Aufgaben MSG–Kurs 9. Klasse, 2010/2011

Aufgaben MSG–Kurs 9. Klasse, 2010/2011
Holger Stephan∗, Berlin
Weierstraß–Institut für Angewandte Analysis und Stochastik
Aufgaben Klasse 9, 1. Blatt
Aufgabe 1.1
Beweise, daß die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden in einem beliebigen Viereck ein Sehnenviereck bilden. Wann entartet dieses Sehnenviereck zu einem Punkt?
Aufgabe 1.2
Gibt es natürliche Zahlen a und b derart, daß a2 + b und b2 + a Quadratzahlen sind?
Aufgabe 1.3
Beweise, daß für alle positiven reellen Zahlen a, b und c die Ungleichung
b
c
3
a
+
+
≥
b+c c+a a+b
2
gilt!
Aufgabe 1.4
Berechne die Summe
n
X
k=1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
...
+
4k 2 − 1
3 15 35
4n2 − 1
Aufgabe 1.5
Beweise, daß das Quadrat der Summe von n > 2 Quadraten positiver ganzer Zahlen stets
wieder die Summe von n Quadraten positiver ganzer Zahlen ist.
Beispiel: (12 + 22 + 42 )2 = 162 + 112 + 82 = 182 + 92 + 62
Ort und Zeit des Kurses: Dorotheenstr. 24 (Mitte), Raum 1.607, 25.8.2010, 17 Uhr
∗
e-mail: [email protected]
URL: http://www.wias-berlin.de/people/stephan/msg.htm
Aufgaben Klasse 9, 2. Blatt
Wiederholung. Geometrie
• Winkel an geschnittenen Parallelen
• Summe der Innen- und Außenwinkel im 3-Eck, ..., n-Eck
• Dreieckskongruenzsätze
• Flächeninhalt vom Rechteck, Parallelogramm, Dreieck
• Streckenverhältnisse an geschnittenen Parallelen (Strahlensätze)
• Winkel am geschnittenen Kreis (Sehnenviereck, Peripherie-, Zentri-, Tangentenwinkelsätze)
• Streckenverhältnisse am geschnittenen Kreis
• Besondere Linien und Punkte im Dreieck
• Dreieckskonstruktionen
Aufgabe 2.1
Es seien a3 ≥ a2 ≥ a1 drei reelle Zahlen. Beweise, daß stets die Ungleichung
a1 a22 + a2 a23 + a3 a21 ≥ a21 a2 + a22 a3 + a23 a1
gilt! Wann gilt Gleichheit?
Aufgabe 2.2
Zeige, daß man aus n + 1 verschiedenen (positiven) natürlichen Zahlen, die kleiner als 2n sind,
drei solche auswählen kann, bei denen die Summe von zweien gleich der dritten ist!
Aufgabe 2.3
Die Summe dreier Quadratzahlen sei durch 9 teilbar. Beweise, daß unter diesen Zahlen zwei
sind, deren Differenz durch 9 teilbar ist.
Aufgabe 2.4
Drei Gefangene können sich retten, wenn sie folgende Aufgabe lösen: Sie werden so hintereinander auf ein Pferd gesetzt, daß der vordere keinen, der mittlere nur seinen Vordermann und der
hintere beide Vordermänner sieht. Jedem wird einer von fünf Hüten aufgesetzt, wobei bekannt
ist, daß es drei grüne und zwei rote Hüte gibt. Wenn einer der drei errät, welche Farbe sein Hut
hat, werden alle drei freigelassen. Der hintere wird gefragt: Weißt Du, welche Farbe Dein Hut
”
hat?“ – Nein.“, ist die Antwort. Danach wird dem mittleren die gleiche Frage gestellt. Auch
”
er verneint. Schließlich wird dem vordersten eben diese Frage gestellt. Er antwortet: Mein Hut
”
ist ...“
Wie lautete seine Antwort?