Preisaufgabe - Uni Hamburg

Department
Mathematik
Preisaufgabe
Aus falsch wird wahr. . .
Preisfragen
Wie erhält man den wahren Satz?
Einen solchen Selbstbezüglichen Satz kann man
erhalten, indem man die
Anzahlen in einem falschen
so lange verändert, bis man
einen wahren hat.
Um diesen Vorgang mathematisch zu beschreiben,
stellen wir zunächst fest,
dass wir statt des Satzes
nur die Anzahlen für jede
Ziffer des Dezimalsystems
notieren müssen. Der Zustand
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
entspricht also dem Satz:
1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1. Gibt es im Dezimalsystem (10er) eine Folge solcher
Sätze mit Periodenlänge ≥ 2?
In diesem Satz kommt
die Ziffer 0 genau 1mal, die Ziffer 1 genau
1-mal, die Ziffer 2 genau 1-mal, . . . und die
Ziffer 9 genau 1-mal
vor.
Ein wahrer Satz
In diesem Satz kommt die
Ziffer 0 genau 1-mal, die
Ziffer 1 genau 11-mal, die
Ziffer 2 genau 2-mal, die
Ziffer 3 genau 1-mal, die
Ziffer 4 genau 1-mal, die
Ziffer 5 genau 1-mal, die
Ziffer 6 genau 1-mal, die
Ziffer 7 genau 1-mal, die
Ziffer 8 genau 1-mal und die
Ziffer 9 genau 1-mal vor.
Die Veränderung ist eine
Vorschrift, also eine Funktion f , die einfach zählt,
wie häufig welche Ziffer im
Satz zu einem Zustand vorkommt:
f ((1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1))
= (1, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
f
1 12 1 1 1 1 1 1 1 1
f
1 11 2 1 1 1 1 1 1 1
Die Folge der Zustände
ist periodisch geworden mit
Periodenlänge 1. Der Satz
ist wahr! Aus falsch wird
wahr.
Eine periodische Folge
mit Länge 1 entspricht
f
einem wahren Satz. Eine längere periodische Folge entspräche einer Folge
von Sätzen, bei denen sich
jeder auf den nächsten bezieht und der letzte wieder
auf den ersten.
2. Gibt es im Dualsystem (2er) einen wahren solchen
Satz?
Es ist jeweils ein Beispiel anzugeben oder zu beweisen,
dass keins existiert.
Sonderpreis:
1. Gibt es in irgendeinem Zahlensystem eine Folge mit
Periodenlänge ≥ 3 außer der unten angegebenen?
Teilnahmebedingungen
Teilnahmeberechtigt sind alle Schüler einer weiterführenden Schule in der Stadt Hamburg. Dazu zählen alle
Gymmnasien und alle Schulen mit gymnasialer Oberstufe, unabhängig vom Träger der Schule, die ihren Standort
innerhalb des Stadtgebietes von Hamburg haben. Teilnehmen kann man durch Senden einer Email mit Betreff
Preisaufgabe Nortec“ an:
”
[email protected]
Diese Mail soll die Lösung sowie Namen und Anschrift
des Teilnehmers und seiner Schule beinhalten.
Einsendeschluss ist der 14. Februar 2010. Bei mehr
richtigen Antworten als Preisen entscheidet das Los. Der
Rechtsweg ist ausgeschlossen.
Weitere Information siehe auf der unten angegebenen
Webseite.
Eine Periodenlänge 3
Im 3er-System gibt es eine periodische Folge mit Länge 3 (alle Zahlen sind zur Basis 3 geschrieben):
Im nächsten Satz kommt die Ziffer 0 genau 1-mal, die Ziffer 1 genau 10-mal und
die Ziffer 2 genau 10-mal vor.
Im nächsten Satz kommt die Ziffer 0 genau 10-mal, die Ziffer 1 genau 11-mal
und die Ziffer 2 genau 1-mal vor.
Im nächsten Satz kommt die Ziffer 0 genau 2-mal, die Ziffer 1 genau 12-mal und
die Ziffer 2 genau 1-mal vor.
Dynamik im Detail
Wir stellen uns eine Menge X von Objekten
vor, denken uns eine Vorschrift, die jedem Objekt x ∈ X ein neues Objekt in X zuordnet
und schreiben dafür x 7→ f (x). Diesen Vorgang
kann man wiederholen: Wir schreiben f 2(x) für
f (f (x)), also für das Objekt, das durch zweifaches Anwenden der Vorschrift f auf das Objekt
x entsteht. Durch weiteres Wiederholen erhalten
wir eine Folge von Objekten:
x, f (x), f 2(x), f 3(x), f 4(x), . . . , f n(x), . . .
