Übungen - Gitterpunkte in konvexen Mengen - TU Berlin

Übung 6
WS 2011/2012
Gitterpunkte in konvexen Mengen
Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. Martin Henk
Dipl.-Math. Carsten Thiel
Aufgabe 6.1 Seien P1 und P2 Polyeder in V . Zeigen Sie:
P1 und P2 sind genau dann stark kombinatorisch isomorph, wenn es eine
Bijektion α : vert(P1 ) → vert(P2 ) gibt mit fcone(P1 , v) = fcone(P2 , α(v))
für jede Ecke v ∈ vert(P1 ).
Aufgabe 6.2 Sei P ⊂ V ein Polytop. Beweisen Sie
X
Φ [fcone(P, v)] = 0 .
v∈vert(P )
Aufgabe 6.3 Drücken Sie des Einheitswürfels C = [0, 1]n in Rn durch die
Formel aus Korollar 8.2 ii) aus.
Aufgabe 6.4 Sei a = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn ein Vektor mit paarweise verschiedenen Koordinaten und sei P die konvexe Hülle der n! Punkte, die aus a
durch Permutationen der Koordinaten hervorgehen.
Beweisen Sie, dass P ein einfaches Polytop der Dimension n − 1 ist, dass in
der affinen Hyperebene
A = { (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x1 + . . . + xn = α1 + . . . + αn }
liegt.
Drücken Sie außerdem das Volumen von P als Polytop im (n − 1)-dimensionalen Raum A mit Hilfe der Formel aus Korollar 8.2 ii) aus.
Besprechung: 24.11.2011
S. 1/1
Übung 5
WS 2011/2012
Gitterpunkte in konvexen Mengen
Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. Martin Henk
Dipl.-Math. Carsten Thiel
Aufgabe 5.1 Beweisen Sie Satz 6.4.
Hinweis: Kombinieren Sie die Beweise von Satz 5.4 und Satz 6.3. Beweisen
Sie die Aussage zunächst für das Simplex und wenden Sie schließlich eine
geeignete Projektion an.
Aufgabe 5.2 Sei P ⊂ V ein unbeschränktes Polyeder der Dimension n, das
keine Gerade enthält. Sei fi0 (P ) die Anzahl der beschränkten i-dimensionalen
Seiten von P , sei fi∞ (P ) die Anzahl der unbeschränkten i-dimensionalen Seiten von P und sei fi (P ) = fi0 (P )+fi∞ (P ) die Gesamtzahl der i-Seiten. (Wir
betrachten P als n-Seite von sich selbst.) Beweisen Sie
n−1
X
n
X
n
X
i=0
i=1
i=0
(−1)i fi0 (P ) = 1 ,
(−1)i+1 fi∞ (P ) = 1 und
(−1)i fi (P ) = 0 .
Aufgabe 5.3 Sei P ⊂ V ein Polytop der Dimension n. Beweisen Sie
(−1)n [int P ] =
X
(−1)dim F [F ] .
F ⊆P
Seite
(Wir betrachten P als Seite von sich selbst.)
Aufgabe 5.4 Sei P ⊂ V ein unbeschränktes Polyeder, das keine Gerade
enthält. Beweisen Sie χ([int P ]) = 0.
Besprechung: 17.11.2011
S. 1/1
Übung 4
WS 2011/2012
Gitterpunkte in konvexen Mengen
Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. Martin Henk
Dipl.-Math. Carsten Thiel
Aufgabe 4.1 Wir ersetzen die Funktion Gε aus dem Beweis von Satz 4.3
durch
(
1 falls hx, yi ≤ 1,
e
G(x,
y) =
0 sonst.
e diejenige Abbildung, die durch
Sei D
e ) = h für
D(f
e
h(y) = χ G(x,
y)f (x)
e : C(V ) → Bild(D)
e eine lineare Abbildefiniert wird. Beweisen Sie, dass D
e
dung ist und berechnen Sie D([B]), wobei B ⊂ V eine Kugel vom Radius 1
um den Nullpunkt ist.
