Fragen3+Antworten

Mögliche theoretische Fragen zum 3. Programm:
Beispiele:
Wahre Größe von Winkeln
Pyramidenschnitt
Kreisdarstellung in GR, AR
Kugelschnitt in GR, AR
Ebener Zylinderschnitt
Wann wird ein Winkel in wahrer Größe abgebildet?
 Parallelprojektion verändert im Allgemeinen die Längen von Strecken, die Größen von
ebenen Figuren und die Größen von Winkeln; nur falls die ebene Figur in Hauptlage ist,
wird sie in wahrer Größe dargestellt.
Was sagt der „Satz vom rechten Winkel“ aus?
 Der Normalriss eines rechten Winkels ist genau dann wieder ein rechter Winkel, wenn
der eine Schenkel in Hauptlage, der andere nicht projizierend ist.
Wie erhält man erste, zweite bzw. dritte Fallgeraden einer gegebenen Ebene, welche
Bedeutung haben die ersten Fallgeraden?
 Die ersten, zweiten bzw. dritten Fallgeraden einer gegebenen Ebene sind jene Gerade in
der Ebene, die normal zur ersten, zweiten bzw. dritten Hauptgeraden stehen; die ersten
Fallgeraden geben die Richtung des abfließenden Wassers an.
Wie wird der Abstand zwischen jeweils zwei Grundobjekten Punkt, Gerade und Ebene
definiert?
 Punkt-Punkt: Länge der Verbindungsstrecke
 Punkt-Gerade: Länge der Strecke Punkt-Lotfußpunkt des Lotes durch den Punkt auf die
Gerade
 Punkt-Ebene: Länge der Strecke Punkt-Lotfußpunkt des Lotes durch den Punkt auf die
Ebene
 Gerade-dazu parallele Gerade: Länge der Strecke Lotfußpunkt auf der einen GeradenLotfußpunkt auf der anderen Geraden eines beliebigen Gemeinlotes
 Gerade-dazu windschiefe Gerade: Länger der Strecke Lotfußpunkt auf der einen
Geraden-Lotfußpunkt auf der anderen Geraden des eindeutig bestimmten Gemeinlotes
Wie wird der Winkel zwischen zwei Geraden, zwischen zwei Ebenen bzw. zwischen einer
Geraden und einer Ebene definiert?
 Winkel zwischen zwei Geraden: es soll jener Winkel gewählt werden, der zwischen 0°
und 90° liegt; der Winkel zwischen zwei zueinander windschiefen Geraden ist jener, den
dazu parallel Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt gehen, einschließen
 Winkel zwischen zwei Ebenen: wird in der gemeinsamen Normalebene gemessen und ist
der Winkel zwischen den beiden sich ergebenden Schnittgeraden mit der Normalebene;
er lässt sich auch als Winkel zwischen den beiden Ebenennormalen finden
 Winkel zwischen einer Ebene und einer Gerade: er wird in der Normalebene auf die
Ebene durch die Gerade gemessen und ist der Winkel zwischen der Geraden und der
Schnittgerade der beiden Ebenen
Wie kann die wahre Länge einer Strecke bestimmt werden, wie die wahre Größe einer
ebenen Figur, wie die wahre Größe eines Winkels?
 Wahre Länge einer Strecke: die Gerade muß in Hauptlage gebracht werden, dazu kann
ein Seitenriß, in dem die Gerade parallel zur neuen Bildebene ist, gezeichnet werden
oder „parallelgedreht“ werden: man lege eine erst- oder zweitprojizierende Ebene durch
die Strecke und drehe diese um eine erst- oder zweitprojizierende Gerade parallel zur
Bildebene
 wahre Größe einer ebenen Figur: erhält man durch Drehen der Ebene um eine
Hauptgerade der Ebene, sodaß sie zur Hauptebene wird. Im Allgemeinen wird dazu ein
Seitenriss eingeführt, in dem die Ebene projizierend erscheint und danach die
projizierende Ebene solange um die Hauptgerade gedreht, bis sie Hauptlage besitzt oder
ein weiterer Seitenriss eingeführt, in dem die Ebene dann Hauptlage hat
 wahre Größe eines Winkels: Drehung der Ebene, in der der Winkel zu sehen ist, in
Hauptlage
Was ist der erste Neigungswinkel einer Geraden, was der erste Neigungswinkel einer Ebene?
 der Winkel, den die Gerade mit der Grundrissebene einschließt, bzw. der Winkel, den die
Ebene mit der Grundrissebene einschließt
Was ist die Verebnung eines aus ebenen Flächenstücken zusammengesetzen Polyeders?
 die Ausbreitung des Polyeders in die Ebene, ohne Stauchung bzw. Streckung. Dazu ist es
erforderlich, die wahren Längen der beteiligten Strecken zu kennen
Was ist eine Kurve im Allgemeinen, was eine ebene Kurve bzw. eine Raumkurve?
 eine einparametrige Menge von Punkten, die, falls sie eben ist, noch zusätzlich in einer
Ebene liegt oder falls sie eine Raumkurve ist, eben nicht in einer Ebene liegt.
