Vorwort

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und damit durch Einsetzen in der 1. Gleichung TM A  CBext  Caf M A . Daraus folgt
MA 
CBext
.
T  af C
Für die Suszeptibilität eines Antiferromagneten erhält man

MA  MB
2C
,

Bext
T  TN
wobei wir für die Néel-Temperatur TN   af C gesetzt haben. Das Experiment zeigt, dass
die funktionale Form der Temperaturabhängigkeit der Suszeptibilität stimmt, dass jedoch
der gemessene Wert von TN nicht mit der Ordnungstemperatur übereinstimmt. Deshalb
schreibt man oft
 af 
2C
T 
und vergleicht  mit dem gemessenen Wert von TN . Dabei findet man zum Beispiel
 / TN  5 für MnO, aber  / TN  1.24 für MnF2 (siehe Kittel) ! Die folgende Figur fasst
das Verhalten der Suszeptibilität für verschiedene magnetische Systeme zusammen.
0
0
0
Figur: Suszeptibilität für a) Paramagnet (PM):  para  C / T ; b) Ferromagnet (FM):
  C /(T  TC ) und c) Antiferromagnet  af  C /(T   ) . Beim Antiferromagneten
unterscheiden sich die Suszeptibilitäten unterhalb von TN senkrecht und parallel zur
Ordnung.
Die folgende Figur zeigt eine schöne Messung der Suszeptibilität an einer Pulverprobe
von Pb(Ni1-xMgx)V2O8: Mit zunehmender Dotierung von magnetischem Nickel mit
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unmagnetischem Mg wird eine stärkere, antiferromagnetische Ordnung induziert. Für
x  0 ist die Probe unmagnetisch. Dieses Verhalten ist offensichtlich nicht kompatibel
mit der Theorie des mittleren Feldes. Die kleine Figur zeigt die Anisotropie der
Suszeptibilität.
Y. Uchiyama et al.,
Phys. Rev. Lett. 83,
662 (1999).
Unterhalb von TN hängt das Verhalten eines Antiferromagneten von der Richtung des
angelegten Magnetfelds zur Untergittermagnetisierung ab. Als ersten Fall diskutieren wir
den Fall, wo B senkrecht auf M A , M B steht.
Die potentielle Energie der Untermagnetisierungen im Magnetfeld beträgt
B
MA

MB


U  af M A  M B  B  (M A  M B )  af M 2 cos(2 )  2BM sin 
U  af M 2 (1  12 (2 ) 2 )  2BM
Ein Extremum wird erreicht für
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U
 4 af M 2  2 BM  0 .

