1. geschichtliche betrachtungen zu pi
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Julius-Echter-Gymnasium Elsenfeld Kollegstufe 1999/2001 Facharbeit im Leistungskurs Mathematik Thema: Diskussion und Darstellung verschiedener Methoden, die Kreiszahl Pi zu bestimmen Verfasser: Christian Bernhard Leistungskurs: Mathematik Kursleiter: StR Stirnkorb Bearbeitungszeitraum: Kurshalbjahre 12/2 und 13/1 Abgabetermin: 1. Februar 2001 Erzielte Note: ...................... in Worten: ....................................... Erzielte Punkte: ................... in Worten: ....................................... Eintrag des Ergebnisses: .......................................................... .......................................... ( Unterschrift) Darstellung und Diskussion verschiedener Methoden, die Kreiszahl zu bestimmen 2 INHALTSVERZEICHNIS 1. GESCHICHTLICHE BETRACHTUNGEN ZU PI .............................. 4 2. METHODE NACH ARCHIMEDES ..................................................... 8 3. MONTE-CARLO-METHODE ............................................................ 13 4. DAS NADELPROBLEM VON BUFFON .......................................... 15 5. METHODE NACH GREGORY.......................................................... 18 6. ARCUS-TANGENS-REIHEN ............................................................ 22 7. DAS BBP-VERFAHREN .................................................................... 26 8. CHRONOLOGISCHER ÜBERBLICK ............................................... 27 9. OHNE ENDE? .................................................................................. 31 10. LITERATURVERZEICHNIS .......................................................... 35 3 1. GESCHICHTLICHE BETRACHTUNGEN ZU PI „Man nehme eine Kugel, in deren Mitte unsere Erde liege und die bis zum Sirius reiche (Entfernung ca. 8.7 Lichtjahre); man fülle diese Kugel mit Bazillen, so daß auf jeden Kubikmillimeter eine Billion (= 1 000 000 000 000) Bazillen kommen. Man stelle nunmehr alle diese Bazillen auf einer geraden Linie so auf, daß die Entfernung vom ersten Bazillus zum zweiten so groß ist wie die Entfernung Erde-Sirius; ebenso groß sei die Entfernung vom zweiten zum dritten Bazillus, vom dritten zum vierten usw. Die Entfernung vom ersten zum letzten Bazillus nehme man als Radius eines Kreises. Berechnet man dann den Umfang dieses Kreises, indem man 100 Dezimalen der Dezimalbruchentwicklung von Pi benützt (höhere Dezimalen also unberücksichtigt läßt), dann wird - trotz der ungeheuren Größe des Kreises - der bei der Berechnung des Umfangs begangene Fehler immer noch kleiner ausfallen als ein Zehnmillionstel eines Millimeters!!!“1 Im September 1999 berechnete der japanische Professor Yasumasa Kanada (s. Bild2) die Kreiszahl auf 206 Milliarden Stellen (genau: 206 158 430 000). Betrachtet man den Aufwand, der über Jahrtausende betrieben wurde, steht er in keinem Verhältnis zu dessen Nutzen. Dennoch reichen die ersten Bestimmungen des Verhältnisses von Umfang zu Durchmesser ca. 4000 Jahre zurück und somit gilt die Berechnung der Kreiszahl als eines der ältesten und schwierigsten Probleme, welches sich der Menschheit seit jeher stellt. Keine andere irrationale Zahl beschäftigte die Mathematik über einen so langen Zeitraum. Im Laufe der Jahrhunderte führten die Berechnungen zu immer mehr Nachkommastellen, die Yasumasa Kanada durch immer aufwändigere Methoden die Frage nach zu einem Wettstreit machten, bei dem kein Ende in Sicht zu sein scheint. Tatsächlich erstreckt sich die Geschichte der Zahl genauso wie ihre Länge. Rund um die Erdkugel beschäftigten sich verschiedenste Völker und Kulturen mit der Berechnung von , da Kreisberechnungen vor allem in der Feldmessung, Astronomie und Architektur notwendig wurden. Die ersten Überlieferungen stammen aus 1 2 http://www.pi314.at/math/sinnlos.html http://www.hints.org/~kanada/index.html 4 altbabylonischer Zeit (ca. 1900-1600 v.Chr.) und geben für den Wert 3,125 an. Ebenso erkannten auch die Ägypter, „dass sich bei jedem Kreis das gleiche Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ergibt“3. Das aus der Zeit um 1850 v.Chr. stammende „Rhind Papyrus“4 gibt neben Lösungen anderer mathematischer Probleme auch einen Algorithmus für 2 16 wieder, der zu einem Ergebnis von = = 9 Das „Rhind Papyrus“ 3,16049... führte und vom wirklichen Wert um weniger als 2/100 abwich. Sogar in der Bibel findet sich an zwei Stellen ein Wert für : AT, 1. Könige 7, 23 sowie AT, 2. Chronik 4, 2, die wie folgt lauten: „Und er machte das Meer, gegossen, von einem Rand zum anderen zehn Ellen weit (...), und eine Schnur von dreißig Ellen war das Maß ringsherum.“5 Man rechnete also mit = 3, einem sehr ungenauen Wert, obwohl für damals schon genauere Werte zur Verfügung standen. Wegen Differenzen in Sprache und Schriftform im Hebräischen schließt man jedoch auf den Wert von 333 = 3,141509... 106 In Indien fand man für einfache Rechenausdrücke wie 10 und 3 31 , die bis zur dritten Nachkommastelle korrekt waren. Erstmals theoretische Berechnungen stellte Archimedes von Syrakus (287-212 v.Chr.) an, indem er systematisch approximierte und den Wert durch Ein- bzw. Umbeschreibung eines 96-Ecks in und um einen Kreis eingrenzte, sodass der Wert 3 1 geboren war. 7 In China verbesserte Tsu Ch’ung Chih (430-501) den Wert auf 355 = 3,1415929... und 113 lieferte sechs korrekte Stellen, obwohl diesem die Arbeiten des Archimedes nicht bekannt waren und unklar ist, wie er zu diesem Ergebnis kam, da es von ihm nur wenige Überlieferungen gibt. Nachdem sich viele Mathematiker des Altertums und des 3 Zschiegner, Marc-Alexander, S.43 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Diagrams/Rhind_papyrus.jpeg 5 Zschiegner, Marc-Alexander, S.43 4 5 Mittelalters aus verschiedensten Kulturen mehr oder weniger erfolgreich mit befasst hatten, erreichte erst im Jahr 1579 Francois Viète neun Stellen für , ehe der niederländische Mathematiker Adriaen van Reumen (beide mittels der Archimedes-Methode) durch Polygone mit einer Milliarde Seiten auf 15 Stellen verbesserte. Schon drei Jahre später übertraf ihn Ludolph van Ceulen Ludolph van Ceulen (s. Bild6) (1539-1610) erst