¨Ubungen zur Einführung in die Analysis B. Krön, Sommersemester

Übungen zur Einführung in die Analysis
B. Krön, Sommersemester 2013
Potenzen und Logarithmen Trigonometrie
1. Rechnen mit Potenzen und Logarithmen 1. Wiederholen Sie die Definition des Logarithmus sowie die Rechenregeln für Logarithmen und Potenzen. Berechnen Sie
folgende Werte ohne Taschenrechner:
1
√ −2/3 p√ 8
(c) e 2 log 9
2
(a) 2 2
5
(d) 16 6 log32 8
(b) log5 125 + log3 81
Hinweis: Wir folgen hier der Konvention log (ohne Basis) für den Logarithmus zur
Basis ezu schreiben.
2. Rechnen mit Potenzen und Logarithmen 2. Bestimmen Sie die reelle Zahlen x ohne
Taschenrechner, die die folgenden Gleichungen erfüllen:
(a) b4 logb x = 4
(b) e2 log 3x = 36
3. Rechnen mit Potenzen und Logarithmen 3.
(a) Lösen Sie die Gleichung 4e4y + 9 = 12e2y .
(b) Lösen Sie das Gleichungssystem 2x 4y = 64, 12x−y = 144.
4. Textaufgabe Zerfallsprozess. Eine 33 jähriges Pferd leidet unter einer Karpangelenksarthrose und hat chronische Schmerzen. Aufgrund des Alters kann nicht operiert
werden. Als langfristige Schmerztherapie wird oral ein nichtsteroidales Antiphlogistikum verabreicht. Aufgrund des Körpergewichts lässt sich bestimmen, dass der
Wirkstoffanteil im Blut um 0.3mg pro Liter pro Verabreichung ansteigt. Das Pferd
lahmt ab 0.1mg pro Liter Blut nicht mehr. Der Wirkstoff wird im Organismus mit
einer Halbwertszeit von 30h abgebaut.
(a) Bestimme die Zeitpunkte der ersten vier Verabreichungen, wobei die Zeitspannen zwischen den Gaben möglichst groß sein sollen.
(b) Die Dosieurung soll nun so angepasst werden, dass das Medikament alle 24h
verabreicht werden kann. Um wieviel mg pro Liter Blut muss in diesem Fall der
Wirkstoffgehalt pro Gabe ansteigen?
5. Sinus und Cosinus. Wiederholen Sie die Definition der Winkelfunktionen mit rechtwinkeligen Dreiecke im Einheitskreis und ihre Funktionsgraphen.
1
(a) Bestimmen Sie alle reellen x, für die cos x =
1
2
gilt.
(b) Bestimmen Sie alle x ∈ [π, 2π], für die cos x =
√
(c) Bestimmen Sie alle x ∈ [0, π], für die sin x =
1
2
2
2
(d) Bestimmen Sie alle x ∈ [−2π, 0], für die sin x =
gilt.
gilt.
√
3
2
gilt.
6. Sinus- und Cosinussatz.
(a) Von einem Dreieck sind c = 12, α =
übrigen Seiten und Winkel.
π
,
6
β =
4π
6
gegeben. Berechnen Sie die
(b) Von einem Dreieck sind a = 18, b = 17, c = 8 bekannt. Berechnen Sie die
Winkel!
7. Paralleogrammgleichung. Zeigen Sie, dass in einem Parallelogramm die Summe der
Quadrate der Seitenlängen gleich der Summe der Quadrate der Längen der Diagonalen ist.
Erste Beweise
8. Aus dem Augabenpool des BIFIE http://aufgabenpool.bifie.at/
Gegeben sind reelle Zahlen a ∈ (1, 4) und b ∈ ( 14 , 21 ). Beweisen Sie, dass
liegt. Argumentieren Sie schriftlich.
1
ab
in ( 12 , 4)
9. Die Summe ungerader und gerader Zahlen.
Beweisen Sie, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist.
Hinweis: Eine ungerade Zahl a lässt sich als a = 2k + 1 für ein passenden ganzes k
schreiben.
10. Indirekter Beweis. Beweisen Sie, dass es keine ganzen Zahlen a und b gibt, sodass
1002a + 3003b = 100000007
gilt.
