Lineare Algebra I - Mathematik, TU Dortmund

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Sven Wagner
Wintersemester 2013/14
Übungsblatt 8
10.12.2013
Lineare Algebra I
Aufgabe 8.1:
Überführen Sie die folgenden homogenen linearen Gleichungssysteme unter Verwendung elementarer Umformungen in Stufenform. Berechnen Sie dann jeweils die Lösungsmenge. Die zugehörigen
Körper sind jeweils angegeben.


−4 −8 −9
0 0
 1
2
3 −1 0 
 über Q
(a) 
 3
6 10 −1 0 
2
4 11
9 0


2 4 1 3 0
(Notation: siehe Aufgabe 7.1 (a). Als ganzzahlige Vertreter
 1 2 4 1 0 


der Elemente aus Z/5Z sind stets Zahlen aus {0, 1, 2, 3, 4} zu
(b) 
über Z/5Z
4 3 3 3 0 
wählen.)
3 1 0 4 0
Aufgabe 8.2:
Überführen Sie die folgenden inhomogenen linearen Gleichungssysteme unter Verwendung elementarer Umformungen in Stufenform. Berechnen Sie dann jeweils die Lösungsmenge. Die zugehörigen
Körper sind jeweils angegeben.


1+i
3i
1 − 2i
4
2 6 + 3i −1 − 2i
7 − 5i  über C
(a) 
−2i 6 − 3i −3 + i −1 − 7i


1
X
X2
X 3 − 2X 2
−X 4 + 2X 3 + X 2 − 1  über Q(X)
(b)  −X −X 2 + 1 −X 3 + X + 1
2
3
4
5
−2X −2X − 1
−2X − X −2X + 4X 4 − X 2 + 2X + 1
Aufgabe 8.3:
Sei K ein Körper, und sei



A := 


11
0 −12
14
6
0
10
4
15
0
22 −20
10 −37
18
−33
30 −24
10 −14
11
0
0
28
4



 ∈ M5×5 (K),


wobei sich die Notation aus Aufgabe 7.1 (a) ergibt. Bestimmen Sie den Rang des zu A gehörenden
homogenen linearen Gleichungssystems über den folgenden Körpern.
(a) K = Q
(b) K = Z/2Z
(c) K = Z/3Z
(d) K = Z/5Z
(e) K = Z/7Z
Definition:
Sei K ein Körper, und sei V ein K–Vektorraum. Vektoren x1 , . . . , xn ∈ V heißen linear unabhängig, wenn für alle λ1 , . . . , λn ∈ K gilt:
λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn = 0 =⇒ λ1 = · · · = λn = 0.
Aufgabe 8.4:
Sei K ein Körper. Sie dürfen zum Lösen der Aufgabe aus dem 2. Teil der Vorlesung nur die obige
Definition verwenden.
(a) Sei V ein K–Vektorraum. Zeigen Sie für den Fall, dass 2 = 1 + 1 6= 0 in K gilt: Sind
x, y, z ∈ V linear unabhängig, so auch x + y, x + z, y + z.
(b) Sei x = (x1 , x2 ) ∈ K 2 nicht der Nullvektor, sowie y = (y1 , y2 ) ∈ K 2 ein weiterer Vektor.
Zeigen Sie, dass es genau dann ein λ ∈ K mit y = λx gibt, wenn x1 y2 − x2 y1 = 0 gilt.
(c) Seien x, y ∈ K 2 linear unabhängig. Zeigen Sie, dass es zu jedem z ∈ K 2 eindeutig bestimmte
Elemente α, β ∈ K mit z = αx + βy gibt.
Aufgabe 8.5:
Sei K ein Körper und A ∈ Mm×n (K) eine m × n–Matrix mit Koeffizienten in K, für die sich das
zugehörige homogene Gleichungssystem in Stufenform befindet. Zeigen Sie, dass dann die vom
Nullvektor verschiedenen Zeilenvektoren von A im K–Vektorraum K n linear unabhängig sind.
Abgabe bis Dienstag, den 17. Dezember, 13 Uhr in die Briefkästen im Eingangsbereich
des Mathematikgebäudes.
Das griechische Alphabet
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
α
β
γ
δ
, ε
ζ
η
θ, ϑ
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
ι
κ, κ
λ
µ
ν
ξ
o
π, $
Iota
Kappa
Lambda
My
Ny
Xi
Omikron
Pi
P
Σ
T
Y
Φ
X
Ψ
Ω
ρ, %
σ, ς
τ
υ
φ, ϕ
χ
ψ
ω
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega