Serie 9 - D-MATH

Prof. D. Salamon
Analysis I
MATH, PHYS, CHAB
HS 2014
Serie 9
1. Sei (pk )k∈N die Folge der Primzahlen, dann divergiert
∞
X
1
.
pk
k=1
Tipp: Verwenden Sie Serie 7, Aufgabe 4 und die Identität
N
X 1
Y
1
=
n
1 − p−1
k
n∈J
k=1
N
aus Serie 7, Aufgabe 5.
2. Berechnen Sie für beliebiges n ∈ N0 die Summen
Tipp: Benutze die Eulersche Formel exp(ix)
k
Pn
k=0
cos(kx) und
Pn
k=1
sin(kx).
= exp(ikx) = cos(kx) + i sin(kx).
3. (Eine Berechnung des Kreisumfangs)
kx
Für x ∈ R bezeichne Ln (x) die Länge des Streckenzugs durch die Punkte pk (x) = cos( kx
n ), sin( n ) ,
k ∈ {0, 1, 2 . . . , n} auf dem Einheitskreis.
x (a) Zeigen Sie, dass Ln (x) = 2n sin 2n
gilt.
Tipp: In der Schreibweise der komplexen Zahlen gilt pk (x) = exp
kx
i n
.
(b) Zeigen Sie, dass limn→∞ Ln (x) = |x| gilt.
Tipp: Zeige zunächst: limx→0 sin(x)
= 1.
x
(c) Folgern Sie, dass der Umfang des Einheitskreises 2π beträgt.
4. (Satz von Heine)
Seien (X, dX ) und (Y, dY ) metrische Räume sowie K ⊂ X eine kompakte Teilmenge. Der
Satz von Heine besagt, dass jede stetige Abbildung f : K → Y gleichmässig stetig ist.
(a) Falls f : K → Y nicht gleichmässig stetig ist, dann gilt:
∃ > 0 ∀δ > 0 ∃x, x0 ∈ K :
dX (x, x0 ) < δ
und dY (f (x), f (x0 )) ≥ (b) Beweisen Sie den Satz von Heine mit einem indirekten Argument: Wenn f : K → Y
nicht gleichmässig stetig ist, dann kann f nicht stetig sein.
Tipp: Wenn f nicht gleichmässig ist, gibt es nach Teil (a) Folgen (xn ), (x0n ) ⊂ K mit
dX (xn , x0n ) < 1/n
und dY (f (xn ), f (x0n )) ≥ ...
1
5. (Das Mengensystem der abgeschlossenen Teilmengen)
Sei (X, d) ein metrischer Raum.
(a) Zeigen Sie, dass das Mengensystem der abgeschlossenen Teilmengen von X die folgenden
Axiome erfüllt:
i. ∅ und X sind abgeschlossen.
ii. Falls A1 , . . . , An abgeschlossene Teilmengen sind, so ist auch A := A1 ∪ . . . ∪ An
abgeschlossen.
iii. Sei (Aα )α∈I eine beliebige Familie von abgeschlossenen Teilmengen von X . Dann
ist auch der Durchschnitt
\
Aα = {x ∈ X | ∀α ∈ I : x ∈ Aα }
α∈I
abgeschlossen.
Tipp: In der Vorlesung haben wir die Axiome gesehen, die das System der oenen
Mengen erfüllt.
(b) Zeigen Sie:
i. Jedes abgeschlossene Intervall [a, b] ⊂ R ist eine abgeschlossene Teilmenge von R.
ii. Die Cantormenge C ⊂ [0, 1] ⊂ R ist kompakt.
Tipp: Verwende Teil (a) und den Satz von Heine-Borel.
6. (Charakterisierung der oenen Teilmengen in R.)
Wir wollen zeigen, dass jede oene Menge U ⊂ R eine abzählbare Vereinigung von disjunkten
oenen Intervallen ist.
(a) Zeigen Sie, dass für jedes x ∈ U ein maximales Intervall Ix := (ax , bx ) ⊂ U existiert,
welches x enthält, d.h.
x ∈ Ix ⊂ U,
ax ∈ {−∞} ∪ (R\U ),
bx ∈ (R\U ) ∪ {+∞}
Tipp: Deniere ax := sup(−∞, x)\U und bx := inf(x, ∞)\U , wobei sup ∅ = −∞ und
gilt. Zeige, dass damit die geforderten Eigenschaften erfüllt sind.
(b) Zeigen Sie, dass für x, y ∈ R entweder Ix = Iy oder Ix ∩ Iy = ∅ gilt.
Tipp: Zeige zunächst: y ∈ Ix ⇒ Ix ⊂ Iy .
(c) Zeigen Sie, dass es eine abzählbare Menge A ⊂ U gibt, sodass
inf ∅ = +∞
U=
[
Ix
x∈A
und Ix ∩ Iy = ∅ für x 6= y ∈ A.
Tipp: Jedes oene Intervall enthält eine rationale Zahl und die Menge der rationalen
Zahlen ist abzählbar.
Abgabe: Freitag, den 21. November 2014.
2