Formelsammlung - Schulbuchzentrum Online

Hrsg. Klaus Schilling
Analysis
Jens Helling, Marion Patyna, Klaus Schilling
Kerncurriculum Mathematik Niedersachsen
Berufliche Gymnasien
Bestellnummer 07770
Geometrie
Stochastik
2. Auflage
Lineare Algebra
Formelsammlung
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Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung.
www.bildungsverlag1.de
Bildungsverlag EINS GmbH
Hansestraße 115, 51149 Köln
ISBN 978-3-427-07770-1
© Copyright 2014: Bildungsverlag EINS GmbH, Köln
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Analysis
1
Mathematische Zeichen und Symbole der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2
Griechisches Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3
Taschenrechnersymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4
Rechenarten, Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Höhere Rechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rangfolge bei Ausführung mehrerer Rechenarten
Vorzeichenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementare Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Radizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logarithmieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Funktionsgraph im Koordinatensystem
Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
Quadratische Funktionen . . . . . . . . . .
Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . .
Gebrochenrationale Funktionen . . . . . .
Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . .
6
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungsregeln (Differenziationsregeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitung der Grundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extrempunkte und Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wendepunkte und Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Progressiv oder degressiv steigender oder fallender Verlauf eines Graphen . . . .
7
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundintegrale und weitere Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rekonstruktion von Beständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Wachstumsprozesse und Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Lineares Wachstum . . . .
Exponentielles Wachstum
Begrenztes Wachstum . .
Logistisches Wachstum .
Vergiftetes Wachstum . . .
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11
11
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15
17
17
20
21
21
22
25
27
28
29
29
31
32
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33
33
34
37
37
38
39
40
41
42
3
9
Wirtschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
Kosten, Erlös, Gewinn . . . . . . . . . . . . . . . .
Minimalkostenkombination . . . . . . . . . . . . .
Angebot und Nachfrage, Marktgleichgewicht
Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produktlebenszyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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42
46
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50
51
Lineare Algebra
1
Mathematische Zeichen und Symbole der Linearen Algebra . . . . . . . . 52
2
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1
2.2
2.3
2.4
Definitionen . . . . . . .
Arten von Matrizen .
Vektoren . . . . . . . . .
Rechnen mit Matrizen
3
Mehrstufige Produktionsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Verflechtungsdiagramm (Gozintograph) . . . .
Produktionsmatrizen (Verflechtungsmatrizen)
Mengenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produktionskosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erlös, Gewinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Lineare Gleichungssysteme in Matrizenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1
4.2
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Gauß-Algorithmus (Gauß’sches Eliminationsverfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5
Leontief-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6
Markow-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7
Zyklische Prozesse – Populationsentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8
Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
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53
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60
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62
63
Stochastik
1
Mathematische Zeichen und Symbole der Stochastik . . . . . . . . . . . . . . 73
2
Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1
2.2
2.3
2.4
Häufigkeiten . . . . . . .
Lagemaße . . . . . . . . .
Streuungsmaße . . . . .
Lineare Regression und
3
Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1
3.2
3.3
3.4
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Baumdiagramme und Pfadregeln . . . . . . . . . .
Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . .
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
.............
.............
.............
Korrelation . . .
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75
75
76
78
78
80
80
81
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
Bernoulli-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sigma-Regeln (Intervalle um den Erwartungswert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung . . . . . . . . .
