5 Folgen - Bernd Dreseler

5 Folgen
5.1 Konvergenz von Folgen
Definition:
Eine Folge ( a n ) heißt konvergent,
wenn es eine Zahl a ∈ R mit folgender Eigenschaft gibt:
Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ \ so, daß
an − a < ε
für alle
n>N
Die Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Folge, und man schreibt
lim an = a
n→∞
oder
an → a für n → ∞
Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge.
Wichtige Folgen und ihre Grenzwerte:
1
1. lim s = 0
n →∞ n
für jedes positive s ∈ _.
2. lim n a = 1
für jedes reelle a > 0.
n →∞
3. lim n n = 1.
n →∞
4. lim q n = 0
n →∞
k
n
5. lim n = 0
n →∞ z
für jedes q ∈ ^ mit q < 1.
für jedes k ∈ ` und z ∈ ^ mit z > 1.
5.2 Rechenregeln
Regel I:
Für die Folgen ( an ) und ( bn ) gelte an → a und bn → b.
Dann gilt :
a) an + bn → a + b ,
b) an ⋅ bn → a ⋅ b .
an
a
→ .
c) Ist b ≠ 0, so sind fast alle bn ≠ 0, und es gilt
bn
b
Regel II:
Für die Folge ( an ) gelte an → a.
Dann gilt auch
an → a ,
an → a ,
Re an → Re a,
Im an → Im a .
Insbesondere sind Grenzwerte reeller Folgen reell.
Ferner folgt
lim an = lim Re an + i lim Im an
Regel III:
Es gelte an → a und bn → b, ferner an ≤ bn für fast alle n.
Dann gilt auch a ≤ b.
Folgerung:
Liegen alle Glieder einer konvergenten Folge ( an ) in dem
kompakten Intervall [ A, B ] , dann auch ihr Grenzwert.
Einschließungsregel (Sandwich-Theorem)
Zur Folge ( an ) gebe es konvergente Folgen ( An )
und ( Bn ) mit An ≤ an ≤ Bn für fast alle n und mit lim An = lim Bn .
Dann ist auch ( an ) konvergent, und es gilt lim an = lim An .
Asymptotische Gleichheit.
Zwei Folgen ( an ) und ( bn ) von Zahlen ≠ 0 heißen
⎛ an ⎞
asymptotisch gleich, falls die Folge ⎜ ⎟ gegen 1 konvergiert,
⎝ bn ⎠
an
lim = 1;
n→∞ b
n
in Zeichen:
an ≅ bn
für n → ∞
5.3 Monotone Folgen
Eine Folge ( an ) heißt beschränkt,wenn es eine Zahl s gibt, so daß für
alle Glieder an ≤ s gilt.
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Definition:
Eine Folge ( an ) reeller Zahlen heißt
a) monoton wachsend , wenn an ≤ an +1 für alle n,
b) monoton fallend , wenn an ≥ an +1 für alle n gilt.
Satz:
Jede beschränkte, monotone Folge ( an ) konvergiert, und zwar
a) eine wachsende gegen sup A, wobei A := {an : n ∈ `};
b) eine fallende gegen inf A.
5.4 Eine Rekursionsformel
zur Berechnung von Quadratwurzeln
Satz:
Bei beliebig gewähltem Startwert x0 > 0 konvergiert die durch
a⎞
1⎛
xn +1 = ⎜ xn + ⎟ definierte Folge gegen a .
xn ⎠
2⎝
5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß
Häufungswerte:
h ∈ ^ heißt Häufungswert der Fo lg e( an ),
wenn jede Umgebung Kε (h) von h unendlich viele Folgenglieder an enthält,
d.h., wenn gilt:
h − an < ε für unendliche viele n.
Satz von Bolzano-Weierstraß, 1.Fassung:
Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt einen Häufungswert.
Jede beschränkte Folge ( an ) reeller Zahlen hat einen
größten Häufungswert h* und einen kleinsten h* ;
diese haben die Eigenschaft, daß für jedes ε > 0 gilt:
(6* )
an < h* + ε für fast alle n,
(6* )
an > h* + ε für fast alle n.
h* heißt Limes sup erior , h* Limes inf erior von ( an ).
h* =: lim sup an bzw. h* =: lim inf an .
Teilfolgen:
Ist (an ) eine Folge komplexer Zahlen und (nk ) eine
streng monoton wachsende Folge von Indizes, so heißt die durch
k 6 ank , k ∈ `,
( )
definierte Folge ank
k∈`
Teilfo lg e von (an ).
Lemma:
h ∈ ^ ist ein Häufungswert einer Folge ( an ) genau dann,
( )
wenn h der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge ank ist.
Satz von Bolzano-Weierstraß, 2. Fassung
Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.
5.6 Das Konvergenzkriterium von Cauchy.
Nochmals die Vollständigkeit von \
Konvergenzkriterium von Cauchy:
Eine Folge ( an ) komplexer Zahlen konvergiert genau dann,
wenn es zu jedem ε >0 ein N gibt, so daß gilt:
an − am < ε , falls n und m > N sind.
Definition:
Eine Folge ( an ) komplexer Zahlen heißt Cauchy − Fo lg e oder
Fundamentalfo lg e, wenn es zu jedem ε >0 ein N gibt, so daß
an − am < ε , falls n und m > N .
Vollständigkeit von \ :
Das Intervallschachtelungsprinzip folgt aus dem
Cauchyschen Konvergenzkriterium.
Intervallschachtelungsprinzip (V)
⇓
Satz von Bolzano-Weierstraß
⇓
Cauchy-Kriterium
⇓
Intervallschachtelungsprinzip (V)
5.7 Die erweiterte Zahlengerade
Zur Bildung von Grenzwerten ist es zweckmäßig,
\ um zwei ideelle Elemente ∞ und -∞ zu erweitern:
\ := \ ∪ {∞, −∞}.
Dabei setzt man -∞ < x < ∞ ∀x ∈ \.
Man definiere ferner wie in 2.3 Intervalle in \, z.B.
[ a, ∞ ] := {x ∈ \ : a ≤ x ≤ ∞}, ( a,∞ ) := {x ∈ \ : a < x < ∞}
und analog weiter.
Die Intervalle ( K,∞ ] , [ −∞, K ) heißen auch Umgebungen von ∞ bzw. -∞.
Definition:
Für eine Folge ( an ) reeller Zahlen setzt man
lim an := ∞, falls jede Umgebung ( K , ∞ ] fast alle an enthält,
lim an := −∞, falls jede Umgebung [ -∞,K ) fast alle an enthält.
Die Folge heißt dann bestimmt divergent oder auch
uneigentlich konvergent.
Ferner setzt man
lim sup an := ∞, falls jede Umgebung ( K , ∞ ] unendlich viele an enthält;
lim inf an := −∞, falls jede Umgebung [ -∞,K ) unendlich viele an enthält.