Mathematische Spielereien mit der Jahreszahl 2004

KNOBELAUFGABEN
Mathematische Spielereien mit der
Jahreszahl 2004 – die Lösungen
Von Roland Mildner
1. Jahreswechsel im Vergleich
Es gilt y > x, also 2004
> 2003
, da 2004·2004 > 2003·2005,
2005
2004
denn es ist 4 016 016 > 4 016 015.
2. Das geheimnisvolle x
Wenn a die obere und b die untere Zahl ist, so gilt
b = a 2 + 68. Folglich gilt x = 442 + 68 = 2004.
3. Silvesterliche Zahl
Aus der linearen Gleichung 18x +501 = 1020x − 1001
ergibt
2
sich als Lösung die gesuchte gebrochene Zahl x = 2003
.
2004
4. Ein Hölzchenspiel
(nämlich die Nummern der Abwärtszüge) aus 17 verschiedenen Zahlen auszuwählen. Es ist also
 
17
17!
14! · 15 · 16 · 17
L=
=
=
= 5 · 8 · 17 = 680 .
3
14!3!
14! · 2 · 3
8. Zerlegte Jahreszahl
Es ist 2004 = x + 2x + 3x = 6x, woraus x = 334 folgt.
Die Zerlegung lautet folglich 2004 = 334 + 668 + 1002.
9. Knifflige Zahlensuche
Sei n = a · 103 + b · 102 + c · 10 + d dezimal dargestellt mit
natürlichen Zahlen a, b, c, d ≤ 9, a ≥ 1, b, c, d ≥ 0, dann
haben die geforderten Eigenschaften die Form
a)
4a = 2d − b ,
(1)
b2 = b + c ,
(2)
a 3 = 2a + d .
(3)
b)
Nach (2) ergibt sich c = b2 − b = b(b − 1), und man erhält
die vier Paare
b = 0, c = 0 ;
b = 1, c = 0 ;
b = 2, c = 2 ;
c)
(4)
b = 3, c = 6 .
d)
5. Jahreszahl in Prozenten
Die Rechteckfläche besteht aus 126 = 7 · 18 Quadratkästchen, und die Jahreszahl 2004 nimmt 39 Quadratkästchen
ein, das sind wegen 39/126 ≈ 0, 3095 rund 30,95 Prozent
der Rechteckfläche.
6. Fröhlicher Jahreswechsel
2003
2004
7. Ein vielfältiges Jahr
Es gibt für die Zeichenfolge ZWEITAUSENDUNDVIER in
der aus 4 Zeilen und 15 Spalten bestehenden Buchstabenmatrix L = 680 Lesemöglichkeiten. Jeder Weg aus 17 Zügen,
der links oben beginnt und genau drei Züge nach unten sowie
14 Züge nach rechts enthält, ist eine Möglichkeit. Deren
Anzahl ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, 3 Zahlen
84
Für b ≥ 4 wäre c > 9 und damit keine Dezimalziffer mehr.
Nach (3) ergibt sich d = a 3 − 2a = a(a 2 − 2), und man
erhält nun nur das eine Paar
(5)
a=2
und
d=4,
denn für a = 1 wird d = −1 und für a ≥ 3 wird d > 9.
Nach (4) und (5) ergeben sich nun folgende vier Möglichkeiten für n: 2004, 2104, 2224 und 2364. Aber nur die Zahl
n = 2004 erfüllt auch die Bedingung (1) und ist damit die
einzige Lösung der Aufgabe.
10. Ein Lösungsprodukt
Die lineare Gleichung 1 + 83x = 2 − 84x besitzt die eindeutige Lösung x = x1 = 1/167. Die quadratische Gleichung 3x 2 −2000x −2003 = 0 besitzt die Lösungen x = −1
und x = x2 = 2003/3 (positive Lösung). Die kubische
Gleichung 4x 3 + 11x 2 + 5x − 2 = 0 besitzt die drei Lösungen x = −1, x = −2 und x = x3 = 1/4 (positive Lösung).
Das gesuchte Lösungsprodukt lautet dann
P = x1 x2 x3 =
2003
1 2003 1
·
· =
.
167
3
4
2004
11. Hand in Hand
Aus x y + x + y = (x + 1)(y + 1) − 1 = 2004 folgt
(x + 1)(y + 1) = 2005. Nach der Primfaktorzerlegung
2005 = 5·401 ergeben sich hieraus die 4 Paare (x +1, y +1):
(1, 2005), (5, 401), (2005, 1) und (401, 5), woraus sich die
4 Lösungspaare (x, y) ergeben, nämlich (0, 2004), (4, 400),
(2004, 0) und (400, 4).
12. Ein Kreuzzahlrätsel
Es ist P = (5w) · (11s) = 12 · 167 = 2004.
Waagerecht: 2) 181, 5) 12, 7) 75, 8) 1 048 576 (= 220 ), 11)
1 594 323 (= 313 ), 16) 60, 17) 33, 18) 241.
Senkrecht: 1) 111, 3) 888, 4) 156, 6) 20, 7) 77, 9) 499, 10)
583, 11) 167, 12) 50, 13) 444, 14) 23, 15) 333.
(Mögliche Lösungs-Reihenfolge: 4s, 6s, 9s, 10s, 12s, 14s,
8w, 11w, 16w, 1s, 3s, 2w, 11s, 13s, 15s, 5w, 7s, 7w, 17w,
18w)
13. Ein aktuelles Gleichungssystem
Wir formen das vorgegebene lineare Gleichungssystem
3x1
6x1
8x1
4x1
+x2
+2x2
−x2
−5x2
+x3
−x3
−x3
+7x3
−x4
−3x4
−4x4
−x4
=2
=0
=0
=4
(1)
+x3
−x3
−x3
+7x3
−x4
−3x4
−4x4
−x4
+3x1
+6x1
+8x1
+4x1
=2
=0
=0
=4
(2)
Das (−2)-fache der ersten Gleichung zur zweiten addieren,
die erste zur dritten addieren und das 5-fache der ersten zur
vierten addieren:
x2
+x3
−3x3
12x3
−x4
−x4
−5x4
−6x4
+3x1
+11x1
+19x1
=2
= −4
=2
= 14