Wie kann man anschaulich die Tangente an eine Kurve in einem festen Punkt konstruieren?
 im Grenzübergang der Sekanten durch einen festgewählten Punkt P einer Kurve liegt die
Tangente tP; dabei muss der zweite Kurvenpunkt auf der Sekante gegen P wandern.
Wie kann der Krümmungskreis einer Kurve in einem festen Punkt erhalten werden, was ist
der Krümmungsradius, was die Krümmung einer Kurve in einem festgewählten Punkt?
 die Grenzlage jenes Kreises, der die Kurventangente im Punkt P als Tangente besitzt und
einen weiteren Kurvenpunkt Q enthält ist, läßt man Q gegen P wandern, der
Krümmungskreis der Kurve im Punkt P. Sein Radius wird Krümmungsradius genannt, der
Reziprokwert des Radius heißt Krümmung.
Wie werden die ebenen Kurven 2. Ordnung (= Ellipse, Hyperbel, Parabel) definiert, wie
funktionieren die wichtigsten Konstruktionen? Was versteht man unter einem Paar
konjugierter Durchmesser bei der Ellipse?
 Ellipse: Menge aller Punkte der Ebene, die von zwei festen Punkten F 1 und F2 eine
konstante Abstandssumme besitzen;
wichtig: Hauptachse, Nebenachse, Hauptscheitel, Nebenscheitel, Durchmesser,
Hauptscheitelkreis, Nebenscheitelkreis, Konstruktion nach de la Hire (Ausnützen der
orthogonalen perspektiven Affinität zum Haupt- und Nebenscheitelkreis), Konstruktion
der
Scheitelkrümmungskreise,
Papierstreifenkonstruktion,
umgekehrte
Papierstreifenkonstruktion;
 Zwei Ellipsendurchmesser heißen konjugiert, wenn die Tangenten in den Endpunkten des
einen Durchmessers parallel zum anderen Durchmesser sind. (zB. Achsen)
 Hyperbel: Menge aller Punkte der Ebene, die von zwei festen Punkten F 1 und F2 eine
konstante Abstandsdifferenz besitzen;
wichtig: Hauptachse, Nebenachse, Hauptscheitel, Nebenscheitel, Durchmesser,
Asymptoten
 Parabel: Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt F und einer festen
Geraden l den gleichen Abstand haben
wichtig: Scheitel, Durchmesser (// zu Achse!), Tangentenkonstruktion
Wie wird ein Kreis definiert, was ist der Parallelriß eines Kreises?
 die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt M den Abstand r haben
bildet einen Kreis; der Parallelriss eines Kreises ist im Allgemeinen eine Ellipse, ist jedoch
die Trägerebene in Hauptlage, so ist der Parallelriss wieder ein Kreis, ist die Trägerebene
projizierend, so ist der Parallelriss eine doppeltüberdeckte Strecke
 wichtig: Durchmesser, Kreisachse, Mittelpunkt
 Im AR, GR sind jene Durchmesser eines Kreises in allgemeiner Lage einfach abzubilden,
die auf Hauptgeraden durch den Mittelpunkt des Kreises liegen; dort wird der Radius
unverzerrt abgebildet; mit der umgekehrten Papierstreifenmethode erhält man die
Nebenscheitel.
Was ist eine Fläche, was eine Flächenkurve bzw. eine Flächenkurventangente? Was ist eine
Tangentialebene einer Fläche in einem Punkt, was versteht man unter einem regulären
Flächenpunkt bzw. unter einem singulären Flächenpunkt? Was ist die Flächennormale in
einem gegebenen Punkt?
 eine Fläche ist eine zweidimensionale Punktmenge – als Haut oder als Volumskörper;
eine Flächenkurve ist eine Kurve, die zur Gänze auf der Fläche liegt, die Tangente an
diese Kurve in einem Punkt ist bestimmbar und liegt in der Tangentialebene der Fläche in
diesem Punkt; diese ist eindeutig bestimmt, falls der Flächenpunkt ein regulärer Punkt
ist, sie ist nicht eindeutig, falls der Flächenpunkt ein singulärer Punkt ist (zB.
Kegelspitze). Ist der Flächenpunkt regulär, so liegen alle Tangenten an Flächenkurven
durch diesen Punkt in der Tangentialebene; die Normale auf diese Tangentialebene in
dem betrachteten Punkt heißt Flächennormale im Punkt.
Was sind die Konturpunkte einer Fläche bzgl. einer vorgegebenen Projektion, wie bezeichnet
man die Projektion der Kontur einer Fläche? Welche Eigenschaft weist die Tangentialebene in
einem Konturpunkt auf? Was ist der Sehzylinder einer Fläche bzgl. einer gewählten
Projektion? Muß eine Fläche bzgl. einer festen Projektion Konturpunkte besitzen?
 bildet man zu einer festen Parallelprojektion den der Fläche umschriebenen
Sehstrahlzylinder, so nennt man die Berührkurve der beiden Flächen die Kontur der
Fläche bzgl. dieser Projektion. Die Parallelprojektion dieser Kurve in eine Bildebene wird
als Umriss bezeichnet. Konturpunkte sind dadurch gekennzeichnet, dass die
Tangentialebene projizierend ist. Betrachtet man zB. die Kegelfläche aus dem Fernpunkt
der Kegelachse, so hat diese Fläche keine Konturpunkte.
