UE Mathematische Software

UE Mathematische Software
WS 2006/07
Blatt 1
† Beherzigen Sie bei der Ausarbeitung und Abgabe die Hinweise am Ende von Blatt 0.
† Vergessen Sie nicht, Ihre Lösungen ausreichend mit Kommentaren zu versehen.
† Immer wenn Sie selbst Funktionen definieren (so wie in den Aufgaben 5 und 6), müssen Sie diese Funktionen auch
testen, indem Sie sie mit geeignet gewählten Parametern aufrufen und das Ergebnis überprüfen. Vergessen Sie dabei
nicht auf spezielle Parameter, wie zum Beispiel die Randpunkte des Definitionsbereiches, Sprungstellen, oder andere
Werte mit erhöhter Fehlerwahrscheinlichkeit.
† Abgabeschluss für die Übung am nächsten Tag ist immer Montag, 24 Uhr.
1) Endliche Summen
Berechnen Sie die Summe
sowie
1 ÿ 2 ÿ 3 + 2 ÿ 3 ÿ 4 + … + nHn + 1L Hn + 2L
1 - 2 + 5 - … ≤ H2n - nL
für beliebige n œ . Geben Sie die Aufgaben doppelt ein und verwenden Sie für Summe und Potenz einmal die 2DDarstellung (StandardForm) und einmal Funktionen/Operatoren.
à
Lösung:
2) Limiten
In einer Analysis I Übung waren die folgenden Limiten abzuschätzen. Berechnen Sie mit Mathematica die genauen
Grenzwerte, indem sie die Funktion Limit benutzen. Halten Sie sich bei der Eingabe möglichst genau an die
Darstellung am Angabeblatt.
sin Hl1 fL
lim ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å
fØ0
l2 f
lim
kض
lim
xض
k
è!!!
!
k
"####################
è!!!! è!!!!
x+ m x - x
lim x Hx - dxtL
xØ0
à
Bemerkung: dxt bezeichnet die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x.
Lösung:
3) Noch eine Summe
à
Ist ⁄nj=1 H j + 1L 3 j das gleiche wie ÅÅÅÅ34 H3n - 1L + ÅÅ12ÅÅ 3n+1 n?
Lösung:
4) Stammfunktionen
a) Berechnen Sie die Stammfunktion von f HxL = sin x cos x.
sin2 x
b) Verifizieren Sie, dass auch ÅÅÅÅÅÅÅÅ
2 ÅÅÅÅÅ eine Stammfunktion von f ist. Geben sie eine Erklärung dafür an.
à
Lösung
5) Binomialkoeffizienten
Nehmen Sie an, die Funktionen Factorial und Binomial wären in Mathematica nicht definiert.
a) Schreiben Sie eine Funktion, die das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen (also die Fakultätsfunktion von n)
berechnet. Hinweis: Verwenden Sie Product.
b) Schreiben Sie (unter Zuhilfenahme der in a) definierten Funktion) eine Funktion zur Berechnung des
Binomialkoeffizienten.
à
i0y
i 20 y
c) Erzeugen Sie eine Liste, die jj zz, …, jj zz enthält.
k 20 {
k 20 {
Lösung:
6) The Radical Inverse Function
Es seien n und b natürliche Zahlen, b ¥ 2.
a) Schreiben Sie eine Funktion digit[n,k,b], die die kte Ziffer zur Basis b von n berechnet. k = 0 soll die
Einerziffer, k = 1 die ber-Ziffer, k = 2 die b2 er-Ziffer … liefern.
Verwenden Sie dazu die Funktionen für ganzahlige Division und für Rest bei ganzzahliger Division.
digit@1234567, 2, 10D
5
digit@15, 1, 3D
2
b) Schreiben Sie eine Funktion anzahl[n,b], die die Anzahl der Stellen einer Zahl n zur Basis b liefert. Verwenden
Sie die Logarithmen und einen geeigneten Befehl zum Auf- oder Abrunden. Für n = 0 braucht Ihre Funktion nicht zu
funktionieren.
anzahl@99, 10D
2
anzahl@100, 10D
3
c) Die „Radical Inverse Function“ ist folgendermaßen definiert:
digit@n, i, bD
fb HnL = ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
bi+1
i=0
¶
Schreiben Sie dafür eine passende Mathematica-Funktion fb [n]. Die Summe sollte dabei nicht bis Unendlich laufen,
sondern bis zu einem geeigneten, endlichen Wert (verwenden Sie anzahl).
φ2 @10D
5
16
à
Lösung:
7) Simplify
Vereinfachen Sie die folgenden beiden Terme mit Simplify.
a3 Ha + 8 bL + 8 H3 a2 b2 + 4 a b3 L + 16 b4
Hx2 + x y + y2 L Hx2 - y2 L Hx6 + x3 y3 + y6 L
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Hx + yL
Welche(r) andere(n) Befehl(e) zur Termumformung müsste(n) jeweils alternativ zu Simplify benutzt werden, um
das gleiche Ergebnis zu erhalten? Warum?
à
Lösung: