Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik I

Prof. Dr. I. Steinwart
Dr. D. Zimmermann
M.Sc. M. Altenbernd
M.Sc. R. Walker
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Höhere Mathematik I
Blatt 5
23.11.15
el, kyb, mecha, phys
Gruppenübungen
Abgabe der schriftlichen Aufgaben und Besprechung der Votieraufgaben am 23.11.2015 in den
Übungsgruppen.
Aufgabe 26. (schriftlich)
(a) Geben Sie alle Lösungen der Gleichung z 3 = −27i sowohl in der Form a + ib mit a, b ∈ R
als auch in Polarkoordinaten an.
(b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden
Koeffizienten:
x1 +
2x2 +
(1 + i)x2 +
x1
−
linearen Gleichungssystems mit komplexen
x3 = 0,
x3 = 0,
x3 = 2 + 2i.
(c) Das Polynom p mit
p(z) = z 4 − 2z 3 + z 2 − 8z − 12
besitzt die Nullstelle z = 2i. Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen.
Aufgabe 27. Füllen Sie die folgende Wertetabelle für die trigonometrischen Funktionen sin, cos
und tan aus. Tragen Sie nichts ein, wenn die Funktion an der angegebenen Stelle nicht definiert
ist. Geben Sie kurze geometrische Begründungen an.
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
sin(x)
cos(x)
tan(x)
Bemerkung: In Prüfungen wird von Ihnen erwartet, dass Sie die Werte von sin, cos und tan
an ganzzahligen Vielfachen von π6 und π4 auswendig können oder in der Lage sind, diese schnell
herzuleiten.
1
Aufgabe 28.
(a) Es sei z =
√
3 − i. Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von z 10 und z 10 .
(b) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen:
√ 13π
√ i3π
3−i
2e 4
ii) 8ei 4
i)
iii)
2+i
1+i
Aufgabe 29.
(a) Determine all solutions of z 2 = −16 + 30i.
(b) Write the polynomial p as a product of linear factors, where
p(z) = 3z 3 − (6 + i)z 2 + (5 − i)z − 2 + 2i.
Hint: z = 1 is a root of p.
Aufgabe 30. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems in
Abhängigkeit von t ∈ R:
tx1 +
tx1
x2 + tx3 =
2,
(2t − 1)x2 − x3 = −1,
+
x2 − tx3 =
2.
2