Das Pascalsche Dreieck Übungsbeispiele

Kapitel 3: Termumformungen
AB 11 Lösung
Themenblock 11: Das Pascalsche Dreieck
n
Wir bestimmen (a + b) für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, … und schreiben die Resultate geeignet
untereinander.
n
n
0
1
2
3
4
(a + b)
1
1a
+
1b
+
2ab
+
2
2
3a b
+
3ab
2
1a
+
…
3
1a
…
…
2
1b
+
3
1b
Die Terme der Potenzen von (a + b) haben folgende Eigenschaften:
- Die Exponenten sind symmetrisch; ihre Summe ist bei jedem Glied gleich n.
- Die Exponenten von a fallen von n auf 0; diejenigen von b steigen von 0 auf n!
- Die Koeffizienten („fette“ Zahlen) bilden das Pascalsche Dreieck! Sie sind in jeder Zeile
symmetrisch. Die erste und letzte Zahl ist immer eine 1. Die anderen ergeben sich aus der
Summe ihrer beiden „Vorgänger“… ☺
1. Anwendungsbeispiel
(3x + 5)
3
=
=
=
1⋅(3x) + 3⋅(3x) ⋅5 + 3⋅(3x)⋅5 + 1⋅5
3
2
27x + 3⋅9x ⋅5 + 3⋅3x⋅25 + 125
3
2
27x + 135x + 225x + 125
3
2
2
3
2. Anwendungsbeispiel
(4a – 2)
4
=
=
=
1⋅(4a) - 4⋅(4a) ⋅2 + 6⋅(4a) ⋅2 - 4⋅(4a) ⋅2 + 1⋅2
4
3
2
256a - 4⋅64a ⋅2 + 6⋅16a ⋅4 - 4⋅4a⋅8 + 16
4
3
2
256a - 512a + 384a - 128a + 16
4
3
2
2
3
4
Übungsbeispiele:
=
1⋅x + 3⋅x ⋅10 + 3⋅x⋅10 + 1⋅10 = x + 30x + 300x + 1000
=
1⋅a - 4⋅a ⋅3 + 6⋅a ⋅3 - 4⋅a⋅3 + 1⋅3 = a – 12a + 54a – 108a + 81
5
=
=
=
1⋅(2x) + 5⋅(2x) ⋅1 + 10⋅(2x) ⋅1 + 10⋅(2x) ⋅1 + 5⋅(2x) ⋅1 + 1⋅1
5
4
3
2
32x + 5⋅16x + 10⋅8x + 10⋅4x + 5⋅2x + 1
5
4
3
2
32x + 80x + 80x + 40x + 10x + 1
3
=
=
1⋅(3y) - 3⋅(3y) ⋅2 + 3⋅(3y)⋅2 - 1⋅2
3
2
3
2
27y -3⋅9y ⋅2 + 3⋅3y⋅4 - 1⋅8 = 27y -54y + 36y - 8
4
=
=
=
1⋅(5b) + 4⋅(5b) ⋅1 + 6⋅(5b) ⋅1 + 4⋅(5b) ⋅1 + 1
4
3
2
625b + 4⋅125b + 6⋅25b + 4⋅5b + 1
4
3
2
625b + 500b + 150b + 20b + 1
=
=
1⋅(6x) - 5⋅(6x) ⋅½ + 10⋅(6x) ⋅(½) – 10⋅(6x) ⋅(½) + 5⋅(6x)⋅(½) - 1⋅(½)
5
4
3
2
7776x - 5⋅1296x ⋅½ + 10⋅216x ⋅¼ - 10⋅36x ⋅ 18 + 5⋅6x⋅ 116 - 1 32
=
7776x – 3240x + 540x – 45x +
3
=
=
1⋅(2x ) + 3⋅(2x ) ⋅y + 3⋅(2x ) ⋅y + 1⋅y
9
6
3 2
3
9
6
3 2
3
1⋅8x + 3⋅4x y + 3⋅2x y + y = 8x + 12x y + 6x y + y
2 4
=
=
=
1⋅(a ) - 4⋅(a ) ⋅ (3b ) + 6⋅(a ) ⋅(3b ) - 4⋅(a )⋅(3b ) + 1⋅(3b )
16
12
2
8
4
4
6
8
a - 4⋅a ⋅ 3b + 6⋅a ⋅9b - 4⋅a ⋅27b + 81b
16
12 2
8 4
4 6
8
a - 12a b + 54a b - 108a b + 81b
3
1.
(x + 10)
2.
(a – 3)
3.
(2x + 1)
4.
(3y – 2)
5.
(5b + 1)
6.
(6x – ½ )
4
3
5
7.
(2x + y)
8.
(a – 3b )
4
© M. Kunz
3
2
4
2
3
2
5
3
4
4 3
2
3
3
2
2
3
2
2
4
5
3
3
3 2
3
2
3
4
4
2
2
2
2
4
3
3
3 3
3
3
2
5
4 4
2
4
4
5
3
4 2
4
2
15
2
8
x-
1
3
4
32
3
2 2
4
2 3
2 4
5