mit 15, dann mit 35 Nachkommastellen mittels Polygonen von 262 (~1018) Seiten, was bewirkte, dass in Deutschland jahrelang auch als „Ludolphsche Zahl“ bekannt war und in van Ceulens Grabstein sogar die drei letzten von ihm berechneten Stellen eingemeiselt wurden. In der folgenden Zeit erreichte man mit immer exakteren und schneller konvergierenden Algorithmen einen rasanten Zuwachs an Srinivasa Ramanujan Nachkommastellen. Einen großen Teil dieser Formeln lieferte das indische Mathematik-Genie Srinivasa Ramanujan (s. Bild7) (1887-1920), der, aufgewachsen in Armut und Krankheit, sein Leben der Mathematik widmete und dessen geniale Formeln erst vor kurzer Zeit wiederentdeckt wurden, da seine Notizbücher bisher nicht vollständig entschlüsselt und nachvollzogen werden konnten. Die Berechnungen komplizierter Summen-, Produkt- und arctan-Formeln sind erst seit Erfindung leistungsfähiger Computer möglich, welche die -Berechnungen in ungeahnte 100000000 10000000 1000000 100000 10000 1000 100 10 1 1400 emporschnellen nur eine Frage der Zeit waren. Daniel Shanks und 1500 1600 1700 1800 1900 2000 John W. Wrench durchbrachen 1961 erstmals 7 ließen, sodass weitere Rekorde eigene Tabelle 6 Dimensionen die 100.000- http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Van_Ceulen.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Ramanujan.html 6 Grenze in einer Berechnungszeit von etwa acht Stunden. 1973 dauerte die Berechnung einer Million Stellen noch knapp einen Tag! Die Tabelle veranschaulicht den rasanten Zuwachs an Nachkommastellen seit dem Jahr 1450. In den letzten Jahren konkurrierten die Brüder Chudnovsky, die in ihrem Appartement in Manhattan einen Computer aus Kaufhausteilen betreiben und finanziell von ihren Frauen leben, mit dem Japaner Yasumasa Kanada. Dieser setzte mit 206 Milliarden Stellen mittels des BBP-Verfahren der -Berechnung einen vorläufigen Höhepunkt. Wie weit die -Berechnungen noch vorangetrieben werden und ob nicht doch irgendwann ein Ende in Sicht ist, wird die Zukunft zeigen. Bevor der griechische Buchstabe zur Bezeichnung der Kreiskonstante erstmals beim Engländer William Jones auftauchte, waren Umschreibungen üblich wie „quantitas, in quam cum multiplicetur dyameter provieniet circumferentia (die Größe, durch deren Multiplikation mit dem Durchmesser sich der Umfang ergibt)“9. 1737 wurde der Buchstabe von Leonhard Euler wieder aufgegriffen und etablierte sich in der Folgezeit als Bezeichnung des Verhältnisses des Kreisumfangs zum Durchmesser. In der vorliegenden Arbeit werden die bedeutendsten Methoden zur Bestimmung der Kreiszahl vorgestellt. Dabei wird jeder einzelnen Methode ein Kapitel gewidmet, das jeweils untergliedert ist in die Aspekte Einführung, Berechnung und Diskussion. Neben den dargestellten Berechnungsmethoden existiert eine Reihe weiterer Verfahren, auf die verzichtet wurde, da sie den Rahmen dieser Arbeit sprengen würden. 9 Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 168 7 2. METHODE NACH ARCHIMEDES „Dem Rechner gleich, der seine Kräfte sammelt, um einen Kreis zu messen, und’s nicht findet, und auf den Lehrsatz sinnt, der nötig wäre,...“10 Dante Alighieri Mit dem seinerzeit größten griechischen Mathematiker Archimedes von Syrakus (s. Bild11) begannen erstmals 250 v. Chr. theoretische Berechnungen zur Annäherung an den Umfang eines Kreises. Die Basis seiner erfolgreichen Approximation geht von der Tatsache aus, dass bei einem Durchmesser von 1 gleich Archimedes von Syrakus U ist wegen U . Diesem Kreis beschrieb er jeweils ein d Sechseck ein, das offenbar einen geringeren Umfang als der Kreis hatte, und ein Sechseck um, das sicher größer als war. So hatte er jeweils eine untere und eine obere Schranke für den Umfang des Kreises festgelegt. Verdoppelt man die Anzahl der Ecken in den ein- und umbeschriebenen Polygonen, so nähern sich die Umfänge der Vielecke von beiden Seiten immer mehr dem Kreisumfang an, so dass gilt: lim U n n Eck U Kreis Indem man also n beliebig groß wählt, reduziert sich die Abweichung vom tatsächlichen Kreisumfang in jedem Schritt. Da Archimedes weder die Dezimalschreibweise noch die Hilfe mittels der Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen zur Verfügung standen, musste er eine zeitaufwändige geometrische Konstruktion anwenden. Dennoch war seine Methode fast 2000 Jahre lang die erfolgreichste der -Berechnung und wurde bis ins 17. Jahrhundert von mehreren Mathematikern wieder aufgegriffen. Zur vereinfachten Rechnung wird im Folgenden der Radius r mit 1 festgelegt, sodass 10 11 U 2 bzw. 2 U gilt. Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 154 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Archimedes.html 8 Nebenstehende Skizze veranschaulicht die Vorgehensweise des Archimedes bei Einbeschreibung der eines Polygons in einen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r = 1. AC = sn ist die Seite eines regelmäßigen Sechsecks. Bei der Verdopplung zum Zwölfeck werden die dadurch entstandenen Seiten AB , BC , ... mit s2n bezeichnet. Im Weiteren wird schrittweise aus: www.facharbeit.de (Facharbeit von Markus Müller) die Beziehung zwischen sn und s2n hergeleitet. Da MA = r =1 ist, folgt aus dem Satz von Pythagoras: 2 2 AF MF 1 2 MF 1 AF Für AF 2 (2.1) sn ergibt sich: 2 s MF 1 n 2 MF 2 1 4 s n2 2 (2.2) Außerdem ist nach Pythagoras: 2 2 AF FB AB 2 2 FB AB AF 2 2 (2.3) Mit AB s 2n ergibt sich: FB s 2 2n s n 2 2 9 FB 1 4 s 22n s n2 2 (2.4) Nun ist MF FB 1 und damit folgt aus den Formeln (2.2) und (2.4): 1 1 4 s n2 4 s 22n s n2 1 2 2 1 1 1 4 s n2 4 s 22n s n2 2 2 (2.5) Quadriert ergeben beide Seiten: 1 2 1 1 1 4 s n2 4 s n2 4 s 22n s n2 2 4 4 s n2 s n2 2 1 4 s 1 s 2n 4 4 2 n (2.6) s 22n 2 4 s n2 s 2n 2 4 s n2 (2.7) 12 Für den Umfang multipliziert man das errechnete s2n mit 2n: u 2 n 2n s 2 n (2.8) Analog zur Einbeschreibung funktioniert auch die Umbeschreibung eines Polygons. Wiederum ermöglichen die Formeln den Übergang vom n-Eck zum 2n-Eck, auf den wegen der Ähnlichkeit beider Verfahren nur kurz eingegangen werden soll. Die nebenstehende Skizze wird nun durch die umbeschreibende Seite t2n ergänzt, der Radius ist weiterhin mit r = 1 