4
4.1
Beurteilende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Vertrauensintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
82
82
83
85
86
88
91
Geometrie
1
2
Ebene Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Raumgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Anhang
1
2
3
Binomialverteilung, Bn; p (k), Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Binomialverteilung, Fn; p (k), Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Tabelle der standardisierten Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5
Analysis
Analysis
1
Mathematische Zeichen und Symbole der Analysis
Zeichen, Symbol
Sprechweise und Bedeutung
Beispiel
⫽
gleich
4⫽4
⬆
ungleich
3⬆4
艐
ist ungefähr gleich
冪2 艐 1,41
⬍
kleiner als
3⬍4
⬎
größer als
5⬎4
ⱕ
kleiner gleich
xⱕ3
ⱖ
größer gleich
xⱖ4
ⱍⱍ
Betrag von
ⱍ ⫺3 ⱍ ⫽ 3
⬁
unendlich
⇒
daraus folgt
n ist durch 4 teilbar ⇒ n ist durch 2
teilbar
⇔
gilt genau dann, wenn;
ist äquivalent mit/zu
2x ⫽ 4 ⇔ x ⫽ 2
∧
und, logisches und
p ∧ q: sowohl p als auch q sind wahr
∨
oder, logisches oder
p ∨ q; mindestens eine der Aussagen
ist wahr
n
Menge der natürlichen Zahlen
einschließlich 0
n ⫽ {0; 1; 2; 3; …}
z
Menge der ganzen Zahlen
einschließlich 0
z ⫽ {…; ⫺3; ⫺2; ⫺1; 0; 1; 2; 3; …}
q
Menge der rationalen Zahlen
einschließlich 0
q⫽
r
Menge der reellen Zahlen
einschließlich 0
unendliche, nicht periodische Dezi-
冦b 冨 a, b 僆 z ∧ b ⬆ 0冧
a
malzahlen wie 冪2, e, p und rationale
Zahlen
n*, z*, q*, r*
Zahlen der jeweiligen Menge
ohne 0
z* ⫽ {…; ⫺3; ⫺2; ⫺1; 1; 2; 3; …}
z⫹, q⫹, r⫹
auch:
zⱖ 0, qⱖ 0, rⱖ 0
positive Zahlen der jeweiligen
Menge einschließlich 0
z⫹ ⫽ zⱖ 0 ⫽ {0; 1; 2; 3; …} ⫽ n
7
1 Mathematische Zeichen und Symbole der Analysis
Zeichen, Symbol
Sprechweise und Bedeutung
Beispiel
z*⫹, q*⫹, r*⫹
auch:
z⬎ 0, q⬎ 0, r⬎ 0
positive Zahlen der jeweiligen
Menge ohne 0
z*⫹ ⫽ z⬎ 0 ⫽ {0; 1; 2; 3; …}
z⫺,q⫺ ,r⫺
auch:
zⱕ 0, qⱕ 0, rⱕ 0
negative Zahlen der jeweiligen
Menge einschließlich 0
z⫺ ⫽ zⱕ 0 ⫽ {…; ⫺3; ⫺2; ⫺1; 0}
z⫺
*, q⫺
*, r⫺
*
auch:
z⬍ 0, q⬍ 0, r⬍ 0
negative Zahlen der jeweiligen
Menge ohne 0
z⫺
* ⫽ z⬍ 0 ⫽ {…; ⫺3; ⫺2; ⫺1}
{1; 2; 3}
Menge mit den Elementen 1, 2
und 3
A ⫽ {1; 2; 3}
{x ⱍ …}
Menge aller x, für die gilt …
D ⫽ {x 冷 0 ⬍ x ⬍ 3}
Menge aller x, für die gilt
0⬍x⬍3
{(x; y) ⱍ …}
Menge aller Zahlenpaare
(x; y), für die gilt …
{(x; y) 冷 y ⫽ 3 x}
Menge aller Zahlenpaare (x; y),
für die gilt y ⫽ 3 x
⭋ ⫽ {}
leere Menge
Eine leere Menge enthält
keine Elemente.
Lösungsmenge einer unlösbaren
Gleichung: L ⫽ ⭋
僆
Element von
1僆n
僆
nicht Element von
⫺1 僆 n
傼
vereinigt mit;
Zusammenfügen von Mengen
{1; 2} 傼 {2; 3; 4} ⫽ {1; 2; 3; 4}
傽
geschnitten mit;
Gemeinsamkeiten von Mengen
{1; 2} 傽 {2; 3; 4} ⫽ {2}
傺
ist echte Teilmenge von
{1; 2} 傺 {1; 2; 3; 4}
\
ohne
n\{0} ⫽ n*
[a; b]
geschlossenes Intervall
(von einschließlich a bis einschließlich b)
{x ⱍ a ⱕ x ⱕ b}
(a; b)
auch: ]a; b[
offenes Intervall
(von ausschließlich a bis ausschließlich b)
{x ⱍ a ⬍ x ⬍ b}
[a; b)
auch: [a; b[
