¨Ubungen zur Statistischen Mechanik (WS 2012/13) 6. ¨Ubung

Prof. Michael Lässig
Donate Weghorn
Übungen zur Statistischen Mechanik
(WS 2012/13)
6. Übung
Abgabetermin: 23.11., vor der Vorlesung
Informationen zur Vorlesung: www.thp.uni-koeln.de/~dweghorn/StatMechWS12
Aufgabe 1: Kritische Exponenten des uniaxialen Ferromagneten
(10 Punkte)
In der Vorlesung wurde die Gibbssche freie Energiedichte des uniaxialen Ferromagneten
in der Nähe des kritischen Punktes angegeben:
τ
λ
g(T, m, h) = g0 (T ) + m2 + m4 − hm,
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wobei τ ≡ g21 (T − Tc ), und m ≡ M/N die Magnetisierungsdichte und h das äußere
Magnetfeld bezeichnen (mit g21 > 0 und λ > 0). Die freie Energiedichte g(T, h) und die
Magnetisierung m(T, h) des physikalischen Zustands erhält man durch Minimierung der
Funktion g(T, m, h) bezüglich der Variablen m.
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass bei Annäherung an den kritischen Punkt aus der Hochtemperaturphase (T → Tc von oben, h = 0) eine Singularität der magnetischen Suszeptibilität
χ ≡ (∂m/∂h)T auftritt:1
χ ∼ τ −γ mit γ = 1.
(1)
(b) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass bei Annäherung an den kritischen Punkt auf der Koexistenzlinie (T → Tc von unten, h = 0) für die spontane Magnetisierung m0 und die
Suszeptibilität gelten:
m0 ∼ |τ |β ,
χ ∼ |τ |−γ mit β = 1/2, γ = 1.
(2)
Stellen Sie die magnetische Suszeptibilität unter Hinzunahme des Ergebnisses aus (a) als
Funktion von τ graphisch dar.
1
Das Symbol ”∼” bedeutet hier immer “asymptotisch proportional”.
1
(c) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass bei Annäherung an den kritischen Punkt auf der Isothermen (T = Tc , h → 0) gilt:
m ∼ h1/δ ,
χ ∼ h(1−δ)/δ mit δ = 3.
(3)
(d) (3 Punkte) Bestimmen Sie für die genannten drei Fälle das führende Verhalten der
freien Energie in der Nähe des kritischen Punktes, d.h. g(T, 0) für τ > 0 bzw. τ < 0,
sowie g(0, h). Zeigen Sie durch Vergleich der ersten beiden Relationen, dass die spezifische
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Wärme c(T, 0) ≡ ∂ 2 g/∂T 2 bei Tc einen Sprung ∆c = −g21
/(2λ) hat, und skizzieren Sie
das Verhalten.
Aufgabe 2: A-posteriori-Wahrscheinlichkeit (8 Punkte)
Die Genomsequenz einer Spezies werde als Zufallssequenz aus zwei Buchstaben A und B
betrachtet. Wir nehmen an, das Genom besteht aus zwei Typen von Sequenz: in Sequenzabschnitten vom Typ 1 tritt A mit Wahrscheinlichkeit p1 auf, in Abschnitten vom Typ 2
mit Wahrscheinlichkeit p2 .
(a) (1 Punkt) Berechnen Sie den Mittelwert (für den Wert A) und die Varianz der Verteilung eines einzelnen Buchstabens in einer Sequenz vom Typ α (α = 1, 2).
(b) (2 Punkte) Geben Sie die bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen P (k|α) für das
Auftreten von k Buchstaben A in einer Sequenz der Länge N vom Typ α an. Geben Sie
auch die asymptotische Form dieser Verteilungen für N 1 an.
(c) (3 Punkte) Berechnen Sie für den Fall p2 = 1 − p1 die a-posteriori-Wahrscheinlichkeit
P (α = 1|k) für den Sequenztyp einer Sequenz der Länge N mit k Buchstaben A.
(d) (2 Punkte) Gegeben sei eine Sequenz mit einer relativen Häufigkeit k/N = p2 von
Buchstaben A. Wir möchten die Hypothese “Typ 1” mit einer gewissen Sicherheit ausschließen können, d.h. P (α = 1|k) < mit 1. Berechnen Sie die dazu erforderliche Mindestlänge N ∗ als Funktion von . Nehmen Sie hierbei an, dass die a-prioriWahrscheinlichkeiten, eine Sequenz vom Typ 1 oder Typ 2 vorliegen zu haben, gleich
sind, d.h. P (α = 1) = P (α = 2) = 1/2.
Aufgabe 3: Shannon-Entropie (6 Punkte)
Die Shannon-Entropie S(P ) einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P ist durch drei Axiome
gegeben:
1. S(p1 , . . . , pn ) hängt stetig von den pi ab.
2. Die Entropie einer Gleichverteilung, An ≡ S(p1 = n1 , . . . , pn = n1 ) ist eine monoton
wachsende Funktion von n.
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3. Für jede Klasseneinteilung der Ergebnismenge Ω = {x1 , . . . , xn } in Untermengen
Ωα (α = 1, . .P
. , m) mit der zugehörigen Vergröberung der Wahrscheinlichkeitsverteilung, qα = xi ∈Ωα pi , gilt die Kompositionsregel
S(p1 , . . . , pn ) = S(q1 , . . . , qm ) +
m
X
qα S({pi /qα |xi ∈ Ωα }).
α=1
(a) (3 Punkte) Zeigen Sie zunächst, dass die Entropie einer Gleichverteilung bis auf einen
Maßstabsfaktor eindeutig bestimmt ist, d.h. An = K log n mit K > 0. Hinweis: Wenden
Sie die Kompositionsregel auf eine Gleichverteilung von n = m × k Ereignissen an.
(b) (3 Punkte) ZeigenPSie nunmehr, dass die Entropie einer beliebigen Verteilung die Form
S(p1 , . . . , pn ) = −K ni=1 pi log pi hat. Hinweis: Nehmen sie an, dass die Wahrscheinlichkeiten rationale Zahlen (d.h. Quotienten ganzer Zahlen) sind, pi = Ni /N . Benutzen Sie
wieder die Kompositionsregel und das Ergebnis aus (a).
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