festgelegt. Das Seitenverhältnis t 2n 1 s 2 n h2 n (2.9) folgt aus dem Strahlensatz. Aufgelöst ergibt sich für t2n: 12 aus: www.facharbeit.de (Facharbeit von Markus Müller) Herleitung und Formeln (2.1)–(2.7) aus: Weimar, Joachim: Die Quadratur des Kreises, S.15-16 10 t 2n s 2n h2 n (2.10) Die unbekannte Seite h2n erhält man aus dem Satz von Pythagoras: h 2 2n s 1 2n 2 4 s 22n 4 h2 n h2 n 2 1 4 s 22n 2 (2.11) Setzt man nun (2.11) in (2.10), ergibt sich für die gesuchte Seite t2n: t 2n 2 s 2n 4 s 22n (2.12) Um den Umfang zu erhalten, erweitert man erneut mit 2n: U 2 n 2n t 2 n n 4 s 2n 4 s 22n (2.13)13 Man erkennt, dass der Umfang des umbeschriebenen Polygons nur durch vorausgegangene Berechnung der Seite s2n zu erhalten ist. Dies führte möglicherweise dazu, dass Archimedes Rundungsfehler nicht nur beim Übergang vom un-Eck zum u2n-Eck bzw. vom Un-Eck zum U2n-Eck mitnahm, sondern auch beim Übergang vom einbeschriebenen zum umbeschriebenen Polygon. Bei diesen Methoden ist jeweils ein Startwert erforderlich, der sich beim einbeschriebenen Sechseck mit Radius r = 1 auf den Wert 6 für den Umfang beläuft, beim umbeschriebenen Sechseck beträgt er 4 3 . Daraus ergeben sich für wegen U die Anfangswerte des Umfangs u6 = 3 für das ein- und U6 = 2 3 für das 2 umbeschriebene 6-Eck. Mit zunehmender Eckenzahl (n = 12, 24, 48, ...) ergibt sich durch die oben beschriebene Formel ein immer genauerer Wert für . Da dieser Vorgang unendlich oft wiederholt werden kann, kann auch beliebig approximiert werden. Bereits beim 96-Eck erhält man einen in praktischer Anwendung befindlichen Wert für . Das Verfahren ist zwar einfach, aber dafür ist das Wurzelziehen notwendig, 13 Formeln (2.9)–(2.13) aus: www.facharbeit.de (Facharbeit von Markus Müller) 11 was zu Archimedes’ Zeiten auf schriftlichem Weg noch sehr mühsam war. Der Wert für konvergiert überdies nur sehr langsam. Bei jedem Schritt wird nur eine sehr kleine Verbesserung ermöglicht, was eine Berechnung von mehreren Millionen Stellen unmöglich macht. Dennoch war sie bis ins 17. Jahrhundert die gebräuchlichste Methode. Durchlauf Umfangeinbeschrieben Umfangumbeschrieben Korrekte Nachkommastellen 1 3.00000000000000000 3.46410161513775439 0 2 3.10582854123024887 3.21539030917347235 0 3 3.13262861328123821 3.15965994209750045 1 4 3.13935020304686718 3.14608621513143483 1 5 3.14103195089050979 3.14271459964536826 2 6 3.14145247228546198 3.14187304997982375 3 7 3.14155760791185745 3.14166274705684856 3 8 3.14158389214831812 3.14161017660468955 3 10 3.14159210599927130 3.14159374877135189 5 15 3.14159265305503643 3.14159265465930559 8 16 3.14159265345610361 3.14159265385717079 9 17 3.14159265355637052 3.14159265365663742 9 20 3.14159265358926998 3.14159265359083673 10 25 3.14159265358979134 3.14159265358979367 14 27 3.14159265358979223 3.14159265358979323 14 (aus: http://www.uni-leipzig.de/~sma/pi_einfuehrung/archimedes.html) Diese Tabelle verdeutlicht die extrem langsame Konvergenz dieser Methode. Erst bei 25 Durchläufen, was einem Polygon von 9,47676 . 1018 Ecken entspricht, erhält man 14 korrekte Nachkommastellen. 12 3. MONTE-CARLO-METHODE „Die Vernunft, die nicht die Wahrheit ist, verhält sich zur Wahrheit wie das Vieleck zum Kreis; und dies wird nie dem Kreis gleich.“14 Cusanus Nicht nur komplizierte Rechnungen führen zu , auch das wesentlich einfachere Zufallsprinzip führte zu Ergebnissen. Unter der Monte-Carlo-Methode fasst man derartige Verfahren zusammen, mittels derer man durch Wahrscheinlichkeitssimulationen einen Wert für erhält, der sich nach dem Zufallsprinzip immer mehr dem wahren Wert für annähert. Aber erst mit der Erfindung des Computers konnten diese Verfahren mit praktischem Nutzen durchgeführt werden und liefern auf einfache und schnelle Weise Annäherungen an . Man stelle sich also einen Kreis mit Radius r = 1 vor, der von einem Quadrat umschrieben wird. Jetzt werden auf beliebige Weise Punkte über das Quadrat verteilt, wobei die als „Treffer“ gelten, die zusätzlich noch im Kreis landen. Alle anderen Punkte werden als „Nieten“ bezeichnet. Das Verhältnis von Treffer zu Gesamtversuchen ist also offensichtlich das von der Fläche des Kreises zur Fläche des Quadrates. Vereinfacht auf den ersten Quadranten ergibt sich daraus wegen aus: www.loesungsbuch.de (Facharbeit Wolfgang Morandell) Seitenlänge a des Quadrats gleich r folgende Formel: AQuadrat r 2 AKreis r2 4 (3.1) (3.2) r2 4 A Treffer Kreis Gesamtversuche AQuadrat r2 4 14 AKreis Treffer 4 AQuadrat Gesamtversuche (3.3) Mäder, Peter: Zahl ohne Ende, S. 39 13 Um zu prüfen, ob sich nun ein Punkt innerhalb oder außerhalb des Kreises befindet, dient folgende Überlegung: Ist der Abstand des Punktes kleiner oder genau 1 zum Mittelpunkt, liegt er innerhalb bzw. genau auf dem Kreis: d x2 y2 1 x2 y2 1 (3.4) Erhöht man also die Anzahl der Versuche n, nähert sich auch die Genauigkeit des Verhältnisses der Treffer t zu den Gesamtversuchen n dem Verhältnis der Fläche von Kreis zu Quadrat an und erhöht schließlich so die Genauigkeit für : t AKreis lim n A n Quadrat 4t n r2 24 4 r (3.5) (3.6)15 Auf eine Diskussion und gemessene Werte gehe ich erst nach Beschreibung der Methode nach Buffon ein, da die Werte bei beiden übereinstimmen. 15 Herleitung und Formeln (3.1)–(3.5) aus: Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 38–43 14 4. DAS NADELPROBLEM VON BUFFON „Während des amerikanischen Bürgerkriegs erholte sich der Captain C. O. Fox in einem Lazarett von einer Verwundung. Zum Zeitvertreib warf er gleich lange Nadeln in zufälliger Weise auf ein Brett, auf das er zuvor parallele Linien im Abstand der Länge seiner Nadeln gezeichnet hatte. Er zählte die Anzahl der Würfe und die Anzahl der Treffer, d. h. der Fälle, bei denen eine geworfene Nadel eine Linie berührt oder geschnitten hatte. Nach 1100 Würfen hatte der Captain bis auf zwei Stellen nach dem Komma bestimmt.