Document

Seminar:
„Problem Solving Strategies“
SS 2005
Induktion
Referent: Thorsten Weidenfeller
24.05.2005
Gliederung
z
Geschichtliches
z
z
z
Franciscus Maurolicus, Blaise Pascal, Augustus de Morgan
Peano Axiome
Grundlagen
z
z
Begriffe zur Induktion
Arten der Induktion
z
Vollstä
Vollständige Induktion
z
Transfinite Induktion
z
z
z
Geometrie
z
z
z
n-te Ableitung von f(x)
Algebra
z
z
Winkelsumme
Analysis
z
Matrizen
Zahlentheorie
z
Teilbarkeit
Fazit / Anmerkungen
z
Gegenbeispiel
z
z
Beispiel: Fibonacci Zahlen
Beispiele
z
z
Beispiel: Primfaktorzerlegung
Wohlfundierte Induktion
z
z
Beispiel: Franciscus Maurolicus
Socken im Koffer
Literaturangaben
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Geschichtliches (1)
z
z
z
z
z
z
Der erste Mathematiker, der einen formalen
Beweis durch vollständige Induktion angab, war
der italienische Geistliche Franciscus Maurolicus
(16.9.1494 - 22.7.1575).
Er war Abt von Messina und wurde als größter
Geometer des 16. Jahrhunderts angesehen.
In seinem 1575 veröffentlichten Buch Arithmetik
benutzte Maurolicus die vollständige Induktion
unter anderem dazu, für jede
positive ganze Zahl n die Gültigkeit von
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n*n
zu beweisen. Die Induktionsbeweise von
Maurolicus waren in einem knappen Stil
geschrieben, dem man nur schwer folgen kann.
Vollständige Induktion von Prof. Dr. rer. nat. Udo Hebisch [TU Freiberg]
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Geschichtliches (2)
z
z
z
Eine bessere Darstellung dieser
Methode wurde von dem
französischen Mathematiker Blaise
Pascal (19.6.1623 – 19.8.1662)
angegeben.
In seinem 1662 erschienen Buch
Traite du Triangle Arithmetique bewies
er eine Formel über die Summe von
Binomialkoeffizienten mittels
vollständiger Induktion.
Er benutzte diese Formel dann um
das heute nach ihm benannte
Pascalsche Dreieck zu entwickeln.
Vollständige Induktion von Prof. Dr. rer. nat. Udo Hebisch [TU Freiberg]
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Geschichtliches (3)
z
z
z
z
Obwohl die Methode der vollständigen
Induktion also bereits 1575 bekannt war,
wurde der Name dafür erst 1838 erstmalig
gebraucht.
In jenem Jahr veröffentlichte Augustus de
Morgan (27.6.1806 – 18.3.1871),
18.3.1871) einer der
Begründer der Mengenlehre, den Artikel
Induction (Mathematics) in der Londoner
Zeitschrift "Penny Cyclopedia".
Am Ende dieses Artikels benutzte er den
Namen für die vollständige Induktion
erstmals im heute üblichen Sinn.
Jedoch fand diese Bezeichnung erst in
unserem Jahrhundert ihre weite Verbreitung.
Vollständige Induktion von Prof. Dr. rer. nat. Udo Hebisch [TU Freiberg]
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Geschichtliches (4)
z
z
z
z
Giuseppe Peano (* 27. August 1858 in
Spinetta, Piemont; † 20. April 1932) war
ein italienischer Mathematiker.
Er arbeitete in Turin und befasste sich mit
mathematischer Logik, mit der Axiomatik
der natürlichen Zahlen (Entwicklung der
Peano-Axiome) und mit
Differentialgleichungen erster Ordnung.
Auf dem Gebiet der näherungsweisen
Berechnung von Integralen fand er das
Restglied der Simpsonregel.
Peano schlug die internationale Sprache
Latino sine flexione vor, die später mehr
oder minder in Interlingua aufging.
http://de.wikipedia.org
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Peano - Axiome
(1) 0
ist eine natürliche Zahl
(2) Jede natürliche Zahl n besitzt genau eine
natürliche Zahl n' als Nachfolger
(3) 0 ist nicht Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl
(4) Zwei verschiedene natürliche Zahlen n und m
besitzen stets verschiedene Nachfolger n' und m'
(5) Enthält eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder
natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n',
so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen. (Ist X
dabei selbst eine Teilmenge der natürlichen
Zahlen, dann ist X gleich der Menge der
natürlichen Zahlen.)
