Zweite Klausur zu Analysis I - Mathematik - Heinrich

Mathematisches Institut
der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf
Prof. Dr. Oleg Bogopolski
WS 2014/15
2. April 2015
Zweite Klausur zu Analysis I
Aufgabe 1. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
x
.
− 3x
(√
)
(b) lim
n2 + 3n − n .
(a) lim
[3P.]
x→0 2x
[3P.]
n→∞
Aufgabe 2. Seien a und b zwei reelle Zahlen. Wir definieren eine Folge (xn )n>0 rekursiv
durch:
xn + xn−1
x0 = a, x1 = b, xn+1 :=
.
2
(a) Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n > 1 gilt:
|xn+1 − xn | =
[3P.]
1
|x1 − x0 |.
2n
(b) Leiten Sie aus (a) ab, dass für alle natürlichen Zahlen n, m mit m > n > 0 gilt:
(1
1
1 )
|xm − xn | 6 n + n+1 + · · · + m−1 · |x1 − x0 |.
2
2
2
[3P.]
Benutzen Sie hierbei die Dreiecksungleichung.
(c) Für alle natürlichen Zahlen n, m mit m > n > 0 berechnen Sie:
[4P.]
1
1
1
+ n+1 + · · · + m−1 .
n
2
2
2
Beweisen Sie, dass diese Zahl kleiner als
1
2n−1
ist.
(d) Formulieren Sie das Cauchy-Kriterium und überprüfen Sie, dass (xn )n>0
eine Cauchy-Folge ist.
[3P.]
Aufgabe 3.
(a) Finden Sie eine Stammfunktion von f (x) =
(b) Finden Sie eine Stammfunktion von f (x) =
sin(x)
.
1 + cos2 (x)
x2
1
.
+x−2
(c) Finden Sie eine Stammfunktion von f (x) = x(1 − x)37 .
Der Lösungsweg mit der Indikation der Integrationsregel ist erforderlich.
1
[4P.]
[4P.]
[3P.]
Aufgabe 4.
∞
∑
zn
√
(a) Untersuchen Sie, für welche z ∈ C die Reihe
konvergiert.
3
n!
n=0
[4P.]
∞
∑
(2x)n
(b) Untersuchen Sie, für welche x ∈ R die Reihe
konvergiert.
n+2
n=0
[4P.]
Hinweis. Untersuchen Sie gegebenenfalls den Rand des Konvergenzkreises gesondert.
Aufgabe 5. Für welche reellen Zahlen x (̸= 1) konvergiert die Reihe
( x )2 ( x )3
x
1+
+
+
+ . . .?
1−x
1−x
1−x
[4P.]
Aufgabe 6.
(a) Finden Sie für die Funktion g : (−1, ∞) → R
g(x) = x2 − 12 · log(x + 1) − 5
alle kritischen Stellen und alle maximalen Intervalle, auf denen g streng monoton
wachsend bzw. streng monoton fallend ist.
[5P.]
(b) Geben Sie lim g(x) und lim g(x) an. Eine Begründung ist nicht erforderlich.
[2P.]
(c) Beweisen Sie, dass g genau zwei Nullstellen hat.
[4P.]
(d) Finden Sie alle maximalen Intervalle, auf denen g konkav (konvex) ist.
[3P.]
x→∞
x↘−1
Aufgabe 7. Zeigen Sie, dass es keine differenzierbaren Funktionen f, g : R → R gibt
mit f (0) = g(0) = 0 und f (x)g(x) = x für alle x ∈ R.
2
[4P.]