halboffenes Intervall
(von einschließlich a bis ausschließlich b)
{x ⱍ a ⱕ x ⬍ b}
(a; b]
auch: ]a; b]
halboffenes Intervall
(von ausschließlich a bis einschließlich b)
{x ⱍ a ⬍ x ⱕ b}
8
Analysis
Zeichen, Symbol
Sprechweise und Bedeutung
Beispiel
f: f (x) ⫽ …
auch:
f mit f (x) ⫽ …
Eine Funktion f mit f (x) ⫽ …
f ist Name der Funktion;
f (x) ⫽ … ist die Funktionsgleichung
f: f (x) ⫽ 2 x ⫹ 1
oder:
f mit f (x) ⫽ 2 x ⫹ 1
D (f )
Definitionsbereich, Definitionsmenge der Funktion f
D (f ) ⫽ r
W (f )
Wertebereich, Wertemenge der
Funktion f
W (f ) ⫽ r
Dmax (f )
mathematisch maximal möglicher Definitionsbereich der
Funktion f
Dmax (f ) ⫽ r
Wmax (f )
mathematisch maximal mögliWmax (f ) ⫽ r
cher Wertebereich der Funktion
f
Dök (f )
ökonomisch sinnvoller Definitionsbereich einer Funktion f
Dök (K) ⫽ [0; xKap]
Wök (f )
ökonomisch sinnvoller Wertebereich einer Funktion f
Wök (K) ⫽ [K (0);K (xKap)]
lim
Grenzwert (Limes)
lim f (x) ⫽ a,
x씮⬁
Grenzwert von f (x) für x gegen unendlich ist gleich a
Dy
delta y; Differenz zweier
y-Werte
Dy ⫽ y2 ⫺ y1
f ⬘(x)
f Strich von x;
erste Ableitung von f (x)
f (x) ⫽ 2 x2 ⇒ f ⬘(x) ⫽ 4 x
f ⬙(x)
f zwei Strich von x;
zweite Ableitung von f (x)
f (x) ⫽ 2 x2
⇒ f ⬘(x) ⫽ 4 x ⇒ f ⬙(x) ⫽ 4
df
Differenzial von f
beliebig kleines Teilstück von f
df
dx
d f nach d x
Der Differenzialquotient ist die
Ableitung von f.
df
⫽ f ⬘ (x)
dx
兰 f (x) d x
unbestimmtes Integral von f (x)
兰 f (x) d x ⫽ F (x) ⫹ C
b
兰 f (x) d x
a
(bestimmtes) Integral von f (x)
von a bis b
b
兰 f (x) dx ⫽ 冤F (x)冥
a
b
a
⫽ F (b) ⫺ F (a)
9
2 Griechisches Alphabet
2
Griechisches Alphabet
Aa
Alpha
Hh
Eta
Nn
Ny
Tt
Tau
Bb
Beta
Qq
Theta
Jj
Xi
Yy
Ypsilon
Gg
Gamma
Ii
Jota
Oo
Omikron
Vv
Phi
Dd
Delta
Kk
Kappa
Pp
Pi
Xx
Chi
Ee
Epsilon
Ll
Lambda
Rr
Rho
Ww
Psi
Ff
Zeta
Mm
My
Ss
Sigma
Zz
Omega
3
Taschenrechnersymbole
Taschenrechneranzeige
Bedeutung
Beispiel
1,23456 e3
Multiplikation mit 103 ; Verschiebung des Kommas um
3 Stellen nach rechts
1,23456 ⋅ 103 ⫽ 1,23456 ⋅ 1 000
⫽ 1 234,56
1,23456 e⫺3
Division durch 103 ; Verschiebung des Kommas um
3 Stellen nach links
1,23456 ⋅ 10⫺3 ⫽ 1,23456 ⬊ 1 000
⫽ 0,00123456
4
Rechenarten, Rechengesetze
4.1 Grundrechenarten
Addition
a⫹b⫽c
a, b: Summand
c:
Summe
Subtraktion
a⫺b⫽c
a:
b:
c:
Multiplikation
a⋅b⫽c
a, b: Faktor
c:
Produkt
Division
a⬊b⫽
10
a
⫽c
b
a:
b:
c:
Minuend
Subtrahend
Differenz
Dividend, bei Brüchen Zähler
Divisor, bei Brüchen Nenner; b ⬆ 0
Quotient
Analysis
4.2 Höhere Rechenarten
Potenzieren
ab ⫽ c
a: Basis
b: Exponent (Hochzahl)
c: Potenz (auch: Potenzwert)
Radizieren
a
冪b ⫽ c
a: Wurzelexponent
b: Radikand
c: Wurzel (auch: Radix)
Logarithmieren
logb a ⫽ c
a: Numerus (a 僆 r⫹
*)
* \{1})
b: Basis (b 僆 r⫹
c: Logarithmus
4.3 Rangfolge bei Ausführung mehrerer Rechenarten
Berechnung
von Termen
앫 höchste Priorität: Klammern ausrechnen
앫 Die höheren Rechenarten (Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren) haben Vorrang vor den Grundrechenarten (Addition,
Subtraktion, Multiplikation und Division).