Hinweis: Gehen Sie indirekt vor indem Sie anehmen, dass es solche Zahlen gibt. Dann
finden Sie einen Teiler der linken Seite der Gleichung, der die rechte Seite nicht teilt.
Indizes, Summen- und Produktzeichen, Induktion
11. Summen- und Produktschreibweise 1. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe
von Summen- bzw. Produktzeichen:
(a) 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
2
(b) b4 + b5 + b6 + b7 + b8
(c) x4 + x9 + x16 + x25 + x36
(d) 6 · 9 · 12 · 15 · · · (3m)
(e) 1 − 3 + 5 − 7 + 9 − 11 + 13 − 15 + 17
12. Summen- und Produktschreibweise 2. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne
Verwendung der Summen- bzw. Produktzeichen an:
(a)
(b)
P4
2k−2
k=1 2
P0
k=−3 b−k m
(d)
(e)
Q4
i
i=2 ij k
P3 P3
j=1
k=2 (jk
+ 1)
13. Summen- und Produktschreibweise 3. Überprüfen Sie, welche der folgenden Gleichungen gelten. Sollten Sie in einer Gleichung einen Fehler finden, so stellen Sie die
rechte Seite richtig.
(a)
5
X
bi =
i=0
(b)
k−1
X
5
X
bk
(d)
k=0
(bi − bi−1 ) = bk − b0
n
X
t2i−1 =
i=1
(e)
i=1
(c)
n
X
n
X
k=0
2n+1
1 X
(−1)j − 1 y 2j
2 j=0
t2i+1
j=0
2j
m =
2n
X
(f) (log 5)
r
m −
n
X
n
X
m2s+1
s=1
r=0
j=0
y 2k+1 = −
n−1
X
cj = log
j=0
n
Y
5ci
i=0
14. Summen- und Produktschreibweise 4. Überprüfen Sie, welche der folgenden Gleichungen gelten. Sollten Sie in einer Gleichung einen Fehler finden, so stellen Sie die
rechte Seite richtig.
(a)
5
X
a = 5a
(e)
i=0
(b)
5
X
n−1 X
n
X
a = n2 a
k=0 j=1
3
X
m=3 n=1
n=
5
X
(f)
n
n X
n
X
k=0 j=0
n=1
j k−j
ab
=
n X
n
X
al bm−l
l=0 m=0
15. Vollständige Induktion. Beweisen Sie folgende Aussagen für alle angegebenen n ∈ N:
(a)
n
X
k=0
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
für n ≥ 1
3
(b) 2n > n2 , für n ≥ 5
n
Y
(c)
(1 − k1 ) = n1 , für 2 ≤ n ∈ N
k=2
16. Pizzaschnitten. Beweisen Sie, dass sich eine Pizza durch n geradlinige Schnitte, die
von Rand zu Rand verlaufen, in höchstens 21 (n2 + n + 2) Stücke teilen lässt.
17. Jemand behauptet er habe den Induktionsschritt für
1
1 + 2 + 3 + · · · + n = (2n + 1)2
8
nachgerechnet und deshalb stimme diese Formel. Ist es möglich, dass er tatsächlich
den Induktionsschritt nachrechnen konnte? Stimmt die Formel? Falls nein: Warum
ist die Formel trotz nachgerechnetem Induktionsschritt falsch?
18. Bernoullische Ungleichung. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
(1 + x)n ≥ 1 + nx
für alle x ≥ −1 und n ≥ 1 gilt.
Differenzieren und Kurvendiskussion
19. Differenzieren 1. Differenzieren Sie nach der angegebenen Variable.
(a) p(x) =
n
X
(e) x(z) = cos(tan z)
dy
(f) g(y) = d
y
(g) h(x) = xx
ak x2k+1
k=0
√
(1 + x)2
√
(b) f (x) =
x− x
20. Kurvendiskussion 1. Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen, lineare Asymptoten, Extremwerte, Monotonie- und Krümmungsbereiche sowie Wendepunkte. Skizzieren Sie
den Graphen in einem vernünftig” gewählten Bereich:
”
x3
f : R \ {−4, 4} → R, f (x) = 2
.
x − 16
21. Kurvendiskussion 2. Der Graph der Funktion
x2 + ax + b
f (x) =
x−5
f :R→R
hat in P = (0, − 59 ) die Steigung k = 16
. Ermitteln Sie die Koeffizienten a, und b,
25
diskutieren Sie die Funktion und skizzieren Sie den Graphen in [−4, 12].