“16 Diese Art der -Berechnung basiert auf oben beschriebener Monte-Carlo-Methode. Der Graf de Buffon (1707–1788) (s. Bild17) hat sich wohl als Erster dieses Verfahren der Wahrscheinlichkeitsberechnung zu Nutze gemacht, um zu approximieren. Man denke sich eine Ebene überdeckt von einer ParallelenGraf de Buffon schar mit Abstand d. Eine Nadel der Länge a (a<d) wird auf die Parallelenschar geworfen. Von Bedeutung ist nun die Wahrscheinlichkeit, mit der die Nadel eine der Parallelen schneidet. Um die Nadel parallel zur Linie zu bekommen, dreht man die Nadel um den Winkel gegen den Uhrzeigersinn. Dabei gilt 0 < . Die Nadel schneidet also eine der aus: www.loesungsbuch.de (Facharbeit Wolfgang Morandell) 16 17 Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 38 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Buffon.html 15 Parallelen, wenn x a . sin gilt („x sei der Abstand des tiefsten Punktes der Nadel von der nächsten höheren Parallele“18). Durch die Werte x und kann jede beliebige Lage der Nadel festgelegt werden. Stellt man nun ein Koordinatensystem (s. Zeichnung) mit den Achsen und x her, wobei x0 0 x d gilt, beschreibt darin ein Rechteck mit den Seiten und d alle möglichen Lagen (Paralelle schneidend und nicht schneidend) aus: „Experimentelle Bestimmung der Zahl dieser Nadel graphisch. Die Fläche dieses nach Buffon (1707–1788)“ Rechtecks besteht also aus der kompletten Punktmenge Ω, die alle möglichen Ereignisse umfasst. Günstig ist allerdings nur das Ereignis A, bei dem die Nadel eine Parallele schneidet. Diese Punktmenge besteht aus allen Werten für x, die kleiner oder gleich a sin sind, also x a sin , weil nur dann eine Parallele von der Nadel geschnitten wird. Gesucht ist also die Fläche im Rechteck unterhalb der Funktion mit der Gleichung x a sin . Das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ereignisse A zu den möglichen Ereignissen Ω ist dem Verhältnis der jeweiligen Flächenfiguren von A und Ω, die durch ihre zugehörigen Punktmengen gebildet werden, gleichwertig. P A P A FlächeA PQ FlächeQ (4.1) „Die Fläche von Ω ergibt sich als Inhalt des Rechtecks zu .d. Der Flächeninhalt von A ergibt sich durch Integration zu“19 a sin d acos .. ..0 2a (4.2). 0 Somit erhält man P A 2a d (4.3). Aufgelöst nach ergibt dies 18 19 Unbekannter Autor: Experimentelle Bestimmung der Zahl nach Buffon (1707–1788), oh. Seitenzahl ebd. 16 2a d P A (4.4). k ersetzen, n Für eine genügend große Anzahl an n Versuchen kann man P(A) durch wobei k die Anzahl der Würfe angibt, bei denen die Nadel eine Parallele schneidet. Daraus folgt: 2an kd (4.5)20 Im Jahre 1901 berechnete Lazzarini mit dieser Methode auf sechs Stellen genau. Dafür benötigte er genau 3408 Würfe, was darauf lässt, er dass schließen genau dann aufgehört hat, als er einen guten Wert für errechnet hatte. Daher muss man dieser Methode sehr kritisch begegnen, da man in der Natur auf deterministischen aus: www.facharbeit.de (Facharbeit D. Altiparmak) Grund der Chaostheorie niemals ein Laplace-Experiment erreichen kann. So streuen die Werte um den Erwartungswert zu sehr, als dass man dadurch einen genauen, brauchbaren und immer wiederkehrenden Wert für bekommen könnte. Des Weiteren ist zu bemängeln, dass sehr viele Versuche nötig sind, bevor man sich überhaupt erst an annähert und es natürlich nicht gewiss ist, ob sich nach einer genügend großen Anzahl von Würfen der Wert auch nicht von irgendwann wieder weiter weg bewegt. Die Grafik zeigt eine mögliche Auswertung eines Versuchs. Auch wenn sich natürlich der Wert um einpendelt, lassen sich keine genauen Aussagen machen, zumal im wahrsten Sinne des Wortes dem Zufall überlassen wird. 20 Herleitung und Formeln (4.1)-(4.5)nach: Unbekannter Autor: Experimentelle Bestimmung der Zahl nach Buffon (1707–1788), oh. Seitenzahl 17 5. METHODE NACH GREGORY [John Gregory] was a man of courage an foresight but was not conspicuous for outstanding intellectual gifts ...21 Herbert Westren Turnbull Einer der bedeutendsten Mathematiker des 17. Jahrhunderts war der Schotte James Gregory (1638–1675) (s. Bild22), dessen Onkel Schüler von Vieta war. Unter anderem war er für einen großen Fortschritt in der Entwicklung des Teleskops verantwortlich. Aber auch auf den Gebieten der Algebra und der Geometrie leistete er hervorragende Arbeit, z. B. als er die Arbeiten des Archimedes James Gregory aufgriff und eine ähnliche Methode zur -Approximation entdeckte. Neben der sehr bekannten Formel geometrische Überlegungen 4 1 1 1 1 ... 3 5 7 fand er zudem durch folgende Methode heraus: Wiederum wird einem Kreis mit Radius r = 1 die Seite s n A1 B1 einbeschrieben und die t n AB Seiten und t 2 n A' B' umbeschrieben. Aufgrund des Winkelsatzes sind die Dreiecke AA1A’ und A1T1M ähnlich. Daraus lassen sich folgende Seitenverhältnisse ableiten: AA' A' A1 sowie A1 M T1 M AT A1T1 A1 M T1 M (5.1) (5.2) nach Strahlensatz. aus: www.facharbeit.de (Facharbeit von Markus Müller) 21 22 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gregory.html ebd. 18 Außerdem gelten folgende Längenbestimmungen: A1 A' 1 1 t 2 n und AA' t n t 2 n 2 2 (5.3) Da (5.1) und (5.2) den gleichen Wert haben, müssen nur noch die Längenbestimmungen in die Formeln eingesetzt werden: 1 t n t 2 n 2 1 t 2n 2 1 tn 2 1 sn 2 (5.4) Daraus folgt: t 2 n t n s n t n t 2 n t 2n t n s n t n s n t 2n t 2n t n s n t 2n s n t n Aufgelöst ergibt sich für t2n: t 2 n (5.5) sn t n sn t n (5.6) Aber erst aus dem Produkt der Seitenlänge und der Seitenzahl n ergibt sich durch Multiplikation mit 2n der Umfang U2n eines umbeschriebenen Polygons. Erweitert man zusätzlich noch den Bruch mit n, erhält man: n s n t n 2n n s n t n (5.7) 2 un U n Also: U 2 n u U n n (5.8) 2n t 2n Erneut ist ein Startwert erforderlich, der sich bei der Umbeschreibung des Kreises für t 6 mit Radius r = 1 auf 2 3 beläuft. Somit gilt für den Umfang des umbeschriebenen 63 Ecks U 6 4 3 . Wie Archimedes näherte sich auch Gregory dem Kreis von beiden Seiten her an, um so mit jeder Verdopplung der Eckenzahl mehr und mehr einzugrenzen, da auch hier nochmals gilt: un < 2r < Un 19 Für die Einbeschreibung eines Polygons werden weiterhin zwei ähnliche Dreiecke, die in obiger Zeichnung zu sehen sind, betrachtet: A’T1’T und A1TT1, wobei s2n mit A1T definiert ist. Durch Anwendung des Winkelsatzes (Übereinstimmung zweier Dreiecke in zwei Winkeln) lassen sich erneut folgende Beziehungen aufstellen: T1 ' T A' T A1T1 (5.9) A1T Werden diese Strecken durch ihre jeweiligen