Æ [Induktionsaxiom]
http://de.wikipedia.org
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Peano‘s Induktionsaxiom
(5) Enthält eine Menge X die Zahl 0
und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets
deren Nachfolger n',
so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen.
∀X Menge : Falls 0 ∈ X , und
∀n ∈ : n ∈ X ⎯⎯
→ n + 1∈ X
so ∀n ∈ : n ∈ X
SofronieSofronie-Stokkermans Viorica;
Viorica; Diskrete Strukturen und Logik (Vorlesungsskript)
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Begriffe
Behauptung
z Induktionsanfang
z Induktionsvorrausetzung
z Induktionsbehauptung
z Induktionsschritt /schluss
z
Die zu beweisende Aussage
Beweis für Minimal Element(e)
der Menge direkt zeigen
Behauptung für die ersten (n)
Elemente als gültig betrachten
Gültigkeit auch für nächst
größeres Element (n+1)
Aus der Gültigkeit für (n) auf die
Gültigkeit für das nächst größere
Element (n+1) schließen
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Arten der Induktion
z
Vollständige Induktion
z
z
Transfinite Induktion
z
z
Gilt P(0) und folgt aus P(x) immer P(x+1),
so gilt P für alle Zahlen
Gilt P(0) und folgt aus P(0),P(1),…,P(x)
immer P(x+1), so gilt P für alle Zahlen
Wohlfundierte Induktion
z
Folgt P(x) wenn P(y) für alle x ≺ y gilt, so
gilt P für alle Elemente
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Vollständige Induktion
Behauptung
z Induktionsanfang
z Induktionsvorrausetzung
z Induktionsbehauptung
z Induktionsschritt /schluss
z
f(n)
f(1)
f(n)
f(n+1)
Aus f(n)
Gültigkeit auf
f(n+1)
„vererben“
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Vollständige Induktion: Beispiel
Der Beweis von Franciscus Maurolicus:
Behauptung:
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n ⋅ n
n
Äquivalenzumformung:
⇔ ∑ 2i-1= n ⋅ n
0
Induktionsanfang:
i=1
∑ 2i-1 = 0 = 0 ⋅ 0
i=1
n+1
Induktionsbehauptung:
∑ 2i-1 = (n+1) ⋅ (n+1)
!
i=1
⎛ n
⎞
2i-1 = ⎜ ∑ 2i-1⎟ + 2(n + 1) − 1
∑
i=1
⎝ i=1
⎠
= n ⋅ n+2(n+1)-1=n ⋅ n+2n+2-1=n 2 +2n+1
n+1
Induktionsvorrausetzung:
Induktionsschluss:
Binomische Formel:
= (n+1) ⋅ (n + 1)
q.e.d.
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Tranfinite Induktion
Behauptung
z Induktionsanfang
z Induktionsvorrausetzung
z Induktionsbehauptung
z Induktionsschritt /schluss
z
f(x)
f(1)
f(x) ∀ x<m
f(m)
Aus f(1),f(2),f(3),
f(4),…,f(m-1)
Gültigkeit auf
f(m) „vererben“
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Transfinite Induktion: Beispiel
Behauptung:
Jede natürliche Zahl n >1 ist als Produkt
von Primzahlen darstellbar
Induktionsanfang:
n=2 ist Primzahl, Darstellung trivial
Induktionsbehauptung:
Behauptung gelte
∀k ∈
2≤k ≤n
Behauptung gelte für n+1
Fallunterscheidung:
1. Fall:
n+1 ist Primzahl, Darstellung trivial
2. Fall:
n+1 keine Primzahl, dann ist n+1
zusammengesetzt aus: n+1 = a* b
Induktionsvorrausetzung:
Da a,b < n+1 folgt aus der Vorraussetzung:
2 ≤ a, b ≤ n
dass a,b als Produkt von Primzahlen
darstellbar sind!
Induktionsschluss:
Damit ist auch n+1=a*b als Produkt von
Primzahlen darstellbar
Thorsten Weidenfeller
q.e.d. © www.thweidenfeller.de
Wohlfundierte Induktion (1)
Wohlfundierte Induktion ist eine Induktion über Wohlordnungen.
Definition:
≺ ⊆ S × S heißt Wohlordnung, falls gilt:
1.
