Elementare Zahlentheorie Musterlösungen Zettel 9 Aufgabe 1. a

Elementare Zahlentheorie
Musterlösungen Zettel 9
Aufgabe 1.
N
a) Sei n ∈ mit n2 + (n + 1)2 = (n + 2)2 . Zu zeigen ist n = 3. Ausmultiplizieren ergibt
2n2 + 2n + 1 = n2 + 4n + 4 ⇐⇒ n2 − 2n = 3 ⇐⇒ n(n − 2) = 3.
Da 3 eine Primzahl ist, folgt n = 3.
b) Sei n ∈
N mit n + (n + 1) = 2n + 1 = x2 für ein x ∈ N. Dann gilt:
n2 + x2 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .
Also gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit der geforderten Eigenschaft,
da (n, x, n + 1) ein pythagoräisches Tripel bildet.
Aufgabe 2.
a) Betrachte die Gleichung modulo 4. Jedes Quadrat ist entweder kongruent
zu 0 oder 1 modulo 4, also ist die Differenz zweier Quadrate kongruent zu
0, 1 oder 3 modulo 4, aber niemals zu 2, so wie die rechte Seite. Es gibt
also keine Lösung.
N
N
b) Sei n ∈ ungerade und n = a · b eine Faktorisierung mit a, b ∈ . Dann
.
sind auch a und b ungerade,
also ist a + b gerade und x := a+b
2 ∈
a−b 2
2
Definiere dann y := 2 , dann folgt n = a · b = (x + y) · (x − y) = x − y .
Ist umgekehrt n Differenz zweier Quadrate, dann folgt n = (x+ y)·(x− y)
ist Faktorisierung wie oben.
Z
Nach einer früheren Aufgabe folgt: Falls n kein Quadrat ist, dann ist d(n)
d(n)−1
.
gerade und es gibt genau d(n)
2 Lösungen, ansonsten sind es
2
Aufgabe 3.
Seien zwei rechtwinklige Dreiecke mit gleicher Fläche und gleicher Hypotenuse
gegeben. Die Kathetenlängen des ersten Dreiecks seien a und b und die vom
zweiten seien mit x und y bezeichnet. Zu zeigen: {a, b} = {x, y}.
Nach Voraussetzung gilt ab = xy, also x =
Daraus folgt durch Einsetzen:
a2 +b2 =
ab
y
und ebenso a2 + b2 = x2 + y 2 .
a2 b2
+y 2 ⇐⇒ a2 y 2 +b2 y 2 = a2 b2 +y 4 ⇐⇒ a2 (y 2 −b2 ) = y 2 (y 2 −b2 ).
y2
Falls y = b folgt sofort x = a und wir sind fertig. Andernfalls folgt nach Division
durch y 2 − b2 sofort y = a und damit x = b.
Aufgabe 4.
Für jeden Punkt (x|y) auf dem Einheitskreis gilt x2 + y 2 = 1. Setze y = sx + s
ein und ermittle die Lösungen:
x2 + (sx + s)2 = 1
⇐⇒ (s2 + 1)x2 + 2s2 x + (s2 − 1) = 0
s2 − 1
2s2
x+ 2
= 0
⇐⇒ x2 + 2
s +1
s +1
Daraus folgt mit der pq-Formel:
s2
x = − 2
±
s +1
s
s2 − 1
s4
−
(s2 + 1)2
s2 + 1
s2
= − 2
±
s +1
s
(s2
s2
±
= − 2
s +1
s
s4 − 1
s4
−
(s2 + 1)2
(s2 + 1)2
s2
±
= − 2
s +1
s
(s2
(s2 − 1)(s2 + 1)
s4
−
2
+ 1)
(s2 + 1)2
1
+ 1)2
s2
1
± 2
2
s +1 s +1
−s2 ± 1
.
s2 + 1
= −
=
Eine der beiden Lösungen für x ist −1, woraus durch Einsetzen y = 0 folgt, die
andere ist wegen s ∈ eine rationale Lösung.
Q
Ein rationaler Punkt auf dem Einheitskreis
entspricht einem pythagoräischen
Tripel: Hat der Punkt die Form ac | bc , dann folgt
a 2
c
2
b
+
= 1 ⇐⇒ a2 + b2 = c2 .
c
Da man zusätzlich annehmen darf, dass die Darstellung gekürzt, also c teilerfremd zu ggT (a, b) ist, liefert dies eine Fundemantallösung. Umgekehrt gibt
jedes pythagoräische Tripel natürlich einen rationalen Punkt auf dem Einheitskreis, der zudem in gekürzter Darstellung vorliegt, wenn es sich um eine Fundamentallösung handelt. Die rationalen Punkte auf dem Einheitskreis und die
Fundamentallösungen entsprechen einander also eins zu eins, abgesehen von der
Reihenfolge der Zahlen und eventuellen Vorzeichen.
Beispiel:
Das pythagoräische Tripel (3, 4, 5) entspricht dem rationalen Punkt
3 4
|
.
Das
Tripel (6, 8, 10) ist keine Fundamentallösung,
sondern
Vielfaches
5 5
3 4
6 8
vom ersten und liefert den gleichen Punkt: 10 | 10 = 5 | 5 . Der rationale
Punkt 45 | 35 ist vom ersten verschieden und liefert das Tripel (4, 3, 5).