Übungsaufgaben zur Vorlesung Stochastische Prozesse

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Stochastische Prozesse
WS 2012/2013 - Blatt 4
Abgabe: Donnerstag, 22.11.2012 vor Beginn der Vorlesung
Bitte vermerken Sie auf jedem Lösungsblatt Ihren Namen.
Aufgabe 1 (4Punkte)
Für b > 0 sei ϕb : R → C definiert durch
1
ϕb (t) = 1[−b,b] (t) 1 − |t|
b
Ist ϕb die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf (R, B)?
Falls ja, geben Sie die Lebesgue-Dichte fb dieses Maßes an.
Aufgabe 2 (4Punkte)
1. Für Y ∼ N (0, 1) ist X := exp(Y ) log-Normalverteilt.
Berechnen Sie alle n-ten absoluten Momente E |X|n der log-Normalverteilung.
Ist die Bedingung für die eindeutige Lösbarkeit des Momentenproblems aus
Satz 2.13 für die log-Normalverteilung erfüllt?
2. Berechnen Sie die Lebesgue-Dichte fX der log-Normalverteilung.
3. Sei a ∈ [−1, 1]. Zeigen Sie, dass durch
ga (x) = (1 + a · sin(2π log(x))) fX (x)
eine Wahrscheinlichkeitsdichte definiert wird, deren n-te Momente mit denen der log-Normalverteilung übereinstimmen.
Aufgabe 3 (4Punkte)
Für einen Zufallsvektor X = (X1 , . . . , Xk ) unabhängiger N (0, 1)-verteilter Zufallsvariablen und eine Matrix A ∈ Rk×k genügt Y := AT X der mehrdimensionalen Normalverteilung N (0, Σ) wobei Σ = AT A. Zeigen Sie
1. Y ∼ N (0, Σ) ⇔ ht, Y i ∼ N (0, tT Σt) für alle t ∈ Sk−1
D
D
2. Yn −
→ Y ⇔ P ht,Yn i −
→ N (0, tT Σt) für alle t ∈ Sk−1
Aufgabe 4 (4Punkte)
Sei (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger, identisch
Pn verteilter Zufallsvariablen mit
E X1 = 0 und E |X1 | < ∞ und sei Sn :=
i=1 Xi . Zeigen Sie mit Hilfe des
Stetigkeitssatzes von Lévy Cramér, dass das schwache Gesetz der großen Zahlen
gilt:
Sn D
−
→0
n
Die Übungsaufgaben sowie weitere Informationen zur Vorlesung finden Sie auf der Internetseite:
http://www.stochastik.uni-freiburg.de/Vorlesungen/vvWS2012/VorStochProz/