Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik für LA 2 SS 2014 Apl

Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik für LA 2
Apl. Prof. Dr. J. Main
SS 2014
Blatt 6
Aufgabe 18 : Elektromagnetische Wellen in Materie
Betrachten Sie ein unendlich ausgedehntes, homogenes, elektrisch neutrales Medium, das
durch die Dielektrizitätskonstante ǫ, die Permeabilität µ und die Leitfähigkeit σ charakterisiert ist. Das elektromagnetische Feld wird dann durch die Maxwell-Gleichungen in
Materie
divD = 0 ,
1 ∂
4π
rot H −
D=
j,
c ∂t
c
und durch die Materialgleichungen
divB = 0 ,
1 ∂
rot E +
B=0
c ∂t
D = ǫE, B = µH, j = σE
bestimmt.
a) Zeigen Sie, dass sowohl die elektrische Feldstärke E als auch die magnetische Feldstärke H der Telegraphengleichung genügen
∂2
∂
∆E = α 2 E + β E,
∂t
∂t
∂
∂2
∆ H = α 2 H + β H,
∂t
∂t
und geben Sie die Konstanten α, β in Abhängigkeit der Materialparameter ǫ, µ, σ
an.
(1 Punkt)
b) Setzen Sie die elektrische Feldstärke E und die magnetische Feldstärke H als ebene
Welle an:
E = E 0 ei(kr−ωt) ,
H = H 0 ei(kr−ωt) .
Zeigen Sie nun:
i) Die elektromagnetischen Wellen im leitenden Medium sind transversal, d.h. die
Amplituden E 0 und H 0 stehen senkrecht auf dem Wellenvektor k.
ii) Die Beträge von elektrischer und magnetischer Feldstärke sind verschieden.
iii) Leiten Sie die Dispersionsrelation
ω2 µ
η,
c2
ab und bestimmen Sie die verallgemeinerte komplexe Dielektrizitätskonstante η.
(2 Punkte)
k2 =
c) Führen Sie den komplexen Brechungsindex N = n + iκ mit N 2 = µη ein und bestimmen Sie dessen Realteil, den Brechungsindex n und dessen Imaginärteil, den
Absorptionskoeffizienten κ.
(2 Punkte)
d) Betrachten Sie eine sich in x–Richtung bewegende ebene Welle:
i) Zeigen Sie, das die Welle für σ > 0 exponentiell abklingt.
ii) Bestimmen Sie die Eindringtiefe d = d(ω) in das Medium, d.h. diejenige Strecke,
nach der die Welle auf das 1/e–fache ihres ursprünglichen Wertes abgefallen ist.
iii) Was ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle?
(2 Punkte)
Aufgabe 19 : Gleichförmige Bewegung eines geladenen Teilchens,
Tscherenkow–Strahlung
(schriftlich)
Die Liénard-Wiechert Potentiale eines Teilchens mit Ladung q und Bahnkurve r(t) sind
gegeben durch:
ϕ(r,t) = q
mit
1
1
,
′
|r − r(t )| |κ(r,t′ )|
A(r,t) =
v
ϕ(r,t′ )
c
v (r − r(t′ ))
.
κ(r,t ) = 1 − ·
c |r − r(t′ )|
′
Dabei ist t′ implizit durch die Gleichung t = t′ + 1c |r − r(t′ )| gegeben.
a) Die Bahnkurve des Teilchens sei r(t) = r 0 + vt mit konstanter Geschwindigkeit v.
Zeigen Sie, dass

1
v2
x · v ± |x|c 1 −
(t − t′ ) = 2
sin2 (α)
(c − v 2 )
c2
!1/2 

(1)
gilt, wobei x = r − r 0 − vt und α den Winkel zwischen x und v darstellt. (2 Punkte)
Hinweis: Führen Sie x noch vor dem Quadrieren der impliziten Gleichung ein.
b) Zeigen Sie, dass sich für v < c die folgenden Potentiale ergeben:
v2
1
1 − 2 sin2 (α)
ϕ(r,t) = q
|x(t)|
c
!−1/2
,
v2
v 1
1 − 2 sin2 (α)
A(r,t) = q
c |x(t)|
c
In diesem Fall v < c gibt das Teilchen keine Strahlung ab.
!−1/2
(2 Punkte)
Abgabe der schriftlichen Aufgabe am Dienstag, den 20.5.2014, in der Übung.
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