Daraus folgt  
B
2af M
. Damit erhält man für die senkrechte Suszeptibilität
 
2M
1

 const .
B
af
  ist also temperaturunabhängig.
Legt man hingegen dass äussere Feld B entlang den magnetischen Momenten an, die
parallel zu einer kristallographischen Vorzugsrichtung ausgerichtet sind, dann ändert sich
die Richtung der Gesamtmagnetisierung nicht, hingegen wird dann aber z.B. M A auf
Kosten von M B zunehmen, bis bei hohen Feldern M A // B wird. Dann ändert sich die
Gesamtmagnetisierung M  M A nicht mehr, d.h.  // (T  0)  0 . Damit
erhält man den Verlauf wie in der obigen Figur c) angedeutet ist.
B
MA
MB
6.10. Antiferromagnetische Spinwellen
Auch in diesem Fall kann man die Holstein-Primakoff Transformation benutzen. Nur hier
benötigt man zwei Sätze von Boson-Operatoren S Az  s  a  a und S Bz   s  b  b , um um
den Néel-Grundzustand  ... herum zu linearisieren. Wir nehmen an, dass dies
auch tatsächlich ein Grundzustand ist. Nach einigen weiteren Transformationen findet
man aus der Diagonalform des Hamiltonians die Energie für antiferromagnetische
Spinwellen
 2   02 (1  cos 2 (qa))
    0 sin qa ,
wobei  0  2 J S /  c ist. Im Gegensatz zu ferromagnetischen Spinwellen, die bei
kleinen q quadratisch von q abhängen (   Dq 2 ), erhalten wir für antiferromagnetische
Spinwellen eine lineare Dispersionsrelation   cq wobei c die
Spinwellengeschwindigkeit ist. Für eine “klassische“ Herleitung siehe zum Beispiel
Kittel.
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Beispiel: Neutronenstreuung: KCuF3, S  12 , T = 6 K: ISIS, Annual Report 2001,
Tennant et al. Zusätzlich zu den Spinwellen beobachtet man in niederdimensionalen,
antiferromagnetischen Systemen noch ein Kontinuum von magnetischen Anregungen.
SpinonKontinuum
Braggpeaks der
mangnetischen
Ordnung
Spinwellendispersion
Dieses Problem steht für eine Vielzahl von noch ungelösten Problemen in der
Festkörperphysik: Der Néelzustand ist nicht exakt der Eigenzustand des Heisenberg
Antiferromagneten H af  J  S i  S j . Das sieht man schon allein daran, dass  kein
Eigenzustand von S1  S 2 ist (siehe Übungsaufgaben). Es gibt Quantenfluktuationen im
Grundzustand eines Antiferromagneten, die sich mit zunehmend niedriger Dimension
drastisch auswirken (siehe Kontinuum in obiger Figur, KCuF3, ist ein Spinkettensystem).
So sind zum Beispiel die Zustände  und 
energetisch äquivalent (je zwei Domänenwände).
Ganz allgemein ist die mittlere Besetzungszahl von Magnonen (Bosonen) bei hohen
Temperaturen oder tiefen Energien (i.e. grossen Wellenlängen) gegeben durch

nq 
d

D
q
1
e
 q / k BT
1
  d Dq
1
q
,
wobei wir den potentiell gefährlichen langwelligen Teil separiert haben. Nun ist aber für
einen Ferromagneten (FM)   q 2 und für einen Antiferromagneten (AFM)   q . Da
d kk
D


D 1
dk ist, finden wir, dass die Magnonzahl nq   dq
FM:
AFM:
D  1, D  2
D 1
q D 1
q
für
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divergiert. In der Tat haben Mermin und Wagner gezeigt, dass ein isotropes FM
Heisenberg Modell in D  1,2 für T  0 keine langreichweitige Ordnung hat. Ebenso
zeigt eine (ein-dimensionale) AFM Spinkette keine langreichweitige Ordnung! Neue
numerische Rechnungen weisen tatsächlich darauf hin, dass das zweidimensionale,
antiferromagnetische Heisenberg Spin- 12 Modell tatsächlich langreichweitige Ordnung
hat.
Es gilt allerdings zu bemerken, dass auch klassische D  2 Systeme Sonderfälle sein
können: Für ein sogenanntes xy-System, wo die z-Komponente des Spins
unterdrückt ist, gibt es die Möglichkeit des Kosterlitz-Thouless Phasenübergangs,
der durch das Binden/Entbinden von Vortizes charakterisiert ist.
6.11. Bemerkungen
Beachte, dass in der Molekularfeldtheorie magnetische Systeme unabhängig von deren
Dimension ordnen. Dies ist offensichtlich nicht richtig. Im weiteren sagt die
Molekularfeldtheorie eine exponentielle Abhängigkeit der Magnetisierung von der
Temperatur voraus, was nicht beobachtet wird. Ein wichtiges Ergebnis der
Spinwellentheorie für Ferromagnete ist die Korrektur dieser Voraussage: Eine explizite
Berechnung von n q ergibt, dass die Abweichung M  M (0)  M (T ) von der
Sättigungs-Magnetisierung M (0) bei niedrigen Temperaturen gegeben ist durch das
Bloch’sche T 3 / 2 -Gesetz
M
0.0586  k B T 