Streckenbezeichnungen ersetzt, erhält man: 1 1 s 2n sn 2 2 1 s 2n t 2n 2 Aufgelöst ergibt sich für s2n: s 2n (5.10) 1 s n t 2n 2 (5.11) Um den Umfang u2n des einbeschrieben n-Ecks zu erhalten, erweitert man erneut mit 2n: 2n s n n s n 2n t 2 n 2 2 u 2n u n U 2n (5.12) (5.13)23 Analog zu Archimedes benötigt man hier für den Umfang des einbeschriebenen Polygons den Wert des umbeschriebenen n-Ecks, den man aus vorheriger Rechnung erhalten hat. Treten schon bei der ersten Rechnung Rundungsfehler auf, ziehen sich diese durch die weiteren Ergebnisse und führen zu Folgefehlern. Startet man nun mit den Werten u 6 3 für das einbeschriebene 6-Eck und U 6 2 3 3,46410161513775439... für das umbeschriebene 6-Eck, so erhält man nach mehreren Durchläufen folgende Ergebnisse: 23 Herleitung und Formeln (5.1)–(5.13) aus privatem Skript von Heinz Siegler 20 Umfangeinbeschrieben Durchlauf Umfangumbeschrieben Korrekte Nachkommastellen 1 3.0000000000... 3.4641016151... 0 5 3.1410319508... 3.1427145996... 2 10 3.1415921059... 3.1415937487... 5 16 3.1415926534... 3.1415926538... 9 17 3.1415926535... 3.1415926536... 9 50 3.1415926535... 3.1415926535... (14) 1000 3.1415926535... 3.1415926535... (14) Werte aus: www.facharbeit.de (Facharbeit von Markus Müller) Man erkennt deutlich, dass die Ergebnisse mit denen des Archimedes übereinstimmen, was an der Ähnlichkeit beider Verfahren liegt. Der große Nachteil für beide liegt in der Notwendigkeit von Startwerten. Außer der etwas einfacheren Herleitung und der Rechnung mit weniger Wurzeln bei der Methode von Gregory liegt der entscheidende Vorteil aber darin, dass dadurch auf Dauer weniger Rundungsfehler entstehen. Dennoch war dieses Problem nicht völlig beseitigt und so war eine exaktere Berechnung von auch für Gregory unmöglich. Beiden bleibt die extrem langsame Konvergenz, die erst durch spätere Verfahren und mit Hilfe des Computers verbessert werden konnte.24 Im Folgenden sollen nun derartige für Computer geschaffene Methoden dargestellt werden. 24 Diskussion aus: www.facharbeit.de (Facharbeit von Markus Müller) 21 6. ARCUS-TANGENS-REIHEN In der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts waren es die Reihenformeln, die den Grundstein für die heutige Stellenexplosion lieferten. Solche unendlichen Reihen öffneten neue Dimensionen in der Berechnung von . Die Anfänge gehen zwar schon auf das 15. Jahrhundert in Indien zurück, doch erst mit der Entwicklung der Infinitesimalrechnung gelang es unter anderem Sir Isaac Newton (1643–1727) (s. Bild25), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646– 1716) (s. Bild26) und James Gregory, brauchbare Reihen für die -Approximation aufzustellen. Eine der berühmtesten und überschaulichsten Formel ist wohl die bereits oben angeführte Formel, die fälschlicherweise oft Leibniz zugeschrieben wird: Sir Isaac Newton 4 1 1 1 1 1 1 ... 3 5 7 9 11 (6.1) Um allerdings 1000 Nachkommastellen für zu erhalten, müsste man mehr Summanden addieren als es Atome im Universum gibt. Daher tauchte bereits zuvor eine untergeordnete Art der Reihenformeln auf: die Arcus-Tangens-Funktionen. Arcus-Funktionen sind die Umkehrfunktionen zu den Verwendung der trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan. Ist also x tan y , dann gilt unter G. W. Leibniz Umkehrfunktion y arctan x . Wählt man nun x = 1, erhält man wegen tan 4 4 arctan 1 1: (6.2) 1671 entdeckte James Gregory, dass die Fläche unter der Kurve y 1 im Intervall 1 x2 [0;x] den Wert arctan(x) annimmt. Daher gilt: 25 26 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Newton.html http://www.math.univ-mulhouse.fr/Pi/Leibniz.html 22 x dt 2 0 1 t arctan x (6.3) Daraus leitete er die Gregory-Reihe ab: x arctan x 1 t 2 t 4 t 6 ... (6.4) 0 x t3 t5 t7 t ... 3 5 7 0 x x3 x5 x7 ... 3 5 7 (6.5) Um daraus nun zu einer Formel für zu gelangen, setzen wir x = 1, da arctan 1 4 . Man erhält nun die unter dem Namen Leibniz-Reihe bekannte Formel (6.1) oder die gleichwertige Summenformel: 1 n 0 n 1 2n 1 (6.6) Wie bereits erwähnt, konvergiert diese Methode extrem langsam, so dass schon bald auf diesem Grundbaustein basierend andere Arcus-Tangens-Funktionen entwickelt wurden. Das Kreisbogenstück mit dem Wert /4 lässt sich nun aus kleineren Kreisbogenstücken zusammensetzen. Mit diesem Prinzip stellte Leonhard Euler (1707–1783) die einfachste solcher zusammengesetzter arctan-Formel her: arctan 4 Die Summe AC arctan 1 3 CE arctan 1 2 Kreisbogen Aus der 1 1 arctan 2 3 (6.7) Kreisbögen und ergibt den AE arctan 1 nebenstehender 4 . Skizze erkennt man: Je kleiner man x wählt, umso schneller werden die Glieder gegenüber der Leibniz- Zeichnung aus: Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S.71 23 Reihe kleiner, umso schneller erreicht man tiefer liegende Stellen in . Erst das 100. Glied der Leibniz-Reihe hat zwei führende Nullen nach dem Komma, während das 100. Glied von arctan 1 1 schon 62 und das von arctan bereits 98 Nachkomma-Nullen 2 3 besitzt. Man legt nun eine Zahl mit arctan 1 5 1 5 arctan indem man einfach x 1 fest, also 5 1 1 1 ... 3 5 35 55 7 57 (6.8), 1 1 wählt. Der Tangens von ist mit festgesetzt. Mittels der 5 5 trigonometrischen Identität, die wie folgt lautet: tan tan tan 1 tan tan (6.9), ist nun tan 2 2 tan 5 2 1 tan 12 (6.10). Mit /4 erhält man für tan(4): 2 tan 2 tan 1 tan 2 120 tan 4 119 2 2 tan 1 tan 2 1 tan (6.11)27 Daraus lässt sich leicht erkennen, dass 4 nur gering größer ist als /4. Wenn man nun den Differenzwinkel (= 4 - /4) berechnet, so ist 1 4 119 1 tan tan 4 239 239 4 1 tan 4 tan 4 119 tan 4 tan (6.12). Daraus folgt: 4 4 arctan 1 1 1 1 ... 3 239 239 3 239 5 239 5 (6.13) und liefern also zusammen 4 27 4 (6.14). Formel (6.11) aus: www.loesungsbuch.de (Facharbeit von Wolfgang Morandell) 24 4 4 arctan 1 1 arctan 5 239 (6.15) 1 1 1 1 1 1 4 ... ... 3 5 3 5 5 5 239 3 239 5 239 5 3 5 (6.16) Diese elegante und rechnerisch lösbare Formel stellte John Machin (1680–1752) im Jahre 1706 auf und fand mit ihr 100 Nachkommastellen für heraus. Die Glieder des Minuenden nehmen mit etwa 1/25 pro Glied ab, was einer Konvergenz von 1,39... Dezimalstellen entspricht. Beim Subtrahenten sind es 4,76 Stellen pro Glied. „Diese Konvergenzverbesserung wiegt bei weitem den Nachteil auf, daß jetzt zwei Reihen zu berechnen sind.