s 

n
k=
.
pm
m=1
Dabei bezeichne [a] den ganzzahligen Teil der nichtnegativen reellen Zahl a, und s ist die größtmögliche natürliche
Zahl, für die p s ≤ n gilt.
Für n = 2004 und p = 2 gilt s = 10, denn 210 = 1024 ≤
2004, aber 211 = 2048 > 2004, und damit
k2 =

10 

2004
2m




2004
2004
2004
=
+
+
.
.
.
+
2
22
210
= 1002 + 501 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1
= 1997 .

schrittweise wie folgt um. x1 in die letzte Spalte stellen:
x2
2x2
−x2
−5x2
14. Hohe Sechserpotenz
Wegen 6k = 2k 3k bestimmen wir zunächst die höchste
Zweierpotenz 2k2 bzw. Dreierpotenz 3k3 , die in 2004! =
1 · 2 · 3 · . . . · 2004 aufgeht. Unser gesuchtes k ist dann das
Minimum der beiden Exponenten, also k = min(k2 , k3 ).
Es gilt nun allgemein: Wenn p eine Primzahl und n eine
natürliche Zahl ist, dann
 sind von den n Faktoren 1, 2, 3,
n
. . . , n von n! genau pm Faktoren durch p m teilbar . Somit
ist der höchste Exponent k mit der Eigenschaft, dass n!
durch p k teilbar ist,
m=1
Für n = 2004 und p = 3 gilt s = 6, denn 36 = 729 ≤ 2004,
aber 37 = 2187 > 2004, und damit
k3 =
+x3
−3x3
−x4
−x4
−5x4
−10x4
+3x1
+11x1
+19x1
=2
= −4
=2
= −2
(3)
+x3
−3x3
−x4
−x4
−5x4
+3x1
+11x1
−3x1
=2
= −4
=2
= −6
(4)
(5)
Das lineare Gleichungssystem (5) hat nun Dreiecksgestalt
und ist zu (1) äquivalent, d. h. es hat dieselbe Lösungsmenge
wie (1). Durch schrittweises Auflösen des Gleichungssystems (5) von unten nach oben erhält man x1 = 2, x4 = 4,
x3 = 0, x2 = 0 und somit die eindeutige Lösung des Gleichungssystems: (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2, 0, 0, 4).
SPEKTRUM DER WISSENSCHAFT
Q SPEZIAL: OMEGA
m=1

Damit ist k = min(k2 , k3 ) = 998. Es ist also 6998 die höchste
Sechserpotenz, die in 2004! aufgeht.
Das (−2)-fache der dritten Gleichung zur vierten addieren:
x2