앫 Punktrechnung (Multiplikation und Division, auch Brüche) vor
Strichrechnung (Addition und Subtraktion).
Umformen von
Gleichungen
Beim Lösen von Gleichungen wird in der umgekehrten Reihenfolge
wie beim Berechnen von Termen vorgegangen:
Erst Strichrechnung, dann Punktrechnung, dann die höheren Rechenarten (Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren).
4.4 Vorzeichenregeln
Addition und
Subtraktion
a ⫹ (⫹b) ⫽ a ⫹ b
a ⫹ (⫺b) ⫽ a ⫺ b
a ⫺ (⫹b) ⫽ a ⫺ b
a ⫺ (⫺b) ⫽ a ⫹ b
Multiplikation
a ⋅ (⫹b) ⫽ ⫹ab ⫽ ab
a ⋅ (⫺b) ⫽ ⫺ab
(⫺a) ⋅ b ⫽ ⫺ab
(⫺a) ⋅ (⫺b) ⫽ ⫹ab ⫽ ab
Division
⫹a
a a
⫽⫹ ⫽
⫹b
b b
a
a
⫽⫺
b
⫺b
a
⫺a
⫽⫺
b
b
a a
⫺a
⫽⫹ ⫽
b b
⫺b
11
4 Rechenarten, Rechengesetze
4.5 Elementare Rechengesetze
Kommutativgesetz
a⫹b⫽b⫹a
a⋅b⫽b⋅a
Vertauschungsgesetz
Assoziativgesetz
a ⫹ (b ⫹ c) ⫽ (a ⫹ b) ⫹ c
a ⋅ (b ⋅ c) ⫽ (a ⋅ b) ⋅ c
Verbindungsgesetz
Distributivgesetz
(a ± b) ⋅ c ⫽ a ⋅ c ± b ⋅ c
(a ± b) ⬊ c ⫽ a ⬊ c ± b ⬊ c
a±b a b
⫽ ±
c
c c
Verteilungsgesetz
(c ⬆ 0)
Faktorisieren
(c ⬆ 0)
a ⋅ c ± b ⋅ c ⫽ c ⋅ (a ± b)
a b a±b
± ⫽
c c
c
(c ⬆ 0)
Klammern
auflösen
a ⫹ (b ⫹ c) ⫽ a ⫹ b ⫹ c
a ⫹ (b ⫺ c) ⫽ a ⫹ b ⫺ c
a ⫺ (b ⫹ c) ⫽ a ⫺ b ⫺ c
a ⫺ (b ⫺ c) ⫽ a ⫺ b ⫹ c
⫺(a ⫹ b) ⫽ ⫺a ⫺ b
a ⋅ (b ± c) ⫽ a ⋅ b ± a ⋅ c
(a ⫹ b) ⋅ (c ⫹ d) ⫽ ac ⫹ ad ⫹ bc ⫹ bd
(a ⫹ b) ⋅ (c ⫺ d) ⫽ ac ⫺ ad ⫹ bc ⫺ bd
(a ⫺ b) ⋅ (c ⫹ d) ⫽ ac ⫹ ad ⫺ bc ⫺ bd
(a ⫺ b) ⋅ (c ⫺ d) ⫽ ac ⫺ ad ⫺ bc ⫹ bd
Operationen mit
Null
a±0⫽0±a⫽a
a⋅0⫽0⋅a⫽0
0
⫽0
a
(a ⬆ 0)
a
⫽ n. d.
0
Die Division durch Null ist
nicht definiert.
a0 ⫽ 1
Binomische
Formeln
(a ⫹ b)2 ⫽ a2 ⫹ 2 ab ⫹ b2
(a ⫺ b) ⫽ a ⫺ 2 ab ⫹ b
2
2
(a ⫹ b) ⋅ (a ⫺ b) ⫽ a ⫺ b
2
12
1. Binomische Formel
2
2. Binomische Formel
2
3. Binomische Formel
Analysis
4.6 Rechnen mit Brüchen
Erweitern und
Kürzen von
Brüchen
Addition und
Subtraktion
von Brüchen
Multiplikation
von Brüchen
Division von
Brüchen
앫 Erweitern:
a a⋅n
⫽
mit b, n ⬆ 0
b b⋅n
앫 Kürzen:
a ⋅ n a ⋅ n/ a
⫽
⫽ mit b, n ⬆ 0
b ⋅ n b ⋅ n/ b
Beim Erweitern eines Bruchs
werden Zähler und Nenner des
Bruchs mit n multipliziert.
