Aufgaben

Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE
3. Jahrgang HUM
4B Kosten-Änderungsrate
Die Gesamtkosten für die Produktion von x Stück einer Ware können durch die Funktionsgleichung
K(x) = x³ – 20x² + 200x + 1 000 ausgedrückt werden.
K(x) … Kosten in €
x … Menge in Stück
Die Firma erzeugt derzeit 6 Stück in der Woche.
Berechnen Sie, um wie viel sich die Gesamtkosten im Mittel pro zusätzlich erzeugtem Stück
verändern, wenn die wöchentliche Produktion um 1, 2, 4, Stück steigt.
Lösung: mittlere Änderungsraten berechnen
1 mehr:
2 mehr:
4 mehr:
Die wöchentlichen Kosten nehmen zu, …
wenn 1 Stück mehr als 6 erzeugt, im Mittel um 67 €
wenn 2 Stück mehr als 6 erzeugt werden, im Mittel um 68 € und
wenn 4 Stück mehr erzeugt werden, im Mittel um 76 € pro zusätzlich erzeugtem Stück.
4,B Wegänderungsraten … mittlere Geschwindigkeiten
Der Intercity fährt von Wien nach Bregenz und zwischen Innsbruck und Feldkirch mit folgenden
Abfahrtszeiten und Wegstrecken.
Ort
Kilometerstand ab Wien Abfahrtszeit
Innsbruck
572
11:54
Landeck
647
12:37
St. Anton
674
13:00
Bludenz
710
13:37
Feldkirch
731
13:49
Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit auf der gesamten Strecke und zwischen jeweils zwei
benachbarten Stationen.
Lösung:
= Δs/Δt
Gesamtstrecke (I–F):
≈ 83 km/h
I–L:
≈ 104,7 km/h
L–StA:
≈ 70,4 km/h
StA–B:
≈ 58,4 Km/h
B–F:
= 105 km/h
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3. Jahrgang HUM
4,B,D Erlösänderungsraten
Der Erlös aus dem Verkauf von Speiseöl kann mit der folgenden Funktionsgleichung dargestellt
werden:
E(x) = 10x – 0,05x²
E(x) … Erlös in €
x … Verkaufsmenge in Liter (l)
Die Firma verkauft 120 Liter pro Tag.
a) Berechnen Sie den Preis pro Liter.
b) Argumentieren Sie anhand einer entsprechenden Berechnung, ob sich bei einer
Verkaufssteigerung um 20 Liter pro Tag der Preis pro Liter erhöht.
Lösung:
a)
€/l
b) Δx = 20
Δp =
€/l
Oder man berechnet den neuen Preis:
€/l
Die Steigerung von 120 auf 140 l im Verkauf bewirkt im Mittel eine Verminderung des Preises um
1 € pro Liter.
Der Grund liegt bei den höheren Kosten der Produktion.
4 B, D Gewinn-Änderungsraten
Die Gewinnfunktion für Kraftfutter wird dargestellt durch die Funktionsgleichung:
G(x) = –0,01x² + 9x – 200
G(x) … Gewinn in €
x … verkaufte Menge in kg
Die Firma produziert 350 kg. Argumentieren Sie anhand einer entsprechenden Berechnung, ob man
der Firma eine Steigerung der Produktion um 10 kg empfehlen kann.
Lösung:
Δx = 10; ΔG = G(360) – G(350)= 1 744 – 1725 = 19
Man kann die Steigerung empfehlen, die mittlere Änderungsrate des Gewinns bei einer Steigerung
der Verkaufsmenge von 350 kg auf 360 kg beträgt 1,9 €/kg. Es ist daher zu empfehlen.
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3. Jahrgang HUM
4,B Evaluierung: Technik des Differenzierens 1: Potenzregel y = c · xn  y' = c · n · xn–1
Zettel zu zweit ausfüllen, anschließend Kontrolle in der Klasse.