“28 Darüber hinaus sind in der Folgezeit noch weitere Arcus-Tangens-Formeln für /4 entdeckt worden. Man bemühte sich besonders für Reihen mit mehr als zwei arctanAusdrücken mit immer kleinerem Wert. So z. B. folgende: 4 12 arctan oder 22 arctan 28 29 1 1 1 8 arctan 5 arctan 18 57 239 (6.17) nach Gauß 1 1 1 1 2 arctan 5 arctan 10 arctan (6.18) 29 nach Escott. 28 443 1393 11018 Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 71 Herleitung, Formeln (6.1)–(6.10) und (6.12-6.18) und Diskussion aus: Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 69–75 25 7. DAS BBP-VERFAHREN „Ich glaube fest daran, daß das Universum ein wunderbares Konzert von Zahlenkorrespondenzen ist und daß die Lektüre der Zahl und ihre symbolische Deutung ein priviligierter Weg zur Erkenntnis sind“ 30 Am 30. September 1995 luden die drei Mathematiker und Numeriker David Bailey, Peter Borwein (s. Bilder31) und Simon Plouffe zu einem Kolloquium an einer kanadischen Universität, um einen neues Verfahren in der -Berechnung vorzustellen. Dass es bei dieser Methode möglich ist, eine beliebige Stelle in zu berechnen oder noch nachfolgende Stellen anzustückeln, macht neben der extrem schnellen Konvergenz die Stärke dieses Peter Borwein Verfahrens aus. Daher ist es auch nicht verwunderlich, dass sich Yasumasa Kanada dieser Formel bemächtigte, um seinen Rekord von über 206 Milliarden Stellen im Jahre 1999 aufzustellen. Gefunden wurde sie „durch eine Kombination von inspiriertem Vermuten und extensiver Suche“, wie sie selbst sagen. Sie zogen die sogenannte „Computeralgebra“ heran, die für das Lösen mathematischer Probleme durch symbolische Algorithmen geeignet ist. Der PSQL-Algorithmus nützt beispielsweise der Suche nach ganzzahligen Beziehungen zwischen reellen Zahlen. Gibt man in den Computer eine Reihe von reellen Zahlen (x1, x2,...,xn) ein, so sucht der Algorithmus nach einer Reihe von ganzen Zahlen (a1, a2,...,an), die nicht alle 0 David Bailey sind, so dass die Beziehung a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0 gilt. Nachdem man zuvor eine Reihe für ln2 gefunden hatte, wurde nun nach gesucht. Sie fütterten den Computer mit 1 1 ,..., . So entstand also die BBP-Reihe x 8 n n n 1 8n 116 n 1 8n 7 16 x1 = , x 2 (benannt nach den Anfangsbuchstaben ihrer Erfinder) im Computer, als dieser die Zahlen (1,-4, 0,0,2,1,1,0) lieferte. 1 n n 0 16 2 1 1 4 8n 1 8n 4 8n 5 8n 6 (7.1) 32 30 Mäder, Peter: Zahl ohne Ende, S. 39 http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/ 32 Herleitung und Formel (7.1) aus: Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 117–120 31 26 8. CHRONOLOGISCHER ÜBERBLICK Natürlich gab es neben den oben beschriebenen Verfahren Dutzende weiterer Methoden im Laufe der 4000-jährigen Geschichte, die mehr oder weniger erfolgreich approximierten. Angefangen von den ersten Näherungen der Babylonier, Ägypter oder Inder bis schließlich zur ersten theoretischen Berechnung der Kreiszahl durch Archimedes’ Verfahren der Annäherung zweier Vielecke an einen Kreis erstreckt sich die erste Ära der -Berechnung. Besonders auf diesem geometrischen Verfahren beruhten 2000 Jahre lang die meisten Berechnungen, bis am Ende dieser Zeit, 1630 n. Chr., auf 39 Stellen bekannt war. Die zweite Ära, beginnend Mitte des 17. Jahrhunderts, war bestimmt durch die Erfindung der Infinitesimalrechnung und der unendlichen Reihen. Die erfolgreichsten Methoden waren bis dato die arctan-Formeln, die dank John Machin im Jahre 1706 erstmals die 100-Stellengrenze mittels Papier und Bleistift sprengte. „Mitte 1940 betraten die Computer die -Bühne, und damit waren die Zeiten mit nur wenigen hundert Stellen vorbei.“33 Elektrisch-mechanische Tischrechner halfen 1947 D. F. Ferguson mittels einer arctan-Formel 808 Stellen zu berechnen. Mit dem ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer) wurden 1949 in 70 Stunden 2037 Stellen durch die Formel von John Machin ermittelt, 1958 knackte man die 10 000Grenze, 1961 die 100 000 Stellen und 1973 schaffte man es durch Varianten der Machin-Formel auf 1 Million Stellen. Zuvor jedoch entdeckten geniale Mathematiker, wie z. B. Srinivasa Ramanujan oder Leonhard Euler, faszinierende Formeln, insbesondere die der unendlichen Reihen: François Viète (1593) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (7.1) John Wallis (1655) 4 33 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13... 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14... (7.2) Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 189 27 Lord William Brouncker (1658) 4 1 12 32 2 52 2 72 2 2 ... (7.3) Der Schweizer Leonhard Euler (1707–1783) gab abstrakte Definitionen von mittels Integralen: 1 4 0 dx 1 x4 1 0 x 2 dx 1 x4 (7.4) Als Erster gab er die Lösung für die Summe der reziproken Quadratzahlen an und erfand im Jahre 1736 den eleganten Ausdruck: 1 2 1,64493406 2 6 k 1 k (7.5)34 Der Inder Srinivasa Ramanujan (1887–1920) befasste sich fast sein ganzes kurzes Leben mit dem -Problem. Seine Formeln sind heute noch kaum übertroffen und gelten als ungeheuer genial. Eine seiner Formeln aus dem Jahre 1914 ragt durch ihre enorme Konvergenzgeschwindigkeit heraus. Jedes Glied liefert acht genaue Stellen von : 1 8 4n ! 1103 26390n 9801 n 0 n!4 396 4 n (7.6)35 Die dritte Ära begann um 1980, als die sogenannte FFT-Multiplikation das Multiplizieren zweier großer Zahlen überproportional beschleunigte. „Mit ihr können nstellige Multiplikanden in einer Zeit multipliziert werden, die nicht viel stärker wächst als n selbst.“36 Daneben wurden eigens für Hochleistungsalgorithmen, wie etwa (7.6), entwickelt, welche die arctan-Formeln ablösten, um schneller und weiter zu berechnen. 