Bundeswettbewerb 2 – Theorie- Lösungsvorschlag

29. Österreichische Physikolympiade 2010
Bundeswettbewerb 2 – Theorie- Lösungsvorschlag
Mechanische Gedankenexperimente …
…. auf einem Luftkissentisch
a) vx soll die Geschwindigkeit des Schwerpunktes der „Hantel“ sein.
ω ist die Winkelgeschwindigkeit der „Hantel“ um den
Massenmittelpunkt X.
Das Trägheitsmoment der „Hantel“ ist I = 2mL2.
Der Drehimpuls bleibt erhalten.
Es gilt:
Iω = MvL ⋅ 0,5
MvL ⋅ 0,5 MvL ⋅ 0,5 Mv ⋅ 0,5
ω=
=
=
I
2mL2
2mL
Der Impuls bleibt erhalten.
Es gilt:
Mv = 2mvx
Es gilt die Erhaltung der mechan. Energie, da der Stoß elastisch ist:
1
1
1
Mv 2 = (2m )vx2 + Iω 2
2
2
2
Die Lösung des Gleichungssystems ergibt M =
2m
2m
=
= 1,6m
2
1 + 0,5 1,25
b) Die Massen müssen gleich sein: M = m.
Wegen der Drehimpulserhaltung gilt mc vL = mB vL = Iω mit I = 2mL2 . Nach einiger
Zeit kreist die Hantel mit der Winkelgeschwindigkeit ω um den Massenmittelpunkt X:
ω=
v
.
2L
…. mit einer Art Hantel
a) Die Normalkraft der Wand auf die obere Kugel ist 0.
Daher wirkt auf die obere Kugel nur die Kraft m.g.
Auf die untere Kugel wirkt ebenfalls die Kraft m.g.
Außerdem wirkt noch die Gegenkraft N des Bodens.
Die obere Kugel hat die Geschwindigkeit
v=−
dy
d2y
und die Beschleunigung g = − 2 . Die untere
dt
dt
Kugel bewegt sich nach rechts mit der Geschwindigkeit
u=
dx
und der Beschleunigung 0.
dt
Es gilt: y =
r 2 − x 2 , da die Länge des Stabes fix ist.
dy
x
dx xu
Man erhält daher v =
=
=
und
dt
y
r 2 − x 2 dt
g=−
d 2 y u dx xu dy u 2 xuv y 2u 2 x 2u 2 r 2u 2
=
−
=
+ 2 = 3 + 3 = 3 .
dt 2
y dt y 2 dt
y
y
y
y
y
29. Österreichische Physikolympiade 2010
Aus der Energieerhaltung erhält man
mg (r − y ) =
(
)
 x 2  u 2r 2
1
m u 2 + v 2 ⇒ 2 g (r − y ) = u 2 1 + 2  = 2 = gy
2
y
 y 
Daher ist y =
2
8 gr
r⇒u =
.
3
27
…. mit einer Perlenschnur
a) Bezeichnungen:
v0 …. Asymptotische (gemeinsame) Geschwindigkeit der Perlen
d …. Ursprünglicher Abstand der Perlen
m …. Masse einer Perle
In einem Zeitintervall ∆t kollidiert der „Perlencluster“ mit v0∆t/d weiteren Perlen.
Dadurch nimmt die Masse des Clusters um ∆m = v0∆t/d zu und der Impuls um
∆p = v0∆m = mv02∆t/d.
∆p mv02
Nach Newton ergibt sich daraus F =
=
.
∆t
d
Daraus erhält man die gesuchte Geschwindigkeit v0 =
Fd
als Endgeschwindigkeit
m
für inelastische Stöße.
b) Bei einem elastischen Stoß gleicher Massen werden die Geschwindigkeiten
getauscht.
Die erste Perle links wird auf die Geschwindigkeit v beschleunigt. Es gilt:
1 2
mv = Fd . Diese Perle erreicht daher die Geschwindigkeit v =
2
2 Fd
.
m
Diese Geschwindigkeit ändert sich bis zur nächsten Kollision nicht, da keine Kraft auf
die Perle wirkt. Mit dieser Geschwindigkeit bewegen sich alle weiteren Perlen nach
einer Kollision nach rechts. Die „Schockwelle“ hat daher die Geschwindigkeit
v=
2 Fd
.
m
Die erste linke Perle wird immer wieder von der Geschwindigkeit 0 mit konstanter
Beschleunigung auf die Geschwindigkeit v =
Geschwindigkeit ist daher v =
2 Fd
gebracht. Die mittlere
m
1 2 Fd
Fd
⋅
=
.
2
m
2m