≺
ist transitiv
(a ≺ b) ∈ S ∧ (b ≺ c) ∈ S ⇒ (a ≺ c) ∈ S
2.
≺
ist asymmetrisch
(a ≺ b) ∈ S ⇒ (b ≺ a ) ∉ S
3. Jede absteigende Folge
xi +1 ≺ xi ... ≺ x2 ≺ x1
bricht ab
d.h. es gibt ein Minimales Element
Prof. Dr. Mila MajsterMajster-Cederbaum;
Cederbaum; Programmiersprachen (Teil 8)
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Wohlfundierte Induktion (2)
S:
(x ≺ d )
x
( d ≺ e) ⇒ ( x ≺ e)
d
a
( x ≺ a)
b
c
( a ≺ b) ⇒ ( x ≺ b)
e
(a ≺ c) ⇒ ( x ≺ c)
f
(c ≺ f ) ⇒ ( a ≺ f ) ⇒ ( x ≺ f )
Wurzel:
min(S) = x
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Wohlfundierte Induktion (3)
Sei ( S , ≺ ) eine wohlfundierte Menge und ϕ ( s ) ∀s ∈ S die zu
beweisende Eigenschaft der Menge S, so gilt für die wohlfundierte
Induktion:
Behauptung
z Induktionsanfang
z Induktionsvorraussetzung
z Induktionsbehauptung
z Induktionsschritt /schluss
z
ϕ ( s ) ∀s ∈ S
ϕ (a) für a = min( S ) (Wurzel )
∀r ∈ S : r ≺ s ⇒ ϕ (r )
ϕ (r ) gilt für r ≺ s ⇒ ϕ ( s )
Von ∀r ∈ S : r ≺ s ⇒ ϕ (r )
Gültigkeit auf ϕ ( s ) „vererben“
∀s ∈ S (∀r ∈ S : r ≺ s ⇒ ϕ (r )) ⇒ ϕ ( s ))
Prof. Dr. Mila MajsterMajster-Cederbaum;
Cederbaum; Programmiersprachen (Teil 8)
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Wohlfundierte Induktion: Beispiel (1)
Vorab: Für das folgende Beispiel wird die Lösung der
quadratischen Gleichung: x 2 − x − 1 = 0 benötigt.
Die Lösung der Gleichung ist:
φ=
5 +1
2
Diese Zahl hat die Eigenschaft,
dass: 2
φ = φ +1
und
1
= φ −1
φ
Anmerkung: Diese Zahl als Goldener Schnitt bezeichnet.
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Wohlfundierte Induktion: Beispiel (2)
Sei φ =
Behauptung:
5 +1
1
mit φ 2 = φ + 1 ∧ = φ − 1
2
φ
fib(n) = a ⋅ φ n + b ⋅ (−φ ) − n wobei
⎛
⎛1⎞ ⎞
a
b
a
φ
b
+
=
1
∧
⋅
+
⋅
(
) ⎜
⎜ ⎟ = 1⎟
⎝φ ⎠ ⎠
⎝
Sei S die Menge der Zahlen n für die dies gilt
und x ≺ y ⇔ x < y
Induktionsanfang:
0 ∈ S ⇒ fib(0) = a ⋅ φ 0 + b ⋅ (−φ ) −0 = a ⋅1 + b ⋅1 = 1
⎛ 1 ⎞
1 ∈ S ⇒ fib(1) = a ⋅ φ 1 + b ⋅ (−φ ) −1= a ⋅ φ + b ⋅ ⎜ ⎟
⎝ −φ ⎠
⎛1⎞
= a ⋅φ − b ⋅ ⎜ ⎟ = 1
⎝φ ⎠
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de
Wohlfundierte Induktion: Beispiel (3)
Induktionsbehauptung:
∀n ≥ 2 : fib(n) = a ⋅ φ n + b ⋅ (−φ ) − n wobei
fib(a ) = a ⋅ φ a + b ⋅ (−φ ) − a ∀a < n gelte.
fib(n) = fib(n − 1) + fib(n − 2)
Induktionsvorrausetzung:
= ( a ⋅ φ n −1 + b ⋅ (−φ ) − n +1 ) + ( a ⋅ φ n − 2 + b ⋅ (−φ ) − n + 2 )
= a ⋅ φ n (φ −1 + φ −2 ) + b ⋅ (−φ ) − n ((−φ )1 + (−φ ) 2 )
?
?
© Thorsten Weidenfeller
www.thweidenfeller.de