Angabe

Prüfung Mathematik, 15. 6.2004
Prüfungsablauf:
 PC einschalten, anmelden, MathCad starten
 Netzwerkstecker herausziehen
 Aufgaben lösen, Zwischenspeicherung auf lokaler Festplatte
Bei Abgabe am Ende der Arbeit:
 Ergebnisse zur Sicherheit auf 2 (!!) Disketten abspeichern, Disketten mit Namen
beschriften
 Netzwerkstecker wieder hineinstecken, Ergebnisse drucken
 PC herunterfahren
 Kontrolle, ob alle ausgedruckten Seiten mit Namen versehen sind. Nötigenfalls
handschriftlich ergänzen.
Weitere Hinweise:
 Unbedingt auf jeder Seite des MathCad-Dokuments den Namen angeben
 Erstellen Sie ein übersichtliches MathCad-Dokument, aus dem jeder Denk/Rechenschritt
klar hervorgeht. Beantworten Sie die Fragen mit vollständigen Sätzen.
 Handschriftliche Überlegungen zu den MathCad-Aufgaben sind ebenfalls abzugeben.
Jedes abgegebene Blatt mit dem Namen beschriften.
 Bei Grafiken ist auf eine sinnvolle Wahl der Achsenskalierungen zu achten. Diese wird
mit beurteilt !
 Die handschriftlich gelösten Aufgaben sind so zu dokumentieren, dass jeder
Rechenschritt nachvollziehbar ist.
 In MathCad: Einheitensystem ausschalten, Startindex auf 1 setzen
Abzugeben sind:
 Blätter mit den Aufgabenstellungen
 Disketten
 Ausdrucke
 Blätter mit Lösungen des handschriftlichen Teils
 eventuell verwendete Formelsammlung (mit Namen !)
Mathematik – Klausur
Verfahrens- und Umwelttechnik
15. 6.2004
1. Gegeben sind zwei Parabeln mit den Gleichungen
p1: y = x² und
p2: y = 0.75 x² + 1
(Einheiten: cm)
a. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche zwischen den
beiden Parabeln um die y-Achse entsteht.
b. Berechnen Sie, wie weit der Körper in Wasser (Dichte ρ = 1000 kg / m3) einsinkt,
wenn die Masse des Körpers 20 g beträgt. Das Innere des Körpers bleibt dabei leer.
2. Wenn aus einem Behälter durch ein Loch im Boden Flüssigkeit ausfließt, so gilt für die
Höhe h(t) des Flüssigkeitsspiegels folgende Differentialgleichung:
dh (t )
  k h (t )
dt
Dabei ist k eine Konstante, die von der Art der Flüssigkeit, des Behälters und des Lochs
abhängt.
a. Lösen Sie diese Differentialgleichung allgemein.
b. Bestimmen Sie die Integrationskonstante und die Konstante k, wenn zum Zeitnullpunkt die
Höhe des Flüssigkeitsspiegels 36 cm beträgt und der Behälter nach 10 Sekunden leer ist.
c. Stellen Sie h(t) graphisch dar.
3. Zur Temperatur-Stabilisierung eines Messgerätes auf die Solltemperatur Tsoll wird eine
Heizung eingebaut. Die Heizleistung ist proportional zur Abweichung der MessgerätTemperatur T(t) von Tsoll. Weiters ist der Wärmeverlust des Geräts an die Umgebung
proportional zur Abweichung der Messgerät-Temperatur T(t) von der Umgebungstemperatur
TUmgeb . Damit ergibt sich folgende Differentialgleichung für T(t):
dT(t) / dt = - * [T(t)-TUmgeb] - * [T(t)-Tsoll]
(t in Minuten; ,  sind konstant)
a. Simulieren Sie in Excel das Verhalten von T(t) für T(0) = 5°C, TUmgeb= 5°C, Tsoll=20°C,
=0.1, =0.2 für einen Zeitraum von 20 Minuten in Zeitschritten von t=0.1 Minuten. Stellen
Sie den Verlauf von T(t) graphisch dar.
(Hinweis zum Ausdrucken: Plazieren Sie die Grafik an eine freie Stelle in den oberen
Bereich des Arbeitsplatzes und drucken Sie nur Seite 1 aus.)
b. Bestimmen Sie (von Hand) eine Formel für die Endtemperatur, die T(t) nach unendlich
langer Zeit annimmt. Hinweis: Was kann über dT(t) / dt ausgesagt werden, wenn sich die
Gerätetemperatur nicht mehr ändert ?
4. Gegeben: y’’ + 4y = sin(x)
a. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung
b. Bestimmen Sie jene Lösung, für die y(0)=1, y’(0)= -½
5. Gegeben ist folgendes System von gekoppelten Massen:
Große Massen: 30 Gramm;
Kleine Massen: 10 Gramm;
Federkonstante: 1 N/m
a. Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen des Systems in
Hertz.
b. Bestimmen Sie die Form der Eigenschwingung mit
der höchsten Frequenz und beschreiben Sie diese
verbal. Um welchen Faktor sind die Amplituden der
kleinen Massen größer als die der großen Massen ?
6. Beantworten Sie folgende Fragen in Form eines Aufsatzes (in dem aber natürlich schon
mathematische Beziehungen vorkommen sollen):
a. Was versteht man unter den Eigenschwingungen eines schwingungsfähigen Systems ?
b. Was versteht man unter den Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix ?
c. Warum lassen sich die Eigenfrequenzen eines ungedämpften, schwingungsfähigen Systems
aus den Eigenwerten einer Matrix berechnen ?
d. Welche technische Bedeutung hat die Ermittlung von Eigenfrequenzen komplexer
Systeme ? Welcher Verfahren bedient man sich dabei ?
Punteverteilung:
1) 2+2 P.
2) 2+2+1 P.
3) 4+2 P.
4) 3+2 P.
5) 3+2 P.
6) 1+1+2+1 P.