M (T  0)
n g S  2 JS 
3/ 2
(siehe Übungsaufgaben). Dieses Gesetz reproduziert die Temperaturabhängigkeit der
Magnetisierung bei tiefen Temperaturen sehr gut.
Wir haben bis jetzt nur Systeme mit lokalisierten Momenten betrachtet. Es ist aber so,
dass viele technisch wichtige, magnetische Materialien metallisch sind: Cr, Fe, Co, Ni
etc. In diesen Systemen wird der Magnetismus durch die 3d- und 4s-Elektronen erzeugt.
Aus der Sättigungsmagnetisierung erhält man zum Beispiel für Nickel ein magnetisches
Moment   0.6 B der nicht einem ganzzahligen Vielfachen von  B entspricht (beachte
g  2 ). Der Grund liegt darin, dass die 3d-Elektronen frei sind und nicht einem einzelnen
Atom zugeordnet werden können. Ähnlich wie beim Pauli-Spin-Paramagnetismus
erzeugt ein ”inneres” Austauschfeld eine Verschiebung der 3d-Bänder. Bei T  0 beträgt
der Überschuss der Elektronen ca. 0.6 Elektronen pro Atom, was eine spontane
Magnetisierung von Ni erzeugt. Die folgende Figur erläutert die Situation anhand der
Zustandsdichten der 3d- und 4s-Elektronen in Ni (nach J. Callaway and C. S. Wang,
Phys. Rev. B 7, 1096 (1973)).
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Nickel
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7. Supraleitung
In einem normalen Metall ist die Leitfähigkeit    1 auch bei sehr tiefen
Temperaturen aufgrund der Streuung der Leitungselektronen an Gitterfehlern endlich
(vgl. Matthiesensche Regel)
 (T )   Gitter   phonon (T )  ...  0

unreines
Metall

H=0
reines
Metall
1
3
Supraleiter
T
D
Tc
T
Für einen absolut perfekten Kristall (ohne Oberflächen) könnte tatsächlich der elektrische
Widerstand Null sein. Seit 1911 (Kamerlingh Onnes) hat man Materialien entdeckt, die
unterhalb einer kritischen Temperatur Tc den elektrischen Widerstand verlieren. Einige
bekannte Beispiele:
Material
Sprungtemp. (K)
Krit. Feld (T)
Hg
4.153
0.0411
Nb
9.26
0.198
Al
1.2
0.0099
Nb3Sn
18.05
20
La2-xSrxCuO4
 35
Yba2Cu3O7-x
 93
Der “Restwiderstand” in einem Supraleiter ist mindestens 1016 mal kleiner als sein
Widerstand bei Raumtemperatur. Nb ist das Element mit dem höchsten Tc .
Anwendungen von Supraleitern:





Erzeugung von hohen Magnetfeldern (20 T): Laboranwendungen, MRI/NMR
(Tomographie), Beschleuniger,
Kavitäten für Beschleuniger
SQUIDS: Magnetfeldmessung, Biomagnetismus, Sensoren (Hirnströme etc.)
Computer: kurze Schaltzeiten
Röntgen- und Gammadetektoren
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Matthias hat einige interessante Gesetzmässigkeiten gefunden (siehe z.B. A. C. RoseInnes and E. H. Rhoderick, ”Introduction to Superconductivity” (Pergamon, NY 1978)):




