Mathematikwettbewerb SS 2003 Lösung

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Mathematikwettbewerb SS 2003
Zu finden sind zwei natürliche Zahlen, die beide echt zwischen 1 und 100 liegen. Eine Person, im folgenden "Herr
P" genannt, kennt das Produkt der beiden Zahlen, eine andere Person, im folgenden "Frau S" genannt, kennt ihre Summe. Zwischen den
beiden Personen entwickelt sich der folgende Dialog:
Herr P: "Ich kenne die beiden Zahlen nicht."
Frau S: "Ich kenne die beiden Zahlen auch nicht, ich wußte aber, daß Sie sie nicht kennen."
Herr P: "Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt."
Frau S: "Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt auch."
Welches sind die beiden Zahlen?
a)
b)
c)
d)
3 und 5
2 und 7
8 und 11
4 und 13
Bitte begründen Sie Ihre Antwort ausreichend !!!
Lösung
von janko.at
Sei s die Summe, p das Produkt der Zahlen.
1. Schritt:
Für S ist entscheidend, ob sich s als Summe zweier Primzahlen darstellen läßt. Wäre das der Fall, dann könnte er seine erste Aussage
nicht machen.
Beispielsweise müßte er bei s=10 mit p=25 (5*5) oder 21 (3*7) rechnen, womit P sofort s bestimmen könnte.
Aufgrund der Aussage von S können wir für s alle Möglichkeiten streichen, die sich als Summe von 2 Primzahlen darstellen lassen. Dazu
gehören alle geraden Zahlen und alle ungeraden Zahlen für die gilt: Primzahl + 2.
Übrig bleiben für s: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, ...
Diese Zahlenfolge bezeichne ich hier als die Menge der möglichen Summen MS.
2. Schritt
P zerlegt p auf jede mögliche Weise und addiert die Faktoren.
Dadurch erhält eine Anzahl möglicher Summen. Er stellt fest:
Tatsächlich, p läßt sich auf mehr als eine Art als Produkt zweier Faktoren darstellen. Doch warum war sich S dessen so sicher?
P versetzt sich in die Lage von S, durchdenkt den 1. Schritt und schlußfolgert:
Eine oder mehrere der Summen, die ich durch die Faktorzerlegung herausgefunden habe, muß zu MS gehören.
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Oh, welche Freude, genau eine der Summen gehört zu MS.
Damit kenne ich nun die Summe von S.
3. Schritt
S versetzt sich in die Lage von P und durchdenkt Schritt 2.
Warum kennt P meine Summe? P muß bei der Faktorzerlegung und der anschließenden Summierung auf eine und nur eine Summe
gestoßen sein, die zu MS gehört.
S untersucht nun alle möglichen Produkte, die mit seiner Summe möglich sind, indem er Schritt 2 jedes mal anwendet.
Dabei stellt er fest, daß bei einem und nur bei einem Produkt,
die Schlußfolgerung aus Schritt 2 zum Erfolg führt.
In allen anderen Fällen gehören entweder mehrere Summen zu MS oder keine.
Damit ist auch für S das Produkt eindeutig.
4. Schritt
Wir müssen nun für jede Summe aus MS den Schritt 3 durcharbeiten. Falls nur für genau eine Zahl die Schlußfolgerung aus Schritt 3
zutrifft, haben wir eine eindeutige Lösung.
5. Schritt
Man erhält
s = 17
p = 52
Die beiden ausgewählten Zahlen waren 4 und 13.
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