4
22. Textaufgabe (Weg, Zeit, Beschleunigung).
(a) Eine Kuh bricht aus der Koppel aus und läuft mit 4m/s an einem Cowboy vorbei,
der neben seinem angebundenen Quarter Horse auf dem Zaun sitzt. Er will der
Kuh hinterherreiten und sie einfangen. Um sein Pferd loszubinden und aufzusteigen braucht er 3 Sekunden. Das Pferd schafft es, bei konstanter Beschleunigung
aus dem Stand in 4,5 Sekunden eine Geschwindigkeit von 64.8km/h = 18m/s
zu erreichen. Nach wieviel Metern holt er die Kuh ein? Wie schnell galoppiert
das Pferd zu diesem Zeitpunkt? Welche Beschleunigung in m/s2 hat das Pferd?
Skizzieren Sie Funktionsgraphen, um den Lösungsweg zu veranschaulichen.
(b) Erklären Sie anhand des Differentialquotienten, warum die Beschleunigung in
m/s2 angegeben wird, wenn von Weg-Zeit-Funktionen ausgegangen wird, bei denen Werte in Sekundeneinheiten Werten in Metereinheiten zugeordnet werden.
Mengen, Relationen
23. Mengenoperationen konkret. Gegeben sind X = {3, 6, 9, 12}, Y = {6, 12, 18, 24},
Z = {3, 9, 15, 21}. Bestimmen Sie:
(a) (X\Y ) ∪ Z
(d) X ∪ (Y \Z)
(b) (X ∪ Y )\(Y ∪ Z)
(e) (Y ∪ X)\(X ∩ Z)
24. Beweis mit Mengen. Welche der Relationen, , !, = führt zwischen den folgenden
Mengen zu einer wahren Aussage? Beweisen Sie diese.
{(x, y) ∈ N2 : 3|x und 3|y} . . . {(x, y) ∈ N2 : 9|xy}.
Hinweis: Notationen sind in der Mathematik nicht immer einheitlich. Wir verwenden
das Symbol ⊂, um eine beliebige Teilmenge, und , um eine echte Teilmenge zu
bezeichnen. Manche Mathematiker/innen schreiben hingegen ⊂ für echte und ⊆ für
beliebige Teilmengen. Innerhalb der Mengenklammern wird wahlweise das Symbol “:”
und das Symbol “|” verwendet und als “für die gilt:” gelesen. Wird das Symbol “|” an
derselben Stelle für die Teilrrelation verwendet, wählt man besser den Doppelpunkt.
Wird hingegen der Doppelpunkt beispielsweise für Beschreibungen von Funktionen
innerhalb der Mengenklammern verwendet, empfiehlt es sich eher das Symbol “|” zu
verwenden.
25. Rechengesetze für Mengenoperationen 1. Zeigen Sie, dass für Teilmengen X, Y einer
Grundmenge M stets M \ (X ∪ Y ) = (M \ X) ∩ (M \ Y ) gilt.
26. Rechengesetze für Mengenoperationen 2. Zeigen Sie, dass für alle endlichen Mengen
A1 , A2 , A3 folgende Aussagen gelten:
5
(a) |A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 |
(b) |A1 ∪A2 ∪A3 | = |A1 |+|A2 |+|A3 |−|A1 ∩A2 |−|A2 ∩A3 |−|A1 ∩A3 |+|A1 ∩A2 ∩A3 |
27. Sei M = {0, 1, 2, 3}. Die folgende Tabelle soll eine Relation ∼ auf M beschreiben
(ähnlich wie Verknüpfungstabellen) - 0 bedeutet, dass zwei Elemente nicht zueinander in Relation stehen, 1 schon. Ergänzen Sie die fehlenden Einträge, sodass ∼ zu
einer Äquivalenzrelation wird.
∼
0
1
2
3
0 1 2 3
0
1
1
28. Äquivalenzrelation 1
Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen auf Z? Beweisen Sie ihre
Vermutungen, indem Sie entweder die Axiome einer Äquivalenzrelation überprüfern,
oder ein Gegenbeispiel finden, d.h. konkrete Zahlenwerte für x und y finden, welche
eines der Axiome verletzten.
