Bonuszettel

Prof. Dr. Angela Kunoth
Christian Mollet
Numerik I
SS 2015
Bonuszettel
Ausgabe: 29.06.2015
Abgabe: Montag, 06.07.2015 bis 12:00 Uhr
Die folgenden Aufgaben sind zusätzliche Bonusaufgaben. Sie sind freiwillig und werden nur korrigiert, wenn
noch Punkte zur Klausurzulassung benötigt werden. Die Aufgaben sollen als Klausurvorbereitung dienen.
Aufgabe B1: (5 Punkte)
Es ist jeweils nur eine Antwort richtig.
1. Welche der folgenden Aussagen über die Kondition ist korrekt?
Die Multiplikation zweier reeller Zahlen ist gut konditioniert und die Addition zweier reeller
Zahlen mit gegensätzlichem Vorzeichen ist ebenfalls gut konditioniert.
Die Multiplikation zweier reeller Zahlen ist gut konditioniert und die Addition zweier reeller
Zahlen mit gegensätzlichem Vorzeichen ist schlecht konditioniert.
Die Multiplikation zweier reeller Zahlen mit gegensätzlichem Vorzeichen ist schlecht konditioniert und die Addition zweier reeller Zahlen ist stets gut konditioniert.
Die Multiplikation zweier reeller Zahlen mit gegensätzlichem Vorzeichen ist schlecht konditioniert und die Addition zweier reeller Zahlen mit gegensätzlichem Vorzeichen ist ebenfalls
schlecht konditioniert.
2. Wovon ist die Maschinengenauigkeit (double precision) abhängig?
Von der Länge der Mantisse
Von der Größe des Exponenten
Von der kleinsten darstellbaren Zahl
Von der größten darstellbaren Zahl
3. Wie lässt sich die relative Maschinengenauigkeit bestimmen? (fl bezeichne die Standardrundung)
min{δ > 1 : fl(δ) > 0}
min{δ > 0 : fl(1 + δ) > 0}
min{δ > 0 : fl(δ) > 1}
min{δ > 0 : fl(1 + δ) > 1}
4. Wie lässt sich das Vorgehen bei der QR-Zerlegung einer Matrix A am besten beschreiben?
Man transformiert A durch sukzessive Multiplikation mit geeigneten Orthogonalmatrizen auf ein
Vielfaches der Einheitsmatrix.
Man transformiert A durch sukzessive Multiplikation mit geeigneten Orthogonalmatrizen auf die
Gestalt einer Givensmatrix.
Man transformiert A durch sukzessive Multiplikation mit geeigneten Orthogonalmatrizen auf die
Gestalt einer oberen Dreiecksmatrix.
Man transformiert A durch sukzessive Multiplikation mit geeigneten Orthogonalmatrizen auf die
Gestalt einer Householder-Matrix.
5. Welche Komplexität hat die QR-Zerlegung einer Matrix A ∈ Rn×n ?
O(log n)
O(n)
O(n2 )
O(n3 )
6. Betrachten Sie das lineare Ausgleichsproblem min x∈Rn kAx − bk2 mit b ∈ Rm und A ∈ Rm×n , wobei m ≤ n.
Wie lässt sich die/eine Lösung des Ausgleichsproblems bestimmen?
Durch Lösen des Gleichungssystems AT x = AT b
Durch Lösen des Gleichungssystems Ax = AT b
Durch Lösen des Gleichungssystems AT Ax = b
Durch Lösen des Gleichungssystems AT Ax = AT b
7. Wie lässt sich die Pseudoinverse einer Matrix A ∈ Rm×n , m ≥ n, mit Rang A = n bestimmen?
A+ = (AT A)−1 A
A+ = (AAT )−1 A
A+ = (AT A)−1 AT
A+ = (AAT )−1 AT
8. Betrachten Sie das Interpolationsproblem, ein Polynom Pn vom Grad n ∈ N zu finden, welches zu gegebenen Stützstellen x0 < x1 < · · · < xn und Stützwerten f0 , f1 , . . . , fn die Bedingungen Pn (xi ) = fi für i = 0, . . . , n
erfüllt. Welche Aussage ist korrekt?
Das Interpolationspolynom ist sowohl in der Newton- wie auch in der Lagrange-Darstellung
eindeutig.
Das Interpolationspolynom ist nicht immer eindeutig.
Die Lagrange-Darstellung des Interpolationspolynoms kann sich von der monomialen Darstellung unterscheiden.
Die Lagrange-Darstellung des Interpolationspolynoms unterscheidet sich immer von der
Newton-Darstellung.
9. Welche Dimension hat der Splineraum
S k,∆ := {S ∈ Ck−2 ([a, b]) : S [τ ,τ
i i+1 )
∈ Πk für alle i = 0, . . . , `}?
Hierbei bezeichne Πk den Raum der Polynome der Ordnung k und {τi }i=0,...,`+1 paarweise verschiedene
Knoten.
dim S k,∆ = k
dim S k,∆ = `
dim S k,∆ = ` + 2
dim S k,∆ = k + `
10. Welche der folgenden Aussagen über B–Splines ist falsch?
Haben globalen Träger
Bilden eine Basis des Splineraums
Sind nicht negativ
Bilden eine Zerlegung der Eins
Aufgabe B2: (3 Punkte)
Bestimmen Sie die QR-Zerlegung der Matrix