Metall oder Verbindung sollte zwischen 2 und 8 Valenzelektronen haben: Cu ist
kein Supraleiter
Übergangsmetalle und deren Verbindungen ca. 3, 4.7 oder 6.4 pro Atom (2, 4
oder 5.6 ist nicht gut für Supraleitung)
Atomvolumen sollte klein sein
Meistens nicht magnetisch   1
7.1. Magnetische Eigenschaften
Supraleiter zeigen perfekten Diamagnetismus:  dia  1  M    0 H .
M
Bin
Hc
H
Hc
Meissner-Ochsenfeld Effekt: Äusseres
Magnetfeld dringt (falls es nicht zu stark ist)
nicht in den Supraleiter ein: Bin  0 .
Abkühlen in Ba  0 führt zu gleichem,
thermodynamischen Zustand wie Abkühlen in
Magnetfeld. Der magnetische Zustand eines
Supraleiters ist eindeutig bestimmt durch H
und T.
H
H
Ba = 0
T > Tc
Ba = 0
T > Tc
Ba = 0
T < Tc
Ba > 0
T > Tc
Ba > 0
T < Tc
Ba > 0
T < Tc
Hc (T)
supraleitend
normalleitend
W
egB
W
egA
Tc
T
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Ein perfekter Leiter verhält sich verschieden: Wir kühlen den Leiter in Ba  0 ab. Beim
Anlegen eines Feldes kann sich der Fluss im Leiter nicht ändern, d.h. es wird auf der
Oberfläche der Probe ein Strom induziert, der dafür sorgt, dass innerhalb des Leiters kein
Fluss erzeugt wird.
Beweis: Aufgrund der Maxwell’schen Gleichung
j  E mit    folgt:
B
 0 . Also muss im
t
1 B
   E und der Annahme
c t
Innern B = 0 bleiben.
Nun legen wir zuerst ein Feld an und kühlen die
Probe ab. Sie verliert einfach den elektrischen
Widerstand und das Magnetfeld dringt weiterhin in
die Probe ein. Beim Ausschalten des Feldes kann
sich der Fluss in der Probe nicht ändern und sie wird
permanent magnetisiert bleiben. Die Endzustände
des perfekten Leiters sind wegabhängig!
Ein Supraleiter kann von einem pefekten Leiter
unterschieden werden, wenn man sein magnetische
Verhalten studiert. Man beobachtet, dass starke
Magnetfelder die Supraleitung zerstören. Mit
zunehmender Temperatur nimmt das kritische Feld ab.
Ba = 0
T >0
Ba = 0
T >0
Abkühlen in
Ba = 0
Ba > 0
T >0
Ba > 0
T =0
Ba > 0
T =0
Die Verdrängung des Feldes geschieht durch Oberflächenströme in einer Randschicht der
Dicke  . Die London’sche Eindringtiefe  (  0.1 m) ist eine Funktion der Temperatur
und gegeben durch
B( x)  B(0)e  x /  .
Hohe Magnetfelder und/oder hohe Ströme zerstören die Supraleitung (MeissnerOchsenfeld 1933). Es werden zwei verschiedene Verhalten beobachtet:
Supraleiter 1. Art: Meissner Phase,   1 für T  Tc und H  H c (T ) .
-M
Bin
Hc
H
Hc
H
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Supraleiter 1. Art sind technologisch unwichtig (“weich”), weil die Supraleitung bereits
bei kleinen Felder zerstört wird.
Supraleiter 2. Art: B -Feld dringt oberhalb dem unteren kritischen Feld in den
Supraleiter ein. Die supraleitende Mischphase wird Schubnikov-Phase genannt: Das
äussere Magnetfeld dringt in der Form von normalleitenden Flussschläuchen in den
Supraleiter ein.
-M
Vortex-Zustand,
Schubnikov Phase
Bin
Flächen
gleich
negatives
Vorzeichen
H
M
Hc1 Hc
Hc2
H
Hc1 Hc
Hc2
H
Jeder Flusssschlauch trägt ein elementares Flussquant   h /( 2e)  2.0679  10 7 Tm2. Die
Zahl der Flussschläuche nimmt mit zunehmendem Feld zu.
Meistens ordnen sie sich auf einem Dreickgitter (Abrikosov-Gitter) an. Die folgende
Figur für den Hochtemperatursupraleiter La1.83Sr0.17CuO4+ zeigt, dass sich die
Anordnung der Flussschläuche in Funktion des Feldes ändern kann (R. Gilardi et al.,
Phys. Rev. Lett. 88, 217003 (2002)).
B = 0.1 T
Die Messungen wurden mit Hilfe von Kleinwinkelstreuung mit Neutronen gemacht.
Supraleiter 2. Art können weich oder hart sein: