 genau dem
sh+ -Operator auf der Ebene der triadischen Entwicklung
entspricht, zeigt, dass 31 C ⊂ C . Da gleichzeitig 13 A ⊂ A gilt
1
3C = C.
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Weitere Fraktale
Beweis – Teils 3
3
Definiere H : [0, 1] → C . Für x ∈ [0, 1] schreiben wir die duale
Entwicklung
x=
∞
X
xj 2−j , mit xj ∈ {0, 1}.
j=1
Setze
∞
X
0
−j
H(x) =
(2xj )3 mit 2xj =
2
j=1
falls
falls
xj = 0
.
xj = 1
Dann ist H(x) ∈ C , denn es gibt eine triadische Entwicklung,
die nur die Ziffern 0, 2 enthält. H : [0, 1] → C ist injektiv:
angenommen
H(x) = H(y )
und
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Beweis – Teil 3 Fortsetzung
x=
∞
X
xj 2−j und y =
j=1
∞
X
yj 2−j .
j=1
Dann ist H(x) = H(y ), also ist
∞
X
(2xj )3−j =
j=0
∞
X
(2yj )3−j .
j=0
Angenommen x 6= y dann gibt es ein erstes j0 mit xj0 6= yj0 und sei
oBdA xj0 = 0 und yj0 = 1. Dann ist 2xj0 = 0 und 2yj0 = 2. Dann
ist aber H(x) < H(y ).
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Irrationale Zahlen
Da die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, C aber
überabzählbar ist, gibt es irrationale Zahlen in C . Man kann solche
konstruieren: Ist {dj }j∈N eine streng monoton steigende Folge
natürlichder Zahlen und schreiben wir
∞
X
x=
ξk 3−k mit ξk ∈ {0, 2}
k=1
und
ξk = 1 + (−1)N−1
P
wobei die N die kleinste Zahl sei, so dass k ≤ N
j=1 dj . Man
beachte, dass die Konstruktion so ist, dass die ersten d1 -Ziffern in
der triadischen Darstellung 0 sind, dann d2 Zahlen 2 kommen,
danach wieder d3 Zahlen 0. Die strenge Monotonie der Folge stellt
sicher, dass die Folge nicht periodisch wird und daher ist x
irrational.
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Ausgangspunkt: ein Intervall
0
1
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Elementare Konstruktion
0
1/3
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1/2
3/3
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Ausgangspunkt: gleichseitiges Dreieck
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Anwenden der elementaren Konstruktion auf jede Seite
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Nochmaliges Anwenden der elementaren Konstruktion
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Und nochmal
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Flächeinhalt
Die von der kontruierten Linie umschlossene Fläche ist streng
monoton wachsend. Die Anzahl der geraden Linien wird in jedem
Schritt vervierfacht, wir haben also nach j Schritten 3 · 4j Linien
und fügen im nächsten Schritt genau so viele Dreieck an. Ist F der
Flächeninhalt des ersten Dreiecks, so hat jedes der angefügten
Dreiecke den Flächeninhalt 9−j F . Insgesamt fügen wir also die
Fläche
3 · 4j
F
9j
an. Wir erhalten als Fläche F (n) nach n Schritten


n
j
X
4 
F (n) = 1 + 3
·F
9j
j=1
Diese Reihe konvergiert und damit ist der Flächeninhalt der
endgültigen Figur endlich.
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Weitere Fraktale
Länge der Randlinie
Sei 1 die Länge der ursprünglichen Strecke, so ist die Länge nach
einem Schritt 34 . Das heißt die Länge L(n) der Randlinie nach n
Schritten folgt der Iteration
4
Ln+1 = L(n).
3
Das erste Dreieck hat als Länge der Randlinie L(1) = 3, insgesamt
erhalten wir
n
4
L(n) =
· 3.
3
Dies ist für n → ∞ unbeschränkt (oder wächst über alle Grenzen).
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Sierpinski-Dreieck
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Sierpinski-Teppich
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Weitere Fraktale
Sierpinski-Pyramide
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Menger-Schwamm
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Koch-Kurve und Schneeflocke
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Apfelmännchen
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Weitere Fraktale
Fraktale
Definition. Ein Menge M heißt Fraktal oder eine fraktale Menge,
falls es eine endliche Anzahl von Kontraktionen Tj gibt,
j = 1, . . . , N gibt, so dass
M=
N
[
Tj (M).
j=1
Im Beispiel der Cantormenge hatten wir gesehen
2 1
1
C = C ∪ + C.
3
3 3
Ähnliche Konstruktionen finden wir im Fall der gezeigten Mengen.
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Cantormenge
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Warum Fraktale
1
Die gezeigten Fraktale sind zunächst Beispiele für iterative
Konstruktionen und ergänzen damit unsere Überlegungen zu
iterativen Konstruktionen.
2
Fraktale spielen aber auch in der Theorie der dynamischen
Systeme eine wichtige Rolle, wir werden dies hoffentlich noch
sehen.
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