(a) x ∼ y
: ⇐⇒
x−y =0
(b) x ∼ y
: ⇐⇒
3|(x − y)
29. Äquivalenzrelation 2. Wie Beispiel 28.
(a) x ∼ y
: ⇐⇒
xy > 2
(b) x ∼ y
: ⇐⇒
xy > 0 oder x = y
30. Äquivalenzrelation 3. Wie Beispiel 28, jedoch mit der Menge aller Menschen als
Grundmenge.
(a) x ∼ y
: ⇐⇒
x studiert seit gleich vielen Jahren in Wien wie y.
(b) x ∼ y
: ⇐⇒
x hat früher das Studium begonnen als y.
(c) x ∼ y
: ⇐⇒
x und y haben dieselbe Studienkennzahl.
31. Äquivalenzrelation 4. Bei einer Versuchsreihe werden 2 Messergebnisse als gleich betrachtet, wenn sie sich um weniger als 10−22 m unterscheiden. Definiert dieser Gleichheitsbegriff eine Äquivalenzrelation? Falls nicht, wie könnte man eine Äquivalenzrelation definieren, bei der Messwerte äquivalent sind, wenn sie numerisch in gewissem
Sinn annähernd gleich sind.
6
Ordnungseigenschaften, Betrag
32. Schranken konkret. Wir betrachten R mit der natürlichen Ordnung. Sind die folgenden Teilmengen von R nach oben bzw. nach unten beschränkt? Wenn ja, gib Infimum
bzw. Supremum an. Handelt es sich dabei jeweils um Minima oder Maxima?
(a) (−5, −3) ∪ [6, ∞)
\ 1
1
(d)
− ,1 +
n
n
n∈N
[
(e)
(−n, n)
(b) (−∞, 2] ∩ (1, ∞)
[ 1
1
(c)
− ,1 −
n
n
n∈N
n∈N
(f) ∅
33. Ordnungsaxiome. Auf einem Kirschenbaum sitzt Läusefamilie L. Für zwei Mitglieder
x und y der Familie schreiben wir x ; y, wenn x zu y nur durch krabbeln bergauf
gelangen kann. Ist (L, ;) eine partiell geordnete Menge? Ist das eine totale Ordnung?
Falls nein, wie müsste der Baum aussehen, damit wir eine totale Ordnung bekommen,
vorausgesetzt, das keine zwei Läuse auf derselben Höhe sitzen?
34. Betrag. Zeigen Sie für x, y ∈ R:
|x| − |y| ≤ min{|x − y|, |x + y|}.
35. Betragsungleichungen explizit. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen rechnerisch und stellen Sie sie graphisch dar:
(a) |x| + 2|y| ≥ 1
(b) |x| · |y| ≤ 1
36. Cauchyungleichung. Zeigen Sie für x, y ∈ R die Ungleichung
|xy| ≤
x2 + y 2
.
2
Komplexe Zahlen
2
37. Rechnen
mit komplexen
√ Zahlen 1. Bestimmen Sie die komplexen Zahlen 1/z, z und
√
z für (a) z = 1 + i 3 und (b) z = 1 + i und skizzieren Sie die Zahlen in der
Zahlenebene.
7
38. Rechnen mit komplexen Zahlen 2. Erklären Sie anschaulich, wie von zwei komplexen
Zahlen, die als Punkte in der Ebene gegeben sind, Produkt, Summe und Differenz
geometrisch bestimmt werden.
Erklären Sie das außerdem für n-te Potenzen und n-te Wurzeln von Zahlen, die auf
dem Einheitskreis liegen. Wie ist das, wenn die Zahlen innerhalb bzw. außerhalb des
Einheitskreises liegen.
39. Rechnen mit komplexen Zahlen 3. Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden Zahlen:
4+i
6−i
1 − 6i (b) 3+i (c) (6 + 4i)4
(a)
(d) i106
(e)
4326
X
in
n=1
40. Komplexe Nullstellen von Polynomen. Bestimmen Sie alle (auch die komplexen)
Nullstellen der Polynome
(a) p(x) = 2 + x + 2x2 + x3 ,
(b) p(x) = x3 − 3x2 + 4x − 12,
(c) p(z) = z 2 + (1 + i)z + i.
Wenn eine Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige Nullstelle hat,
wie kann diese durch Probieren gefunden werden?
8