6 Komplexe Zahlen

6 Komplexe Zahlen
6.1 Arithmetische Darstellung und grundlegende
Rechenoperationen
√
Definition 6.1. Wir definieren die imaginäre Einheit i = −1, d.h. i2 = −1, und die
Menge der komplexen Zahlen C = {x + iy | x ∈ R, y ∈ R}. Für w = x + iy ∈ C nennt
man x = Re(w) den Realteil von w und y = Im(w) ∈ R den Imaginärteil von w.
Komplexe Zahlen kann man auch als Tupel w = (x, y) ∈ R2 verstehen, und sie in
der komplexen Zahlenebene darstellen. R kann man als Teilmenge von C auffassen:
R = {w ∈ C | Im(w) = 0}.
Definition 6.2. Auf C kann man die Rechenoperationen + und · wie folgt definieren:
Für w, z ∈ C, w = a + ib, z = c + id ist
w + z = a + ib + c + id = a + c + i · (b + d),
w · z = (a + ib)(c + id) = ac + ibc + aid + i2 bd = ac − bd + i(bc + ad).
Beispiel 6.3.
Bemerkung 6.4. Für w ∈ C, w 6= 0 mit w = x + iy ist
1
x
y
= w−1 = 2
− 2
i,
2
w
x +y
x + y2
denn damit gilt
1
w · = (x + iy)
w
x
y
−
i
x2 + y 2 x2 + y 2
=
1
2
2
x
+
y
+
yx
−
xy
= 1.
x2 + y 2
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6 Komplexe Zahlen
Beispiel 6.5.
Definition 6.6. Für w ∈ C, w = x + iy ist
p
(i) |w| = x2 + y 2 der Betrag von w (|w| ∈ R+ ),
(ii) w = x − iy die zu w komplex konjugierte Zahl.
Satz 6.7. Für komplexe Zahlen w, z ∈ C gilt:
(i) w ∈ R ⊂ C ⇔ Im(w) = 0 ⇔ w = w,
(ii) w + w = 2 Re(w),
√
(iii) |w| = w · w bzw. w · w = Re(w)2 + Im(w)2 ,
(iv) z + w = z + w,
(v) z · w = z · w.
Beweis.
6.2 Polarkoordinaten
Definition 6.8. Jede komplexe Zahl w ∈ C kann man darstellen als
w = r · (cos α + i sin α) .
Die Zahlen r ∈ [0, ∞[ und α ∈ [0, 2π[ heißen Polarkoordinaten von w.
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6.2 Polarkoordinaten
Beispiel 6.9.
Satz 6.10 (Koordinatentransformation). Für w ∈ C, x, y ∈ R, r ≥ 0, α ∈ [0, 2π) mit
w = x + iy = r(cos α + i sin α) gilt:
(i) x = r cos(α), y = r sin(α),
(ii) r =
p
x2 + y 2 = |w|,


tan−1




tan−1

α = tan−1


π


2


− π
2
y
x
y
x
y
x
−π
+π
falls
falls
falls
falls
falls
x, y < 0,
x < 0, y ≥ 0,
x > 0,
x = 0, y > 0,
x = 0, y < 0.
Definiert man die Exponentialfunktion
für komplexe Zahlen z ∈ C genauso wie in
x n
z
Definition 5.1 als e = limn→∞ 1 + n , so erhält man die folgende Identität.
Satz 6.11 (Euler’sche Formel). Für alle x ∈ R gilt:
eix = cos x + i sin x.
Insbesondere gilt für x = π, dass eiπ = −1 und für x = 2kπ, dass e2kπi = 1.
Bemerkung 6.12. Wegen Satz 6.11 kann man eine komplexe Zahl w ∈ C auch als
w = r · eiα schreiben. Für w, z ∈ C mit w = r · eiα , z = s · eiβ gilt:
w · z = r · eiα · s · eiβ = r · s · ei(α+β) .
Das heißt dass sich bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen die Beträge multiplizieren und die Winkel addieren.
Beispiel 6.13.
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6.3 Potenzen und Wurzeln
Bemerkung 6.14. Aus Bemerkung 6.12 ergibt sich, dass für w ∈ C, w = reiα (r ≥ 0,
α ∈ [0, 2π[) und n ∈ N gilt
wn = rn ei(nα) = rn eiαn .
In der arithmetischen Darstellung ist das Potenzieren etwas umständlicher:
n X
n k n−k n−k
w = x + iy, w = (x + iy) =
x y i .
k
k=0
n
n
Beispiel 6.15.
Satz 6.16. Es seien a ∈ C, a 6= 0 und n ∈ N. Die Gleichung
zn = a
besitzt genau n Lösungen, z0 , z1 , . . . , zn−1 , und zwar, für a = reiα ,
k ∈ {0, . . . , n − 1}, zk =
Beweis.
Beispiel 6.17.
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√
n
r · e i(
ϕ+k2π
n
).