Aufgabe 4.2 Seien f und g Linearkombinationen von Indikatorfunktionen
polyedrischer Kegel in V . Sei D die Abbildung aus Satz 4.3 iii). Zeigen Sie,
dass D(f · g) = D(f ) ∗ D(g).
Aufgabe 4.3 Sei P = { x ∈ V | `i (x) ≤ αi , i ∈ I } und für v ∈ P sei wie
gehabt Iv = { i ∈ I | `i (v) = αi }. Beweisen Sie
tcone(P, v) = { x ∈ V | `i (x) ≤ αi , i ∈ Iv }
und
fcone(P, v) = { x ∈ V | `i (x) ≤ 0 , i ∈ Iv } .
Aufgabe 4.4 Sei P ⊂ V , P 6= ∅, ein Polyeder, das keine Gerade enthält
und seien Q die konvexe Hülle der Ecken und CP der Rezessionskegel von
P . Beweisen Sie, dass für jede Ecke v von P gilt
tcone(P, v) = tcone(Q, v) + CP .
Aufgabe 4.5 Sei P ⊂ V , P 6= ∅, ein Polyeder, das keine Gerade enthält
und sei CP der Rezessionskegel von P . Beweisen Sie, dass
X
[fcone(P, v)] ≡ [CP ]
modulo Polyeder mit Geraden.
v∈vert(P )
Aufgabe 4.6 Sei P ⊆ V ein Polyeder, F ⊆ P eine Seite von P und sei
v ∈ rel int(F ). Beweisen Sie, dass tcone(P, v) und fcone(P, v) nicht von der
Wahl von v abhängen.
Man kann also von Tangentenkegel tcone(P, F ) und Kegel der zulässigen
Richtungen fcone(P, F ) einer Seite F von P sprechen.
Besprechung: Dienstag, 08.11.2011
S. 1/1
Übung 3
WS 2011/2012
Gitterpunkte in konvexen Mengen
Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. Martin Henk
Dipl.-Math. Carsten Thiel
Aufgabe 3.1 Seien P1 , P2 ⊆ V nicht-leere Polyeder und sei Q = P1 + P2
ihre Minkowski-Summe. Beweisen Sie, dass jede Seite F von Q in der Form
F = G + H geschrieben werden kann, wobei G Seite von P1 und H Seite
von P2 ist.
Aufgabe 3.2 Seien P1 , P2 ⊆ V nicht-leere Polyeder und sei Q = P1 ∩ P2 .
Beweisen Sie, dass jede Ecke v von Q in der Form v = F1 ∩ F2 , geschrieben
werden kann, wobei Fi Seite von Pi ist und dim F1 + dim F2 ≤ dim V .
Aufgabe 3.3 (Satz von Birkhoff–von Neumann) Im Raum der n × n Matrizen X = (xij ) sei P die Menge derjenigen Matrizen, die die Gleichungen
n
X
xij = 1 für i = 1, . . . , n
und
n
X
xij = 1 für j = 1, . . . , n
i=1
j=1
sowie die Ungleichungen
xij ≥ 0
für alle i, j
erfüllen. Beweisen Sie, dass P ein Polytop der Dimension (n − 1)2 ist und
dass dessen Ecken genau die Permutationsmatrizen X sind, die genau einen
Eintrag „1“ und n − 1 Einträge „0“ in jeder Zeile und jeder Spalte haben.
Hinweis: Beweisen Sie, dass unter den Einträgen jeder Ecke von P mindestens (n − 1)2 Nullen auftreten.
