Technische Universität München Übungsblatt 4

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Mathematik 1 (Elektrotechnik)
Prof. Dr. Anusch Taraz | Dr. Michael Ritter
Übungsblatt 4
Hausaufgaben
Aufgabe 4.1 E
Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme Ai x = bi mit











1
2
1 −3

 

2 −6 und b3 =  2 .
c) A3 =  4
−3
−6 −3 9
2
2 0 1

 

a) A1 =  4 2 1 und b1 =  3 .
−8
−2 8 2





−1
3 −5 1

 

d) A4 = −3 6 0 und b4 =  2 .
0
3 −4 2
3
1 1 2

 

b) A2 = 2 2 5  und b2 = −4.
6
5 5 11
Aufgabe 4.2
Für die Sinusfunktion gilt die Formel sin(5x) = 5 sin(x) − 20 sin3 (x) + 16 sin5 (x), die man verwenden
kann, um den Wert von sin(π/5) zu bestimmen. Dazu setzen wir x = π/5 und t = sin(x) = sin(π/5)
und erhalten die Gleichung
sin(5 ·
π
) = sin(π) = 0 = 5t − 20t3 + 16t5 .
5
Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Gleichung den korrekten Wert für sin(π/5). Verwenden Sie Ihr Ergebnis, um auch die Werte für cos(π/5) und tan(π/5) zu bestimmen.
Aufgabe 4.3
Wenn man den Gauß-Algorithmus für die Lösung linearer Gleichungssysteme auf einem Computer
implementiert, wird häufig eine Abwandlung des Algorithmus verwendet, die mit einer sogenannten
LR-Zerlegung arbeitet. Zur Lösung eines Gleichungssystems Ax = b für eine quadratische Matrix
A ∈ Rn×n wird dabei zunächst eine Zerlegung A = L · R berechnet, wobei L = (lij ) ∈ Rn×n eine
linke untere Dreiecksmatrix mit 1-Einträgen auf der Diagonale ist (d. h. lij = 0 für alle i < j und
lii = 1 für alle i) und R = (rij ) eine rechte obere Dreiecksmatrix (d. h. rij = 0 für alle i > j).


3 1 6


a) Zeigen Sie: Eine LR-Zerlegung für die Matrix A = 1 1 1 ist gegeben durch
2 1 3

1
1
L :=  /3
2/3


0 0

1 0
1/2 1
und
3

R := 0
0

1
6

2/3
−1  .
0 −1/2
b) Lösen Sie (unter Verwendung der LR-Zerlegung) das lineare Gleichungssystem Ax = bi für die
rechten Seiten


23
 
b1 =  6  ,
13
 
7
 
b2 = 3 ,
5


24
 
b3 =  6 
14
Bitte wenden!
 
und
7
 
b4 = 1 .
3
c) Welchen Vorteil hat die Verwendung der LR-Zerlegung?
Aufgabe 4.4
Sei Q+ die Menge der positiven rationalen Zahlen. In der Vorlesung haben Sie gezeigt, dass Q+
abzählbar ist, d.h. es existiert eine surjektive Abbildung f : N → Q+ . Zeigen Sie, dass dann auch Q
abzählbar ist, d. h. es existiert auch eine surjektive Abbildung g : N → Q.
Aufgaben für die Tutorübung
Aufgabe 4.5
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems über C:
x1 + (1 + i)x2 = 1 − i
ix1 + 2x2 = 1
Aufgabe 4.6
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems.
3
3
x1 + x2 =
4
4
3
1
x1 − x3 = 1
2
2
3
1
x1 + x2 + x3 =
2
2
Aufgabe 4.7
Benutzen Sie die Kirchhoffschen Gesetze (KVL, KCL), um alle Ströme in folgendem Stromkreis zu
berechnen. Stellen Sie zunächst die zugehörige Matrix-Vektor-Form des linearen Gleichungssystems
auf und lösen Sie das System dann mit dem Gauß-Verfahren.
100 Ω
I5
I1
400 Ω
10 V
500 Ω
100 Ω
I3
200 Ω
I2
200 Ω
I4
I6
5V
Aufgabe 4.8
Ein Tripel (p, q, r) aus Primzahlen p, q und r heißt Primzahldrilling, wenn p + 2 = q und q + 2 = r
gilt. Zeigen Sie: (3, 5, 7) ist der einzige Primzahldrilling.