Ubung zu Funktionalanalysis 1 5.¨Ubung (2.6.2017)

Übung zu Funktionalanalysis 1
5.Übung (2.6.2017)
40. Sei X ein normierter Raum, und seien T, Tn ∈ B(X). Dann gilt
w
Tn → T
w∗
⇐⇒ ∀ y � ∈ Y � : Tn� y � → T � y �
41. Seien X, Y Banachräume, T ∈ B(X, Y ). Dann ist T isometrisch und surjektiv genau dann, wenn
T � diese Eigenschaften hat.
42. Seien X, Y kompakte Hausdorff Räume, sei τ : Y → X stetig, und A ∈ B(C(X), C(Y )) der
Operator Af := f ◦ τ . Zeige, dass sein Konjugierter A� ∈ B(M (Y ), M (X)) gegeben ist durch
(A� µ)(Δ) = µ(τ −1 (Δ)),
µ ∈ M (Y ), Δ ⊆ X Borelmenge .
43. Betrachte den Operator T der für f ∈ L1 (0, 1) definiert ist als
�
�� 1
f (t)tn dt
T f :=
n∈N0
0
�1
Die Zahlen 0 f (t)tn dt heißen auch die Momente von f . Zeige, dass T zu B(L1 (0, 1), C0 (N0 )) gehört,
und bestimme T � ∈ B(�1 (N0 ), L∞ (0, 1)).
44. Sei U : L2 (R) → L2 (R) die Fouriertransformation. Bestimme σ(U ) und σp (U ).
Hinweis: Man erinnere sich, dass U auf dem dichten Teilraum L1 (R) ∩ L2 (R) gegeben ist durch
�
1
(U f )(ζ) = √
f (t) exp(−itζ) dλ(t).
2π R
Verwende den Spektralabbildungssatz und betrachte Funktionen der Bauart p(t)e−
p(t).
t2
2
mit einem Polynom
�
�
45. Sei X ein Banachraum, A ∈ B(X), und λ ∈ ρ(A). Dann gilt r (A − λ)−1 = d(λ, σ(A))−1 .
46. Sei X ein Banachraum und A ∈ B(X). Wir betrachten eine Störung B := A + T von A wobei
T ∈ B(X). Dann wissen wir:
(�) Ist A invertierbar (d.h., 0 ∈ ρ(A)) und �T � < �A−1 �−1 , dann ist B ebenfalls invertierbar.
Sei nun angenommen, dass AT = T A. Zeige:
(a) Ist A invertierbar und r(T ) < r(A−1 )−1 , dann ist B invertierbar.
(b) Die Aussage (a) ist stärker als (�), d.h., es gilt “(a)⇒(�)”.
47. Sei K(C) die Menge aller kompakten Teilmengen von C, und
�
�
dH (M, N ) := max sup inf |x − y|, sup inf |x − y| ,
x∈M y∈N
y∈N x∈M
M, N ∈ K(C).
Es gilt dass dH eine Metrik ist, die Hausdorff-Metrik.
Sei nun X ein Banachraum. Zeige:
�
�
(a) Sind A, B ∈ B(X) mit AB = BA, dann ist dH σ(A), σ(B) ≤ r(A − B).
(b) Ist C eine kommutative Teilalgebra von B(X), so ist die Funktion
�
(C, �.�B(X) ) → (K(C), dH )
Σ:
A �→ σ(A)
stetig.
48. Der Operator S am �2 (N) der gegeben ist als
�
�2 (N)
S:
(x1 , x2 , x3 , . . .)
→ �2 (N)
�→ (0, x1 , x2 , . . .)
heißt der Shift-Operator am �2 (N).
(a) Zeige �
dass S isometrisch ist, bestimme ran S und zeige dass ran S abgeschlossen ist. Weiters
∞
zeige n=1 ran(S n ) = {0}.
(b) Finde einen Operator S ∗ ∈ B(�2 (N)) mit (hier ist (., .) das Skalarprodukt am �2 (N))
(Sx, y) = (x, S ∗ y), x, z ∈ �2 (N).
�∞
Bestimme ker(S ∗ ), ran(S ∗ ), und n=1 ran([S ∗ ]n ).
(c) Zeige, dass
σp (S ∗ ) = σr (S) = {λ ∈ C : |λ| < 1} ,
σc (S ∗ ) = σc (S) = {λ ∈ C : |λ| = 1} ,
σr (S ∗ ) = σp (S) = ∅ .
�
�
(d) Für λ ∈ C mit |λ| �= 1 bestimme dim �2 (N)/ ran(S − λ) .