1

A := 2

2
mittels Householder-Reflektionen.
1
−3
4

2 

0 

−4
Aufgabe B3: (6 Punkte)
Gegeben sei ein Hilbertraum mit Skalarprodukt h·, ·i : V × V → R und der dadurch induzierten Norm k·k :=
√
h·, ·i. Sei Un ⊂ V ein n-dimensionaler Unterraum von V und v ∈ V fest.
a) Zeigen Sie:
Für un ∈ Un ist
kun − vk = min ku − vk
u∈Un
äquivalent zu
hun − v, ui = 0
für alle u ∈ Un .
b) Zeigen Sie:
Falls {ϕ1 , . . . , ϕn } eine Orthonormalbasis von Un ist, so hat jedes u ∈ Un eine eindeutige Darstellung der
Form
n D
X
E
u=
u, ϕ j ϕ j .
j=1
c) Zeigen Sie:
Sei {ϕ1 , . . . , ϕn } eine Orthonormalbasis von Un ⊂ V. Für jedes v ∈ V löst dann
un :=
n D
X
E
v, ϕ j ϕ j
∈ Un
j=1
das Minimierungsproblem
kun − vk = min ku − vk .
u∈Un
Aufgabe B4: (6 Punkte)
a) Seien x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn reelle Zahlen. Die Matrix

1 x0
1 x
1

Vn :=  . .
 .. ..

1 xn

x0n 

x1n 

.. 
. 

xnn
···
···
···
nennt man Vandermonde-Matrix. Zeigen Sie, dass für ihre Determinante gilt:
det Vn =
n Y
n
Y
(x j − xi ).
i=0 j=i+1
b) Sei Pn der Raum der Polynome vom Grad n mit Basis {x j : j = 0, . . . , n} bestehend aus den Monomen bis
zum Grad n. Zeigen Sie unter Benutzung von Aufgabenteil a), dass die Lagrange-Interpolationsaufgabe
g(xi ) = fi ,
bezüglich gegebener Stützstellen x0 < x1 < · · · < xn und Daten f0 , . . . , fn eine eindeutige Lösung besitzt.
c) Sei q : R2 → R ein Polynom der Form
q(x, y) :=
n X
m
X
ai, j xi y j ,
i=0 j=0
welches die Lagrange-Interpolationsaufgabe in zwei Raumdimensionen
q(xν , yµ ) = fν,µ
für alle ν = 0, . . . , n und µ = 0, . . . , m löst, wobei auch hier die Stützstellen (xν , yµ ) jeweils verschieden
und die Daten fν,µ für alle ν = 0, . . . , n, µ = 0, . . . , m gegeben sind. Zeigen Sie, dass die Koeffizienten ai, j
eindeutig bestimmt sind.