Beispielaufgaben zur Scheinklausur

Beispielaufgaben zur Scheinklausur
Aufgabe 1
Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie wahr oder falsch ist. Falsche
Antworten geben einen Minuspunkt, nicht beantwortete Fragen führen zu keinem Abzug.
Minuspunkte werden nur innerhalb dieser Aufgabe verrechnet.
wahr falsch
a) Sei (zn )n∈N eine komplexe Folge. Dann gilt:
zn → z
⇔
Re(zn ) → Re(z) und Im(zn ) → Im(z).
2
2
2
2
2
2
2
2
(a + b)c = ac + bc
2
2
(ab) + c = (a + c)(b + c)
2
2
(−a)−1 = −(a−1 ) für a 6= 0.
2
2
a + a 6= 0 für a 6= 0.
2
2
h ist Grenzwert von (an ).
2
2
Wenn (an ) konvergiert, dann gegen h.
2
2
Es gibt eine Teilfolge von (an ), die gegen h konvergiert.
2
2
Für alle ε > 0 und alle N ∈ N gibt es ein n > N mit |an − h| < ε.
2
2
| Re(z)| ≤ |z|.
2
2
|z| = | Re(z)| + | Im(z)|.
2
2
z −1 =
2
2
2
2
|zn | → |z|
zn → 0
⇒
⇔
zn → z.
|zn | → 0.
Wenn zn konvergiert und zn ∈ R für alle n, dann ist lim zn ∈ R.
b) Sei K ein Körper. Dann gilt für alle a, b, c ∈ K:
c)
Sei (an )n∈N eine Folge mit Häufungspunkt h. Dann gilt:
d) Sei z ∈ C. Es gilt:
z
.
|z|
Im(z) = − Im(z).
1
Aufgabe 2
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion für n ∈ N: Die Summe aller weder
durch 2 noch durch 5 teilbarer natürlicher Zahlen m mit m < 10n beträgt 20n2 .
Aufgabe 3
a) Bestimmen Sie den Grenzwert limn→∞
2n
.
n!
b) Bestimmen Sie alle Häufungspunkte von in + n1 .
Aufgabe 4
Richtig oder falsch? Wenn (zn )n∈N keine Nullfolge ist, dann gibt es ein δ > 0
und eine Teilfolge (znk ) mit
|znk | ≥ δ für alle k.
Begründen Sie Ihre Antwort.
Bearbeiten Sie zwei der folgenden vier Aufgaben:
AUSWAHL: Aufgabe A
a) Seien A, B und C Mengen und f : A → B, g : B → C Funktionen, für die g ◦ f
bijektiv ist. Zeigen Sie, dass g surjektiv und f injektiv ist.
b) Geben Sie Funktionen f, g : N → N an, so dass g ◦ f bijektiv, aber f nicht surjektiv
und g nicht injektiv ist.
AUSWAHL: Aufgabe B
Zeigen Sie: Sind (pn ) und (qn ) Folgen natürlicher Zahlen mit
pn √
= 2,
n→∞ qn
lim
dann gilt
1
= 0.
n→∞ qn
lim
AUSWAHL: Aufgabe C
¯
¯
¯
¯
Zeigen Sie: Ist q ∈ (0, 1) und ¯ an+1
≤ q für alle n, dann gilt
an ¯
lim an = 0.
n→∞
AUSWAHL: Aufgabe D Richtig oder falsch? Es gibt eine Bijektion zwischen R und
der Menge aller Funktionen R → R. Begründen Sie Ihre Antwort.
2