34 Formeln (7.1), (7.2) und (7.5) aus: Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 180–184 Formeln (7.3), (7.4) und (7.6) aus: Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 9–13 36 Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 191 35 28 Fast schon selbstverständlich in unserer heutigen Zeit, aber für die Berechnung von unentbehrlich, waren die stetigen Leistungsexplosionen des Computers, dessen Geschwindigkeit sich alle zwei Jahren mindestens verdoppelt. Seit 1981 ist es der bereits oben erwähnte Yasumasa Kanada, der die Berechnung von dominiert. Außer ihm, den Chudnovsky-Brüdern (s. Bild37), Gosper und Baily, war es wohl ein 17-jähriger kanadischer Student, der die Berechnung revolutionierte. Als Erster verschaffte er sich nämlich die Kooperation von 126 InternetComputern aus acht Ländern und verteilte verschiedene Teilaufgaben auf mehrere Computer, bevor er es zu einem Ergebnis zusammensetzte. In Gebrüder Chudnovsky folgender Tabelle38 sind die Rekorde und Meilensteine in der Geschichte von aufgelistet. Das Ende ist noch nicht bekannt. Wer? Babylonier Ägypter Inder Bibel Platon Archimedes Zhang Heng Ptolemäus Liu Hui Tsu Ch’ung-Chih Arya-Bhata Alkarism Fibonacci Dante Al-Kashì Viète Romanus Ludolph van Ceulen Grienberger Newton 37 38 Wann? 2000 v. Chr. 2000 v. Chr. 600 v. Chr. 440 v. Chr. 380 v. Chr 250 v. Chr. 130 v. Chr. 150 263 ca. 480 499 830 1220 ca. 1320 1430 1579 1593 1615 1630 1665 genaue Stellen Bemerkungen 1 3.125 . 2 1 4 (8/9) =3.16049 0 3.08832 0 3, vielleicht besser 2 2 + 3 = 3.14626 2 223/71 22/7 1 10 = 3.16227 3 377/120 = 3.14166 5 3.14159 6 355/113 = 3.141592 4 3.14156 3 62832/20000 3 864/275 = 3.14181 3 3 + 2/10 = 3.14142 16 3.14159265358979325 9 3.1415926539 17 35 Polygon mit 262 Seiten 39 Letztmals Polygone 15 13 korrekt Preston, Richard: 3,14159265358979..., S. 46 eigene Tabelle mit Werten aus: Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 197/198 29 Sharp Machin De Lagny Rutherford Dase Clausen Lehmann Rutherford Richter Shanks Ferguson Ferguson und Wrench Reitwiesner Felton Genuys Guilloud Shanks und Wrench Guilloud und Fillitaire Guilloud und Boyer Miyoshi und Kanada Guilloud Kanada und Tamura Kanada und Yoshino Gosper Bailey Kanada und Tamura Kanada Kanada und Tamura Chudnovskys Kanada und Tamura Chudnovskys Kanada und Tamura Chudnovskys Kanada Chudnovskys Kanada Kanada Kanada 1699 1706 1719 1824 1844 1847 1853 1853 1855 1874 1945 Sep. 1947 1949 1957 Jan. 1958 1959 Juli 1961 1966 1973 1981 1982 1982 1982 1985 Jan. 1986 Okt. 1986 Jan. 1987 Jan. 1988 Mai 1989 Juli 1989 Aug. 1989 Nov. 1989 Mai 1994 Okt. 1995 1996 Juli 1997 April 1999 Sep. 1999 71 100 127 208 200 248 261 440 500 707 530 808 2037 7480 10 000 16 167 100 265 250 000 1 001 250 2 000 036 2 000 050 8 388 676 16 777 206 17 526 200 29 360 111 67 108 839 134 217 700 201 326 551 480 000 000 536 870 898 1 011 196 691 1 037 741 799 4 044 000 000 6 442 450 938 8 000 000 000 51 539 600 000 68 719 470 000 206 158 430 000 Machin-Formel 112 korrekt 152 korrekt 524 korrekt Tischrechner ENIAC CRAY-2 BBP-Verfahren 30 9. OHNE ENDE? „Pis Gesicht war von einer Maske verdeckt, weil, wie jedermann wußte, kein Mensch je den Anblick dieses Gesichts überleben würde. Aber hinter den Schlitzen der Maske konnte man die Augen erkennen: durchdringend, unerbittlich, kalt und rätselhaft.“39 Bertrand Russell Nun ist es aber nicht allein dabei geblieben, nur auf eine bestimmte Anzahl an Stellen zu berechnen. Gerade in der Neuzeit brach ein regelrechter Fanatismus um die Zahl aus. Beispielsweise gibt es Rezitationswettbewerbe möglichst vieler Stellen von . Der Weltrekord liegt momentan bei sage und schreibe 42.195 Stellen, aufgestellt vom Japaner Goto im Jahre 1995, der dafür ca. neun Stunden benötigte. Will man in einen der zahlreichen Pi-Klubs aufgenommen werden, wie etwa den der „Freunde der Zahl pi“, genügen hierfür bereits 100 Stellen auswendig aufzusagen. Doch nicht nur Mathematiker und Zahlentheoretiker beschäftigten sich mit dem Problem, auch Philosophen packte die Faszination dieser Zahl. Sie erdichteten sich Merkverse, bei denen die Buchstabenanzahl der aufeinanderfolgenden Wörter die Ziffernfolge von wiedergibt. Ein bekanntes Lehrgedicht von Weinmeister lautet: „Wie, o dies Macht ernstlich so vielen viele Müh’ Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein, Wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!“40 3,14159265358979323846264... Ebenso bediente sich Michael Keith nicht nur dieser Methode, sondern modifizierte das Gedicht „The Raven“ von Edgar Allen Poe, sodass nun darin 740 Stellen von zu finden sind. Poe, E. Near A Raven Midnights so dreary, tired and weary. Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore. During my rather long nap - the weirdest tap! An ominous vibrating sound disturbing my chamber's antedoor. "This", I whispered quietly, "I ignore".41… 39 Mäder, Peter: Zahl ohne Ende, S. 40 Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 43 41 http://users.aol.com/s6sj7gt/mikerav.htm 40 31 In den USA wurde der Kampf um so weit getrieben, dass der Senat von Indiana im Jahre 1897 ein Gesetz erlassen wollte, das einerseits mit 4, andererseits mit 3,2 festlegte, und wollte sich auf diese Weise das Copyright auf sichern. Dieser lächerliche Gesetzesentwurf trat jedoch glücklicherweise nie in Kraft. Wer allerdings glaubt, spiele nur bei Kreisberechnungen eine Rolle, der irrt sich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei zufällig gewählte Zahlen keinen gemeinsamen Teiler besitzen, also teilerfremd sind, beträgt 6 2 0,6069... Darüber hinaus erfand Leonhard Euler eine Formel, die als „die Königin aller mathematischen Formeln“42 gilt: e i 1 0 Den Irrationalitätsbeweis lieferte bereits 1761 der deutsche Mathematiker Heinrich Lambert. Er besagt, dass nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann. Zwar gibt es gute Näherungen, aber weder ein Dezimalbruch noch ein unendlicher Bruch kann genau bestimmen. Mit dem Beweis der Transzendenz löste Ferdinand Lindemann 1882 das uralte Problem der Quadratur des Kreises, was neben der Verdoppelung des Würfels und der Drittelung des Winkels das dritte klassische Problem der Lineal-ZirkelKonstruktion ist. Lindemann behauptete, lasse sich nicht durch eine Gleichung der Form a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn = 0 mit ganzzahligem ai darstellen, und bewies damit, dass man zu einem vorgegebenen Kreis kein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal konstruieren kann43. Letztlich bleibt nur noch die Frage nach dem Warum. Was zieht so viele