Ubungsblatt 7 - Institut für Informatik

Universität Augsburg
Institut für Informatik
Prof. Dr. W. Vogler
Dipl.-Inform. F. Bujtor
Logik für Informatiker WS 15/16
Übungsblatt 7
(Abgabe bis Donnerstag 03.12.2015, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1: (Hilbertkalkül für Prädikatenlogik)
9 Punkte
Leiten Sie im Hilbert-Kalkül folgende Formeln her. Verwenden Sie außer den Axiomen und
Modus Ponens nur die jeweils angegebenen Mittel.
1. {∀xP (y) → Q(x)} ` P (y) → ∀xQ(x)
mit folgender Transitivitätsregel:
A → B, B → C
(Trans.)
A→C
Tipp: Was kann man aus der Voraussetzung naheliegenderweise herleiten.
Hinweis: Bei Anwendung von Ax5 immer die Nebenbedingung prüfen und angeben.
2. {P (y)} ` ∀x y = x → P (x)
mit Deduktions- und Generalisierungstheorem.
3. (∀x P (x)) → ∀y P (y)
mit Deduktions- und Generalisierungstheorem.
Aufgabe 2: (Bindungsbereich und Substitution)
5 Punkte
1. (1,5 Punkte) Bestimmen Sie in folgender Formel die Mengen der freien und gebundenen Variablen.
A ≡ (∀y∃x P (f (x)) → P (x)) → (¬∀x f (x) = g(x, y) ↔ ¬∃z Q(y, z, f (z, y)))
2. (3,5 Punkte) Führen Sie die folgenden Substitutionen schrittweise durch:
a)
(∀x0 f (x1 , x2 ) = g(x2 )) [f (x1 ,x2 ) /x2 ]
b)
(∀x0 ∃x1 f (x1 , x2 ) = g(x2 ) → ∃x2 P (x1 , g(x2 ))) [f (x1 ,x2 ) /x2 ]
Verwenden Sie als frische Variable für eine gebundende Umbenennung die Variable mit
dem kleinstmöglichen Index aus der Menge {x0 , x1 , . . . }.
Aufgabe 3: (Generalisierungstheorem)
5 Punkte
Gegeben ist folgende Herleitung aus M = {∀y y = f (y)}. Eliminieren Sie aus dieser Herleitung
das Generalisierungstheorem, d.h. geben Sie eine Herleitung für {∀y y = f (y)} ` ∀x g(x) =
f (g(x)) an, die das Generalisierungstheorem nicht verwendet. Gehen Sie dabei so vor, wie im
Beweis des Generalisierungstheorems beschrieben.
(1)
(2)
(3)
(4)
∀y y = f (y)
(∀y y = f (y)) → g(x) = f (g(x))
g(x) = f (g(x))
∀x g(x) = f (g(x))
∈M
Ax4 mit g(x)/y
MP (1), (2)
Gen. (3)
Übungsblatt 7 (Logik für Informatiker WS 15/16)
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Aufgabe 4: (Formalisierung)
6 Punkte
Wir betrachten erneut ein Setting ähnlich zu dem von Blatt 3 Aufgabe 3:
D sei, wie bisher, eine Teilmenge natürlicher Zahlen. Gegeben sei nur noch das Prädikatssymbol LE mit Interpretation kleiner-gleich“ sowie das Funktionssymbol add mit Interpretation
”
+. (Also ist D wieder unter addition abgeschlossen.)
Auf Blatt 5 betrachteten wir eine Formalisierung für x ist das Doppelte bzw. Dreifache von
”
y“. Dies soll nun verallgemeinert werden.
1. Definieren Sie induktiv abgeleitete Prädikate Vi (x, y) für x ist das i-fache von y begin”
nend mit i = 2“.
2. Geben Sie dazu passende Formeln für V1 (x, y) und V0 (x, y) an.
3. Kann die Induktion in Teil 1 auch bei 1 bzw bei 0 verankert werden? (geeignete Begründung)
4. Wir betrachtet nun die Interpretation von oben mit D = N und den zusätzlichen Konstanten 2 und 15. Um 14 ≤ x ≤ 16 zu charakterisieren, soll folgende Eigenschaft formalisiert werden: Wenn eine Zahl mindestens 2 kleiner oder 2 größer als x ist, ist sie nicht
”
15“. Ist folgende Formalisierung korrekt? Begründen Sie Ihre Antwort und korrigieren
Sie die Formel im negativen Fall durch möglichst wenig Änderungen.
(Wir erlauben ab jetzt x 6= y als Abkürzung für ¬x = y)
∀y∀z LE (add (y, 2), x) ∧ LE (add (x, 2), z) → y 6= 15 ∧ z 6= 15