앫 gleichnamige Brüche:
a b a±b
± ⫽
mit c ⬆ 0
c c
c
Brüche mit dem gleichen Nenner werden addiert (subtrahiert), indem die Zähler addiert
(subtrahiert) werden und der
Nenner beibehalten wird.
앫 ungleichnamige Brüche:
a c ad bc ad ± bc
± ⫽
±
⫽
b d bd bd
bd
mit b, d ⬆ 0
Brüche mit unterschiedlichen
Nennern werden zunächst
durch Erweitern gleichnamig gemacht. Dann werden sie wie
gleichnamige Brüche addiert
(subtrahiert).
앫 Multiplikation eines Bruchs
mit einem Bruch:
a c a ⋅ c ac
⋅ ⫽
⫽
b d b ⋅ d bd
mit b, d ⬆ 0
Zähler mal Zähler, Nenner mal
Nenner.
앫 Multiplikation eines Bruchs
mit einer ganzen Zahl:
a c ac
a
⋅c⫽ ⋅ ⫽
mit b ⬆ 0
b
b 1
b
Die ganze Zahl c kann in den
c
Bruch umgeformt werden.
1
Dann wird wie bei der Multiplikation von Brüchen verfahren.
앫 Division eines Bruches durch
einen Bruch:
a
b a c a d ad
⫽ ⬊ ⫽ ⋅ ⫽
c
b d b c bc
d
mit b, c, d ⬆ 0
Ein Bruch wird durch einen
Bruch dividiert, indem der erste
Bruch mit dem Kehrwert des
zweiten Bruches multipliziert
wird.
앫 Division eines Bruches durch
eine ganze Zahl:
a
b a c a⋅1
a
⫽ ⬊ ⫽
⫽
c b 1 b ⋅ c bc
mit b, c ⬆ 0
Die ganze Zahl c kann in eic
nen Bruch umgeformt werden.
1
Dann wird wie bei der Division
von Brüchen verfahren.
Beim Kürzen eines Bruchs werden Zähler und Nenner des
Bruchs durch n dividiert.
13
2 Matrizen
Matrizenmultiplikation
Die Matrizenmultiplikation lässt sich nur durchführen, wenn die
Anzahl der Spalten der Matrix A mit der Anzahl der Zeilen der
Matrix B übereinstimmt.
A(m ⫻ n) ⋅ B(n ⫻ u) ⫽ C(m ⫻ u)
Beispiel
A(2 ⫻ 3) ⋅ B(3 ⫻ 2) ⫽ C(2 ⫻ 2)
b11 b12
a11 a12 a13
⫽
⋅ b21 b22
a21 a22 a32
b31 b32
a11 b11 ⫹ a12 b21 ⫹ a13 b31
⫽
a21 b11 ⫹ a22 b21 ⫹ a32 b31
c c
⫽ 11 12
c21 c22
冢
冢
冢
冣
冢 冣
a11 b12 ⫹ a12 b22 ⫹ a13 b32
a21 b12 ⫹ a22 b22 ⫹ a32 b32
冣
冣
c11 entsteht aus der Multiplikation
dem ersten Spaltenvektor.
c12 entsteht aus der Multiplikation
dem zweiten Spaltenvektor.
c21 entsteht aus der Multiplikation
mit dem ersten Spaltenvektor.
c22 entsteht aus der Multiplikation
mit dem zweiten Spaltenvektor.
des ersten Zeilenvektors mit
des ersten Zeilenvektors mit
des zweiten Zeilenvektors
des zweiten Zeilenvektors
Rechengesetze:
앫 nicht kommutativ
A⋅B⬆B⋅A
앫 Assoziativgesetz
(A ⋅ B) ⋅ C ⫽ A ⋅ (B ⋅ C) ⫽ A ⋅ B ⋅ C
앫 Distributivgesetze
(A ⫹ B) ⋅ C ⫽ A ⋅ C ⫹ B ⋅ C
A ⋅ (B ⫹ C) ⫽ A ⋅ B ⫹ A ⋅ C
s ⋅ (A ⋅ B) ⫽ (s ⋅ A) ⋅ B ⫽ A ⋅ (s ⋅ B)
mit s 僆 r
Matrizen können nicht dividiert werden!
58
Lineare Algebra
Falk-Schema
Die Matrizenmultiplikation lässt sich mithilfe des Falk-Schemas
durchführen.