Menschen in ihren Bann und was treibt sie zu dieser Stellenjagd? Dabei genügen doch schon 42 43 Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 13 Beweise aus: Zschiegner, Marc-Alexander, S. 43 32 39 Dezimalen, um den Radius eines Kreises, der das ganze Universum umspannt, auf die Größe eines Wasserstoffatoms genau zu berechnen! Die Gebrüder Borwein behaupten, „weil es gibt“44. Das Spektrum der Forschung ist Algorithmik, groß: Statistik Analysis, und Zahlen-, weitere Funktionen-, Komplexitätstheorie, Gebiete motivieren nicht Mathematiker.45 Daneben gibt es aber tatsächlich zwei Gründe, nur viele die für das Fortwähren der -Berechnung sprechen: Der praktische Grund liegt darin, dass -Programme sich ideal dafür eignen, die Zuverlässigkeit von Computer-Hardware zu testen, da sich auch selbst kleinste Fehler bis ins Endergebnis durchschlagen. In der Tat konnte damit ein Fehler bei der Herstellung des Supercomputers Cray-2 nachgewiesen werden. Mittlerweile gehört der Ablauf solcher Programme zum Standard bei der Entwicklung neuer Prozessoren, um die Leistungsfähigkeit und die Sicherheit zu gewährleisten.46 Der zweite Grund: Ist eine normale Zahl? Könnte man eines Tages diese Frage mit ja beantworten, wäre das -Problem gelöst, denn die Normalität einer Zahl besagt, dass alle Ziffern, Ziffernpaare, Zifferndrillinge usw. in einer Zahl gleich oft vorkommen. Das würde bedeuten, dass die Berechnung irgendwann sinnlos wäre, da das Berechnete immer wieder auftauchen würde. Neueste Untersuchungen belegen dies. So müssten alle denkbaren und undenkbaren Zahlenkombinationen in vorkommen. Würde man in das 26-Zahlensystem umwandeln, also eine Darstellung in den Potenzen von 26 finden, müssten demnach auch alle Buchstabenkombinationen vorkommen, wie Goethes Faust, die Bibel, die Bibel rückwärts, diese Facharbeit47. Man schließt aber auch nicht aus, dass ab einer gewissen Stelle nur noch Nullen und Einsen folgen. Auf jeden Fall wäre eine Regelmäßigkeit für gefunden. Bis dahin jedoch wird wohl die Kreiszahl noch viele leidenschaftliche Menschen in ihren Bann ziehen, und es werden noch viele Rekorde gebrochen werden. 44 Pöppe, Christoph: Mathematische Unterhaltungen, S. 10 Information aus: Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 17/18 46 Information aus: Arndt, Jörg & Christoph Haenel, S. 17 47 Vermutung aus: Zschiegner, Marc-Alexander, S. 46 45 33 „... die Mathematik [ist] weit mehr als nur Anwendbarkeit und Nutzbarmachung. Sie eröffnet ein Reich der reinen Idee, eine dem Menschen vorgegebene und ihm letztlich nie ganz verfügbare Wirklichkeit. Der Mensch erlebt hier Formen des Unendlichen, die ihn anziehen und herausfordern, die sich aber nie ganz greifen lassen.“48 Bertrand Russell 48 Mäder, Peter: Zahl ohne Ende, S. 40 34 10. LITERATURVERZEICHNIS Arndt, Jörg & Christoph Haenel: Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik. Berlin 22000 Borwein, Jonathan M. & Peter B. Borwein: Srinivasa Ramanujan und die Zahl Pi. - In: Spektrum der Wissenschaft, April 1988, S. 96-103 Buhrow, J.: Die Ludolphsche Kreiszahl . – In: alpha, Heft 24, 1990, S. 5 Deakin, Michael A. B. & Hans Lausch: Die Bibel und . Absicht oder Zufall? – Die in der Bibel kodierten Angaben zum Wert von Pi. – In: alpha, 1997, S. 6-7 Fricker, Francois: Jagd auf -Nachkommastellen. – In: Spektrum der Wissenschaft, November 1986, oh. Seitenzahlen Fricker, Francois: Srinivasa Ramanujan (1887 bis 1920). – In: IBM Nachrichten 37, Heft 291, 1987, S. 86-87 Fricker, Francois: 3,14159265358979323846... – In: IBM Nachrichten 40, Heft 300, 1990, S. 78-79 Henn, Hans-Wolfgang: Wie einst fast zu 4 wurde. – In: mathematik lehren, Heft 52, 1992, S. 74-75 Mäder, Peter: Zahl ohne Ende. – In: Bild der Wissenschaft, Heft 6, 1993, S. 36-40 Pöppe, Christoph: Mathematische Unterhaltungen. – In: Spektrum der Wissenschaft, Mai 1997, S. 10-14 Preston, Richard: 3,14159265358979... Ein Chaos von Ziffern oder das Rätsel der Schöpfung? – In: Süddeutsche Zeitung Magazin, November 1992, S. 41-52 Rabinowitz, Stanley & Stan Wagon: A Spigot Algorithm for the Digits of . American Mathematical Monthly, Band 102, März 1995, S. 195- 203 Wedeniwski, Sebastian & Christoph Haenel: Neue Runde. Die Kreiszahl und ihre Berechnung. – In: c’t, Heft 12, 1996, S. 348-353 Weimar, Joachim: Die Quadratur des Kreises. Bestimmung von Näherungswerten für . – In: alpha, Heft 2, 1996, S. 15-16 Zschiegner, Marc-Alexander: Die Zahl - faszinierend normal! – In: mathematik lehren, Heft 98, oh. Jahr, S. 43-47 Unbekannter Autor: Experimentelle Bestimmung der Zahl nach Buffon (1707–1788), oh. Jahr, oh. Seitenzahlen Privates Skript von Heinz Siegler 35 Internetadressen: Altiparmak, Daniel: Methoden zur Berechnung der Kreiszahl ; Müller, Markus: „Darstellung und Diskussion verschiedener Methoden die Kreiszahl näherungsweise zu bestimmen“ & Roland Solecki aus http://www.facharbeit.de/, aufgerufen am 13.08.2000 Morandell, Wolfgang: „Die Magie der Zahl “ aus http://www.loesungsbuch.de, aufgerufen am 13.08.2000 http://gallery.uunet.be/kurtvdb/pi.html http://itech.fgcu.edu/faculty/clindsey/mhf4404/archimedes/archimedes.html http://users.aol.com/s6sj7gt/mikerav.htm http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html http://www.astro.univie.ac.at/~wasi/PI/26535897/dh.htm http://www.cecm.sfu.ca/pi/ http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/Pihistory.html http://www.daimi.aau.dk/~u951581/pi/MonteCarlo/pimc.html http://www.escape.com/~paulg53/math/pi/index.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_chronology.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Gregory.html http://www.lupi.ch/PiSites/rezitieren.htm http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html http://www.pi314.at/ http://www.pi314.at/math/geschichte.html http://www.pi314.at/sinnlos.html http://www.uni-leipzig.de/~sma/pi_einfuehrung/ alle aufgerufen von Juli 2000 bis Februar2001, gespeichert am 11. Januar 2001 36 Ich erkläre hiermit, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benützt habe. Obernburg, den 31.01.2001 ................................................ Christian Bernhard © 2001 by BERNHARD (Facharbeit PI) 37