6 

2004
3m
 



2004
2004
2004
=
+
+
.
.
.
+
3
32
36
= 668 + 222 + 74 + 24 + 8 + 2 = 998 .
Das 4-fache der zweiten Gleichung zur vierten addieren:
x2

15. Gerechte Teilung
2
2
2
0
0
0
0
4
2 0 0
0
0
4
4
4
85
LÖSUNGEN
z
16. Eine schöne Rosette
(n + 1)2003n+10
lim √
=
n→∞ n n 2003n 2 +10n−1
�
�
�
�
�
a√
h=
2.
2
= e2003 · 1 · 1 = e2003 .
Wegen cosh(170x) = (e170x + e−170x )/2 gilt
(1)
B = B(x) = 2 cosh(170x) − e−170x = e170x .
Wegen tan π8 = 2hs folgt s = 2h tan π8 , und mit (1) und
√
tan π8 = 2 − 1 folgt
√
√
a√
s =2·
2 · ( 2 − 1) = (2 − 2)a .
2
Entsprechend gilt wegen sinh(3x) = (e3x − e−3x )/2
C = C(x) = 2 sinh(3x) + e−3x = e3x .
(2)
Damit geht unsere Gleichung A =
Für den Flächeninhalt A D des Dreiecks AB M erhalten wir
mit (1) und (2):
1
1 √
sh = ( 2 − 1)a 2 .
2
2
e2003 =
(3)
√
1  s 2
π
π
π
= s 2 = (3 − 2 2)a 2 .
2
2
8
4

e170x
e3x
12
 B 12
C
über in
= e12·167x = e2004x .
Daraus folgt 2004x = 2003 und damit als einzige Lösung
x = 2003
.
2004
Der Flächeninhalt A H K eines aufgesetzten Halbkreises beträgt nun
AH K =
12
(n + 1)2003n+10
A = lim √
n→∞ n n 2003n 2 +10n−1


(n + 1)2003n (n + 1)10
1
n
= lim
·
·
n
n→∞
n 2003n
n 10


 2003 

1 n
1 10 √
n
= lim
1+
1+
· n
n→∞
n
n
Offenbar besteht die Rosettenfläche aus 8 kongruenten Flächenstücken (gleichschenkliges Dreieck AB M und Halbkreisfläche mit dem Durchmesser AB = s). Die Höhe h
im Dreieck AB M ist gleich der halben Diagonallänge im
vorgegebenen Quadrat der Seitenlänge a, also
AD =
2 cosh(170x) − e−170x
2 sinh(3x) + e−3x
mit A, den Zähler des rechten in der Klammer stehenden
Ausdrucks mit B = B(x) und den entsprechenden Nenner
mit C = C(x). Durch Umformen des Ausdrucks A, Anwendung der Grenzwertregeln sowie Verwendung der bekannten
Grenzwerte
limn→∞ (1/n) = 0, limn→∞ (1 + 1/n)n = e und
√
n
limn→∞ n = 1 erhalten wir
�
�

18. Magische Jahreszahl
Wir haben für jede charakteristische Summe jeweils nur eine
mögliche Eintragung angegeben, obwohl es im Allgemeinen
mehrere Eintragungen gibt:
(4)
Damit ergibt sich für den Flächeninhalt A der Rosette
A = 8(A D + A H K )
√
√
= 2 · (2( 2−1)+(3−2 2)π)a 2
≈ 2, 7348784a 2 .
Für A = 2004 cm2 ergibt sich
a 2 ≈ 732, 75653 cm2 und damit
a ≈ 27, 07 cm.
17. Eine seltsame Gleichung
Wir bezeichnen den Grenzwert auf
der linken Seite der Gleichung
86
Zwei:
5
Erste Null:
1
9
6
5
1
1
8
4
1
5
8
8
1
6
Σ=15
7
2
6
4
Σ=12
8
7
Σ=13
3
6
Σ=14
2
4
Σ=15
2
8
4
3
2
7
3
5
2
6
7
3
4
3
5
7
4
2
3
7
3
4
2
4
Zweite Null:
2
5
Vier:
6
6
Σ=11
3
1
7
4
Σ=12
6
1
2
5
5
1
4
5
3
2
Σ=10
Σ=9
Σ=8
1
6
SPEKTRUM DER WISSENSCHAFT
6
1
3
5
Q SPEZIAL: OMEGA