Aufgabe 3.4 Seien r1 , . . . , rm und c1 , . . . , cn positive ganze Zahlen mit
m
X
ri =
i=1
n
X
cj .
j=1
Im Raum der m × n Matrizen X = (xij ) betrachten wir das Transportationspolytop P , bestehend aus denjenigen Matrizen, die die Gleichungen
n
X
xij = ri
für i = 1, . . . , m
j=1
und
m
X
xij = cj
für j = 1, . . . , n
i=1
sowie die Ungleichungen
xij ≥ 0
für alle i, j
erfüllen. Beweisen Sie, dass eine Ecke X von P nur ganze Einträge hat.
Besprechung: 03.11.2011
S. 1/1
Übung 2
WS 2011/2012
Gitterpunkte in konvexen Mengen
Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. Martin Henk
Dipl.-Math. Carsten Thiel
Aufgabe 2.1 Finden Sie Beispiele für abgeschlossene konvexe Mengen
A, B, C ⊆ V und eine lineare Transformation T : V → W , sodass
T (A)
und
B+C
nicht abgeschlossen sind.
Aufgabe 2.2 Seien V und W Vektorräume und T : V → W eine lineare
Abildung und sei Te : P(V ) → P(W ) wie in Satz 2.2.
Zeigen Sie, dass Te(f ∗ g) = Te(f ) ∗ Te(g).
Aufgabe 2.3 Sei I := { (ξ1 , ξ2 ) | 0 ≤ ξ1 , ξ2 ≤ 1 } das Quadrat in der Ebene.
Zeigen Sie, dass
[I] ∗ [− int I] = [0]
gilt, wobei − int I = { (ξ1 , ξ2 ) | −1 < ξ1 , ξ2 < 0 }.
Aufgabe 2.4 Zeigen Sie, dass die Indikatorfunktion [P ] eines unbeschränkten Polyeders P ⊆ V ein Nullteiler ist, d. h. finden Sie ein f ∈ P(V ) mit
f ∗ [P ] = 0.
Aufgabe 2.5 Wie viele Seiten hat der d-dimensionale Würfel
C = { (ξ1 , . . . , ξd ) | 0 ≤ ξi ≤ 1 für i = 1, . . . , d } ?
Besprechung: 27.10.2011
S. 1/1
Übung 1
WS 2011/2012
Gitterpunkte in konvexen Mengen
Institut für Algebra und Geometrie
Prof. Dr. Martin Henk
Dipl.-Math. Carsten Thiel
Aufgabe 1.1 Seien a und b teilerfremde positive Zahlen und sei
S := { m1 a + m2 b | m1 , m2 ∈ Z+ }
die Menge der Linearkombinationen von a und b mit nicht-negativen Koeffizienten. Zeigen Sie, dass
X
xm =
m∈S
1 − xab
(1 − xa )(1 − xb )
für |x| < 1 .
Geben Sie eine Interpretation der Formel
1
1 − xab
−
1 − x (1 − xa )(1 − xb )
und vereinfachen Sie diese für a = 3 und b = 7.
Aufgabe 1.2 Sei P ⊂ R2 ein allgemeines Gitterpolygon, also die Vereinigung von endlichen vielen einfachen Gitterpolygonen die selbst Gitterpolygon ist. Beweisen Sie zunächst die kombinatorische Eulercharakteristik
χ(P ) = F − E + V ,
dabei F die Zahl der Flächen, E die der Kanten und V die der Ecken.
Beweisen Sie dann den Satz von Pick
vol(P ) = G(int P ) + 12 G(bd P ) − χ(P ) .
Aufgabe 1.3 Beweisen Sie die Inklusions-Exklusions-Formel
" n
[
#
Xi =
i=1
"
X
|I|−1
(−1)
I⊂{ 1,...,n }
I6=∅
#
\
Xi
i∈I
für Mengen Xi ⊂ V , i = 1, . . . , n.
Aufgabe 1.4 Sei
C := { (ξ1 , . . . , ξd ) | 0 < ξi < 1 für i = 1, . . . , d }
der offene d-dimensionale Würfel im Rd .
Zeigen Sie [C] ∈ P(Rd ) und χ([C]) = (−1)d .
Besprechung: 20.10.2011
S. 1/1