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Probeklausur 2: Arithmetik + Didaktik
Aufgabe 1:
Beweisen Sie für beliebige natürliche Zahlen a, b: Ist ggT(a,b) = 1 und ist a2-b2 ein Quadrat,
dann sind a+b und a-b beides Quadrate oder das Doppelte von Quadraten.
(4 P.)
Aufgabe 2:
Beweisen Sie, dass n 4 + 4 für keine natürliche Zahl n > 1 eine Primzahl ist.
(4 P.)
Aufgabe 3:
Seien m eine ungerade natürliche Zahl und n eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen Sie:
ggT(2m-1,2n+1) = 1.
(4 P.)
Aufgabe 4:
Seien a > b > 0 natürliche Zahlen. Beschreiben Sie das zur Grundaufgabe a-b=c zugehörige
Aufgabennetz von Additions- und Subtraktionsaufgaben. Erklären Sie nach Erstellung des
Aufgabennetzes, warum keine weitern Additions- bzw. Subtraktionsaufgaben für die Zahlen
a, b und c im Rahmen der Grundschule sinnvoll sind.
(5 P.)
Aufgabe 5:
Nennen Sie drei Rechengesetze und erörtern Sie an Hand von Beispielen wie Kinder in der
Grundschule diese Rechengesetze kennen lernen sollten.
(5 P.)
Aufgabe 6:
Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle natürliche Zahlen n ≥ 1 und alle von Null
verschiedenen reellen Zahlen a die Gültigkeit folgender Gleichungen:
n
n(n + 1)
(a)
(3 P.)
(-1) k -1 ⋅k 2 = (−1)n −1 ⋅
.
∑
2
k =1
n
1
n
(b)
(3 P.)
=
.
∑
a ⋅ ( a + n)
k =1 ( a + k -1) ⋅ ( a + k )
Aufgabe 7:
Seien 1 ≤ k < n beliebige natürliche Zahlen. Beweisen oder widerlegen Sie:
 n   n + 1
(a)

=
.
 k +1  k 
 n − 1 n  n 
(b)

 ⋅ =  .
 k − 1 k  k 
(3 P)
(3 P.)
Aufgabe 8:
Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 die Gültigkeit
folgender Ungleichungen:
(a)
2n-1 ≤ n!
(3 P.)
(b)
2ּn-3 < 2n-1.
(3 P.)