A(2 × 3) · B(3 × 2) = C(2 × 2)
b11
b12
b21
b22
b31
b32
a11
a12
a13
a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31
a11 · b12 + a12 · b22 + a13 · b32
a21
a22
a33
a23 · b11 + a22 · b21 + a23 · b31
a21 · b12 + a23 · b22 + a23 · b32
Potenzieren von
Matrizen
A ⋅ A ⋅ A ⋅ ... ⋅ A ⫽ A n mit n 僆 z
Transponieren
von Matrizen
Rechengesetze:
Dabei muss A eine quadratische Matrix sein.
앫 冢AT冣 ⫽ A
T
앫 (r ⋅ A)T ⫽ r ⋅ AT
앫 (A ± B)T ⫽ AT ± BT
Matrizengleichungen
Da die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist, muss
man bei der Umformung von Matrizengleichungen unter Verwendung von inversen Matrizen auf die Reihenfolge der Multiplikation achten.
Berechnung von B
A⋅B⫽C
冷 ⋅ A ⫺1 von links
A ⫺1 ⋅ A ⋅ B ⫽ A ⫺1 ⋅ C
E ⋅ B ⫽ A ⫺1 ⋅ C
B ⫽ A ⫺1 ⋅ C
In diesem Fall wird die
Inverse von links multipliziert, weil die zu invertierende Matrix der linke
Faktor der Multiplikation ist.
Berechnung von A
A⋅B⫽C
冷 ⋅ B ⫺1 von rechts
⫺1
⫺1
A⋅B⋅B ⫽C⋅B
A ⋅ E ⫽ C ⋅ B ⫺1
A ⫽ C ⋅ B ⫺1
In diesem Fall wird die
Inverse von rechts multipliziert, weil die zu invertierende Matrix der rechte Faktor der Multiplikation ist.
59
3 Mehrstufige Produktionsprozesse
3
Mehrstufige Produktionsprozesse
3.1 Verflechtungsdiagramm (Gozintograph)
Beispiel
Rohstoff 1
Rohstoff 2
a11
a21
a12
a22
Zwischenprodukt 1
Endprodukt 1
a31
a32
Zwischenprodukt 2
b13
b12
b11
Rohstoff 3
b21
Endprodukt 2
b22
b23
Endprodukt 3
Die Pfeile werden mit den benötigten Mengeneinheiten beschriftet.
3.2 Produktionsmatrizen (Verflechtungsmatrizen)
RohstoffZwischenproduktMatrix
nach
von
Z1
…
Zn
R1
⯗
Rm
⇒ ARZ ⫽
60
冢
a11
⯗
am1
冣
... a1n
... ⯗
... amn
Die Matrix ARZ gibt in jeder
Zeile die Mengeneinheiten eines Rohstoffes an, die für die
Produktion je einer Mengeneinheit des jeweiligen Zwischenproduktes benötigt werden. Alle Elemente der Matrix
müssen größer oder gleich 0
sein.
Lineare Algebra
ZwischenproduktEndproduktMatrix
Die Matrix BZE gibt in jeder
Zeile die Mengeneinheiten eines Zwischenproduktes an, die
für die Produktion je einer
Mengeneinheit des jeweiligen
Endproduktes benötigt werden. Alle Elemente der Matrix
müssen größer oder gleich 0
sein.
von Z nach E
nach
von
E1
…
En
Z1
⯗
Zm
⇒ BZE ⫽
RohstoffEndproduktMatrix
冢
b11
⯗
bm1
冣
... b1n
... ⯗
... bmn
Die Matrix CRE ist die Bedarfsmatrix und gibt zeilenweise den Rohstoffeinsatz für die
Produktion einer Mengeneinheit des jeweiligen Endproduktes an. Alle Elemente der Matrix müssen größer oder gleich
0 sein.
von R nach E
nach
von
E1
…
En
R1
⯗
Rm
冢
冣
c11 ... c1n
⇒ CRE ⫽ ⯗ ... ⯗
cm1 ... cmn
Es gilt CRE ⫽ ARZ ⋅ BZE
3.3 Mengenvektoren
冢冣
Der Vektor ជr gibt den Rohstoffeinsatz für die gesamte
Produktion der Endprodukte
an.
冢冣
Der Vektor zជ gibt die Mengen
der Zwischenprodukte für die
gesamte Produktion der Endprodukte an.
Rohstoffverbrauchsvektor
(Vektor für den
Rohstoffverbrauch)
r1
ជr ⫽ ⯗
rn
ZwischenproduktProduktionsvektor
(Vektor für die
Zwischenproduktmengen)
z1
zជ ⫽ ⯗
zn
61