Zwischenklausur: Grundlagen der Mathematik I

Technische Universität Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Wolfram Decker
Zwischenklausur: Grundlagen der Mathematik I
WS 2013/2014, Prof. Dr. W. Decker
am 14.12.2013
Aufgabe 1:
(i) Zeigen Sie: Für alle n ∈ N≥1 gilt
n
P
(2k − 1)2 =
k=1
2n+1
3
.
(3 Punkte)
(ii) Seien f : X → Y eine Abbildung von Mengen und A, B ⊂ X. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Geben Sie jeweils entweder eine Begründung oder ein
Gegenbeispiel an.
(a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
(2 Punkte)
(b) f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
(2 Punkte)
Aufgabe 2:
(i) Seien f : X → Y , g : Y → Z Abbildungen. Welche der folgenden Aussagen sind
wahr? Geben Sie jeweils entweder eine Begründung oder ein Gegenbeispiel an.
(a) g ◦ f surjektiv ⇒ g surjektiv.
(2 Punkte)
(b) g ◦ f surjektiv ⇒ f surjektiv.
(2 Punkte)
(ii) Zeigen Sie, dass durch
(x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) ⇔ |x1 | + |y1 | = |x2 | + |y2 |
eine Äquivalenzrelation auf R2 definiert ist.
(3 Punkte)
(iii) Zeichnen Sie in der Situation von (ii) alle Punkte in der Zahlenebene R2 ein, die zu
(−1, 1) äquivalent sind.
(1 Punkt)
Aufgabe 3:
√
√
(i) Zeigen Sie, dass die durch a0 := 2, an+1 := 2 + an für n ≥ 0 rekursiv definierte
Folge konvergiert. Bestimmen Sie den Grenzwert.
(4 Punkte)
(ii) Bestimmen Sie alle x ∈ R, für die die durch
2
n
2x + 3
an (x) :=
x4 + 4
definierte Folge konvergiert.
(2 Punkte)
(iii) Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Geben Sie jeweils entweder eine Begründung
oder ein Gegenbeispiel an.
(a) Sind (an )n∈N bzw. (bn )n∈N Folgen reeller Zahlen mit Häufungspunkten a bzw.
b, so ist a + b ein Häufungspunkt der Folge (an + bn )n∈N .
(1 Punkt)
1
(b) Ist (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen mit
lim an = lim an ,
so ist (an )n∈N konvergent.
(1 Punkt)
Aufgabe 4:
(i) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
∞ P
(−1)k
1
+
(a)
,
2
k
k
(b)
k=1
∞ P
k=1
1
k2
+
(−1)k
k
.
(1 Punkt)
(1 Punkt)
(ii) Geben Sie ein Beispiel für eine Folge (ak )k∈N≥1 an mit ak ≤ 0 für alle k ∈ N≥1 , so
∞
P
(−1)k ak divergiert.
(2 Punkte)
dass gilt lim ak = 0 und so dass
k→∞
(iii) Es seien
∞
P
k=1
ak eine Reihe und (bk )k∈N eine konvergente Folge reeller Zahlen. Welche
k=0
der folgenden Aussagen sind wahr? Geben Sie jeweils eine Begründung oder ein
Gegenbeispiel an.
(a)
∞
P
(b)
k=0
∞
P
ak absolut konvergent ⇒
∞
P
ak bk absolut konvergent
(2 Punkte)
k=0
ak konvergent ⇒
k=0
∞
P
ak bk konvergent.
(2 Punkte)
k=0
Aufgabe 5:
(i) Betrachten Sie die Funktion f : R → R, die jeder reellen Zahl x die eindeutig bestimmte Zahl n ∈ Z mit n ≤ x < n + 1 zuordnet. In welchen Punkten x ∈ R ist f
stetig? Begründen Sie Ihre Aussage!
(2 Punkte)
(ii) Ist die Funktion
f : R r {±1} → R, x 7→
x+1
x2 − 1
in +1 bzw. −1 stetig fortsetzbar? Begründen Sie Ihre Aussage!
(2 Punkte)
(iii) Zeigen Sie: Gibt es zu einer Funktion f : R → R eine Konstante L ∈ R>0 mit
|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|
für alle x, y ∈ R, so ist f stetig.
(2 Punkte)
(iv) Zeigen Sie: Sind a, b ∈ R mit a < b und f, g : [a, b] → R zwei stetige Funktionen mit
f (a) > g(a),
so gibt es ein ξ ∈]a, b[ mit f (ξ) = g(ξ).
f (b) < g(b),
(1 Punkt)
2