Wie wird eine Kugel definiert, was sind die ebenen Schnitte einer Kugel, was der Parallelriß
einer Kugel? Wie kann ein Punkt auf einer Kugel festgelegt werden? Können alle Punkte über
Längen- bzw. Breitenkreise festgelegt werden?
 eine Kugel ist die Menge aller Punkte im Raum, die von einem festen Punkt M einen
konstanten Abstand r haben. Als ebene Schnitte einer Kugel treten auf:
Ebene schneidet Kugel: Kleinkreis, falls Ebene nicht durch M geht
Großkreis, falls Ebene durch M geht
Ebene ist Tangentialebene der Kugel: Punkt
Ebene „geht an Kugel vorbei“
Der Parallelriss einer Kugel ist bei Normalprojektion ein Kreis, bei schiefer
Parallelprojektion eine Ellipse (Schnitt eines Zylinders mit achsennormaler, nicht
achsennormaler Ebene)
Mit Hilfe der Längen- und Breitenkreise kann man alle Punkte auf der Kugel bis auf den
Nord- und Südpol festlegen, es gibt jeweils genau einen Längen- und Breitenkreis durch
einen Punkt. Die Länge variiert zwischen 0°-180° w.L. bzw. ö.L., die Breite variiert
zwischen 0°-90° n.B., s.B.
Angittern auf der Kugel funktioniert über Ordner und ebene Schnitte der Kugel in
Hauptlage.
Wie heißt die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Fläche?
 geodätische Linie, diese wird auf der Kugel auf Großkreisen gefunden
Was bezeichnet man als eine Zylinderfläche? Was ist ein Zylinder, was ist ein Kreiszylinder,
elliptischer Zylinder, Drehzylinder? Welche Beziehung besteht zwischen zwei ebenen
Schnitten eines Zylinders? Wieviele Tangentialebenen gibt es längs einer Erzeugenden? Was
bildet den Umriss eines Zylinders? Welche Kurven treten als ebene Schnitte eines
Drehzylinders auf?
 Durch Bewegung einer Geraden längs einer Leitlinie entsteht eine Zylinderfläche,
schneidet man diese mit zwei Ebenen ab, so entsteht ein Zylinder. Die einzelnen Lagen
der Geraden werden als Erzeugende bezeichnet. Besondere Zylinder sind Kreiszylinder,
elliptische Zylinder und Drehzylinder, je nachdem ob die Leitlinie ein Kreis oder eine
Ellipse ist, bzw. ob noch zusätzlich zu der Tatsache, dass die Leitlinie ein Kreis ist, die
Erzeugenden parallel zur Kreisachse sind. Zwischen zwei ebenen Schnitten eines
Zylinders besteht eine Parallelperspektivität, längs einer Erzeugenden berührt eine
einzige Tangentialebene. Der Umriss eines Zylinders besteht also aus den Bildern
gewisser Erzeugenden.
Als ebene Schnitte eines Drehzylinders treten Kreise (Ebene normal auf Zylinderachse),
Erzeugende (Ebene parallel Zylinderachse) bzw. Ellipsen (allgemeine Ebene) auf.
Was bezeichnet man als eine Kegelfläche? Was ist ein Kegel, was ist ein Kreiskegel,
elliptischer Kegel, Drehkegel? Welche Beziehung besteht zwischen zwei ebenen Schnitten
eines Kegels? Wieviele Tangentialebenen gibt es längs einer Erzeugenden? Was bildet den
Umriss eines Kegels? Welche Kurven treten als ebene Schnitte eines Drehkegels auf?
 Durch Bewegung einer Geraden längs einer Leitlinie und durch einen festen Punkt S
(Spitze) entsteht eine Kegelfläche, schneidet man diese mit zwei Ebenen ab, so entsteht
ein Kegel. Die einzelnen Lagen der Geraden werden als Erzeugende bezeichnet.
Besondere Kegel sind Kreiskegel, elliptische Kegel und Drehkegel, je nachdem ob die
Leitlinie ein Kreis oder eine Ellipse ist, bzw. ob noch zusätzlich zu der Tatsache, dass die
Leitlinie ein Kreis ist, S auf der Kreisachse liegt. Zwischen zwei ebenen Schnitten eines
Kegels besteht eine Zentralperspektivität, längs einer Erzeugenden berührt eine einzige
Tangentialebene. Der Umriss eines Kegels besteht also aus den Bildern gewisser
Erzeugenden.
Als ebene Schnitte eines Drehkegels treten Kreise (Ebene normal auf Kegelachse),
Erzeugende (Ebene enthält Kegelspitze) bzw. Ellipsen, Hyperbel, Parabel (allgemeine
Ebene) auf. Je nachdem, wie stark die Erzeugenden bzw. die Schnittebene geneigt ist,
ergeben sich diese Kegelschnitte.