Mathematik für Informatiker
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Manfred Brill Mathematik für Informatiker Einführung an praktischen Beispielen aus der Welt der Computer 2., völlig neu bearbeitete Auflage HANSER Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 2 3 IX Zahlensysteme 1.1 Von den natürlichen zu den reellen Zahlen 1.2 Komplexe Zahlen 1 1 6 1.3 1.4 Summen und Produkte Stellenwertsysteme 11 14 1.5 1.6 1.7 Zahlendarstellung im Computer Matrizen Aufgaben 19 29 35 Mengenlehre 2.1 Mengen 2.2 Mengenoperationen 2.3 Permutationen und Kombinationen 39 39 43 47 2.4 2.5 53 56 Das Inklusions-Exklusions-Prinzip Aufgaben Logik 3.1 Aussagenlogik 59 59 3.2 3.3 3.4 3.5 65 69 72 74 Logische Ausdrücke und Schaltkreise Prädikate und Quantoren Mathematische Beweise Aufgaben VI Inhaltsverzeichnis 4 Relationen und Abbildungen 4.1 Relationen 4.2 Äquivalenzrelationen 4.3 Ordnungsrelationen 4.4 Abbildungen und Funktionen 4.5 Relationen und Datenbanken 4.6 Abzählbarkeit und Berechenbarkeit 4.7 Aufgaben 77 77 82 86 94 97 100 105 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 107 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Lineare Gleichungssysteme Die Matrixdarstellung der Gauß-Elimination Die LU-Zerlegung Determinanten Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix 107 113 118 123 127 5.6 Aufgaben 130 6 7 8 Zahlentheorie 6.1 Primzahlen und Teiler 6.2 Der Euklidische Algorithmus 6.3 Modulare Arithmetik 133 133 139 142 6.4 6.5 Zahlentheorie und Kryptographie Aufgaben 150 158 Graphentheorie 7.1 Grundlegende Begriffe und Definitionen 161 161 7.2 7.3 7.4 Bäume Aufspannende Bäume und kürzeste Wege Planare Graphen und Färbungen 169 175 183 7.5 7.6 Bipartite Graphen und Matchings Aufgaben 189 194 Algebraische Strukturen 8.1 Gruppen 8.2 Homomorphismen 199 199 203 Inhaltsverzeichnis 8.3 8.4 8.5 8.6 9 Ringe und Körper Polynome und Polynomringe Boolesche Algebren Aufgaben VII 207 209 216 218 Vektoralgebra 9.1 Geometrische Vektoren 9.2 Geraden und Ebenen im R" 221 221 224 9.3 Das euklidische Skalarprodukt i m R " 228 9.4 9.5 9.6 Das Vektorprodukt im M3 Vektoren, Punkte und Matrizen Aufgaben 235 238 239 10 Vektorräume 241 10.1 Vektorräume 10.2 Linearkombinationen 10.3 Basis und Dimension 241 244 247 10.4 Zeilen- und Spaltenräume 10.5 Vektorräume mit Skalarprodukt 10.6 Aufgaben 252 255 263 11 Lineare Abbildungen 11.1 11.2 11.3 11.4 265 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen Affine Räume Das Diagonalisierungsproblem 265 269 273 280 11.5 Kegelschnitte und quadratische Formen 11.6 Aufgaben 287 290 12 Folgen und Reihen 12.1 Folgen und ihre Eigenschaften 12.2 Konvergenz von Folgen 293 293 296 12.3 Reihen 12.4 Potenzreihen 301 307 12.5 Die Landau'schen Symbole 310 Inhaltsverzeichnis VIII 12.6 Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme 12.7 Aufgaben 13 Differenzialrechnung 13.1 Funktionen 13.2 Funktionen und Grenzwerte 13.3 Der Ableitungsbegriff 13.4 Mittelwertsätze und Taylor-Entwicklung 13.5 Lokale Extrema 13.6 Polynom-Interpolation 13.7 Aufgaben 14 Integralrechnung 14.1 Flächeninhalte 14.2 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale 14.3 14.4 14.5 14.6 321 321 326 335 344 351 356 363 367 367 373 Integrationstechniken 376 Numerische Integration 380 Numerische Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen . . 386 Aufgaben 395 15 Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 15.1 Beschreibende Statistik 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 315 318 Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariable Diskrete und stetige Verteilungen Schätzverfahren in der schließenden Statistik Aufgaben 399 399 406 414 424 432 436 Literaturverzeichnis 439 Stichwortverzeichnis 441