Angabe
Lösung
Angabe
Lösung
y  x
y = x²
y' =
y' =
y = 4x³
y' =
y  2 x
y' =
y=x
y' =
y 
y' =
y = 5x
y' =
y  x3
y' =
y=3
y' =
y  7  x5
3
y' =
y = x–1
y' =
y 
L: 2x, 12x², 1, 5, 0,
x
2
5
7 4 x 3
8
L: 0,5x–0,5, x–0,5, 0,25x–0,5,
4,3,A,B Gateway-Arch
Tor zum Westen in St. Louis, Missouri (USA)
Die Entfernung der Bogen-Fußpunkte beträgt ca. 190 Meter.
Der höchste Punkt des Bogens liegt in einer Höhe von 192 m.
In grober Näherung kann man das Tor durch eine quadratische Funktion
mit f(x) = ax² + bx + c beschreiben.
f(x)… Koordinate in vertikaler Richtung in Meter (m)
x … Koordinate in waagrechter Richtung in Meter (m)
a) Zeigen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung, dass die
Funktionsgleichung für dieses Tor durch f(x) = –0,0213x² + 192 gegeben
ist, wenn die x-Achse des Koordinatensystems in der Verbindunglinie der
beiden Fußpunkte mit dem Ursprung in der Mitte liegt und die y-Achse
durch den höchsten Punkt des Bogens geht (s. Skizze).
b) Berechnen Sie, in welchem Winkel das Monument vom Boden aufsteigt.
Lösung:
a) Am höchsten Punkt hat die Kurve keine Steigung: f'(0) = 0
f'(x) = 2ax + b  f'(0) = b = 0
An der Stelle 0 hat die Funktion den Wert 192: f(0) = 192
f(0) = c = 192
Nullstelle bei x = 95: f(95) = 0
95² a + 192 = 0  a ≈ –0,0213
Gleichung der Funktion: f(x) = –0,0213x² + 192
b) f'(x) = –0,0426x
f'(–95) = 4,047  α = tan–1(4,047) ≈ 76,12°
Das Tor hat zu Beginn einen Steigungswinkel von 76,12°.
3
y' =
,
,
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4,3,A,B,C,D Gewinn
Der Gewinn, den man beim Verkauf einer bestimmten Ware macht, kann mit der Funktion G
beschrieben werden:
G(x) = –0,2x² + 200x – 11250.
G(x) … Gewinn in €
x … verkaufte Menge in kg
a) Geben Sie an, welcher der angegebenen Funktionsgraphen den Grenzgewinn G' darstellt.
Begründen Sie Ihre Ansicht und erklären Sie, warum der andere Graph nicht die richtige
Darstellung bietet.
Abb. 1
Abb. 2
b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Gewinnfunktion den Anstieg 0 hat.
Interpretieren Sie anhand des Graphen von G, was dieser Null-Anstieg an dieser Stelle bedeutet.
Lösung:
a) Der Grenzgewinn ist gegeben durch den Term G'(x) = –0,4x + 200.
Dies entspricht der fallenden Geraden von Abb. 1, k =
= –0,4; d = 200.
Abb. 2 passt nicht, weil es eine steigende Gerade mit
d = 0 ist.
b) Anstieg = 0 bedeutet, dass G'(x) = 0
–0,4x + 200 = 0  x =
= 500 kg
Der Graph von G hat an dieser Stelle eine waagrechte
Tangente, das bedeutet, dass die Funktion an dieser
Stelle den größten (oder den kleinsten) Funktionswert
gegenüber ihrer lokalen Umgebung hat.
4
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3. Jahrgang HUM
4,B Evaluierung: Technik des Differenzierens 2: Kettenregel
Zettel zu zweit ausfüllen, anschließend Kontrolle in der Klasse.
Angabe
y = (x – 2)²
Lösung
y' =
Angabe
y  x4
Lösung
y' =
y = 4 ∙ (x + 5)³
y' =
y  2  2x  x³
y' =
x 3 x
2
y' =
y
 2 x 2
5
3
y
y' =
L: 2 ∙ (x – 2), 12 ∙ (x + 5)²,
,
5
5
0,5 ∙ (x + 4)–0,5, (2x – x³)–0,5 · (2 – 3x²),
4 B,C Nachfrage Saftpackung
Der Zusammenhang zwischen dem Preis p einer Packung Fruchtsaft und der Anzahl x der in einem
Supermarkt in einer Woche verkauften Saftpackungen, kann durch die folgenden Beziehung
ausgedrückt werden:
x … Anzahl verkaufter Saftpackungen in einer Woche (Nachfrage)
p … Stückpreis in €/Stk.
Der Preis pro Packung beträgt momentan 2,50 € und soll um 10 Cent erhöht werden.
Interpretieren Sie mit Hilfe der Differentialrechnung, wie sich dadurch die Nachfrage x verändert.
Lösung:
x(p) = 100 000 · (p + 5)–1
x'(p) = –100 000 (p + 5)–2
x'(2,5)  –1777,78 … ist die momentane Änderungsrate pro Euro
Die Bei Erhöhung des Preises um 0,1 Euro werden 178 Packungen weniger nachgefragt.
x'(2,5) ist die momentane Änderungsrate bei einem Preis von 2,50 €. Für die mittlere Änderungsrate
im Intervall [2,50; 2,60] ist das nur ein Näherungswert. Die exakte Berechnung würde ergeben:
absolute Änderung der Nachfrage im Intervall [2,50; 2,60]:
mittlere Änderungsrate pro Euro im Intervall [2,50; 2,60]:
5
Stk.
Stk./€
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4 A, B,C Nachfrage Weinflaschen
Die Preis-Absatz-Funktion für Weinflaschen in einem Supermarkt lässt sich durch die folgende
Gleichung ausdrücken:
und
p … Stückpreis der Flaschen
x … Zahl der täglich verkauften Flaschen
Der Preis beträgt bei 120 verkauften Flaschen 2,5 €/Stk., bei 165 verkauften Flaschen kann man die
Flasche um 2 €/Stk. abgeben.
a) Stellen Sie die Gleichung der Preis-Absatz-Funktion auf.
b) Wie groß ist die momentane Änderung des Preises bei einem Absatz von 120 Flaschen?
c) Argumentieren Sie mit Hilfe der momentanen Änderungsrate, wie sich der Preis verändert, wenn
sich der Absatz um 1 bzw. um 10 Flaschen vergrößert.
Lösung:
a)




Lösung dieses Gleichungssystems: a = –0,05 und b = 12,25 
b) p'(x) = 0,5 · (–0,05x + 12,25)–0,5 · (–0,05) = –0,025 ∙ (–0,05x + 12,25)–0,5
p'(120) = –0,01 €/Stk.
c) Der Stückpreis verringert sich beim Verkauf von 121 Flaschen um 1 Cent. Bei 10 Flaschen
verringert sich der Stückpreis um 10 Cent.
4,B Evaluierung: Technik des Differenzierens 3: Produktregel
Zettel zu zweit ausfüllen, anschließend Kontrolle in der Klasse.
Angabe
y = x · ex
Lösung
y' =
Angabe
y=
Lösung
y' =
y = 2x² · ln(x)
y' =
y=
y' =
y = x³ ·
y' =
y=
y' =
L links: ex + x · ex, 4x · ln(x) + 2x,
L rechts: 3 · x² · e2x + x³ · 2· e2x, 0,25 · (2 + ln(x)·2),
6
1,5 · x 0,5 · ex + x1,5 · ex
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4, B,C,D Medikament
Die Konzentration eines Medikaments im Blutkreislauf ist nach der Einnahme durch die Formel
gegeben:
c(t) =
c … Konzentration in mg/Liter Blut
t … Zeitdauer in Stunden (h)
a) Stellen Sie die Funktion grafisch dar und interpretieren Sie deren Verlauf in Bezug auf die
Monotonie)
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung genau, bis zu welchem Zeitpunkt die
Konzentration zunimmt und in welchem Zeitintervall sie abnimmt.
a)
Die Konzentration nimmt zu Beginn schnell
zu und nimmt dann allmählich ab.
Bis ungefähr t = 2h ist die Funktion monoton
steigend, ab 2h monoton fallend.
b) c‘ (t) =
Zunahme: c‘ > 0 Abnahme: c‘ < 0
Berechnung c‘ = 0 Technologieeinsatz: t = 2,12 h also nach 2 Stunden und ca. 7 Minuten.
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