Uns interessieren solche x, für die die Folge periodisch wird, so dass ab einer bestimmten Wiederholung immer wieder die gleichen Objekte in
gleicher Abfolge auftreten. Die einfachsten Objekte sind Zahlen und dafür wollen wir eine einfache Vorschrift angeben: Ist x eine natürliche
Zahl, so setzen wir
(
x,
falls x gerade ist
2
f (x) =
.
3x + 1, falls x ungerade ist
ge eine Periode mit Periodenlänge 3. Um periodische Folgen, allerdings für kompliziertere Objekte, soll es hier gehen.
Die Objekte sind alle Sätze der Form:
In diesem Satz kommt die Ziffer 0 genau
s0-mal, die Ziffer 1 genau s1-mal, . . . und
die Ziffer b − 1 genau sb−1-mal vor.
Dabei stehen s0, s1, . . . , sb−1 jeweils für eine
Zahl geschrieben zur Basis b. X ist die Menge
all solcher Sätze (diese können wahr oder auch
falsch sein). Wir wählen die folgende Vorschrift
f : Ist x einer dieser Sätze, so soll f (x) der Satz
sein, der entsteht, indem wir in x die Ziffern 0
zählen, das Ergebnis als Zahl t0 notieren, die Ziffern 1 zählen, dies als Zahl t1 notieren und diesen
Vorgang bis b − 1 fortsetzen. Damit geben wir
f (x) an:
In diesem Satz kommt die Ziffer 0 genau t0mal, die Ziffer 1 genau t1-mal, . . . und die
Ziffer b − 1 genau tb−1-mal vor.
Wiederholtes Anwenden dieser Vorschrift führt
Beginnen wir mit x = 11, so erhalten wir durch auf eine Folge von Sätzen. Eine Besonderheit hat
diese Folge, wenn die Vorschrift einen Satz wiewiederholtes Anwenden von f :
derholt, also falls f (x) = x, dann ist dieser Satz
wahr. So werden mit unserer Vorschrift unwahre
x = 11, f (x) = 34, f 2(x) = 17, f 3(x) = 52
Sätze nach mehreren Wiederholungen hoffentlich
danach 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
zu wahren Sätzen, wie dem, der oben in der MitDie letzten Zahlen 4, 2, 1 wiederholen sich nun te steht. Wir haben dieses Vorgehen in der Box
für immer. Wir nennen diesen Abschnitt der Fol- oben links an einem Beispiel vorgeführt.
Universität Hamburg · Tor zur Welt der Wissenschaft
Department Mathematik · http://www.math.uni-hamburg.de/
Zahlsysteme
Gewöhnlich schreiben wir Zahlen im
10er-System, bei dem es die Ziffern 0 bis 9
gibt und die Stellen die 1er, 10er, 100er, . . .
sind. Natürlich ist 10 dabei eine willkürliche Festlegung und kann durch eine beliebige Basis b ersetzt werden, als Beispiel betrachten wir b = 3.
Im 3er-System gibt es die Ziffern 0, 1 und
2. Die Stellen sind die 30 = 1er, 31 = 3er,
32 = 9er, 33 = 27er usw. Wir zählen:
10er-Zahl 3er-Zahl
1
(1)3 = 1 · 30
2
(2)3 = 2 · 30
3
(10)3 = 1 · 31 + 0 · 30
4
(11)3 = 1 · 31 + 1 · 30
5
(12)3 = 1 · 31 + 2 · 30
6
(20)3 = 2 · 31 + 0 · 30
. . . (. . . )3
Möchte man andererseits wissen, wie eine
Zahl im 3er-System aussieht, so muss man
für jede mögliche Stelle testen, wie häufig
sie passt. Hier am Beispiel von z = 523:
Zunächst einmal ist 35 ≤ z < 36, also beginnen wir mit 35:
523
37
37
10
1
1
= 2 · 35 + 37
= 0 · 34 + 37
= 1 · 33 + 10
= 2 · 32 + 1
= 0 · 31 + 1
= 1 · 30
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
z
z
z
z
z
z
= (200000)3 + 37
= (200000)3 + 37
= (201000)3 + 10
= (201200)3 + 1
= (201200)3 + 1
= (201201)3
Wenn man Zahlen im 3er-System notiert,
muss man natürlich nicht für jede Rechenoperation umrechnen. Man rechnet direkt,
zum Beispiel:
Hat man eine Zahl im 3er-System gegeben, muss man also nur ihre Ziffern mit den
Werten der Stellen multiplizieren und aufaddieren, zum Beispiel die Zahl (12022)3 im
3er-System ist
(12022)3 = 1·34+2·33+0·32+2·31+2·30 = 143.
(201201)3
− (12022)3
(112102)3
(201201)3 · (12022)3
(201201
)3
(1110102 )3
(1110102 )3
+ (1110102)3
(10212100122)3
Talentförderung Mathematik Hamburg e. V.
http://tmh.math.uni-hamburg.de/ · [email protected]