x3 +2x4 +5x5 +4x6 = 0 0x1

3) Die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems
0x1 +3x2 −x3 +2x4 +5x5 +4x6 = 0
0x1 −9x2 +3x3 −6x4 −14x5 −7x6 = 0
bilden einen Untervektorraum U des R6 . Man berechne eine Basis des Vektorraumes U .
Lösung: Man betrachtet die Koeffizientenmatrix
0
3 −1
2
5
4
A=
.
0 −9
3 −6 −14 −7
Durch eine Zeilenoperation bringt man A auf Stufenform:
0 [3] −1 2 5 4
.
0 0
0 0 [1] 5
(1)
(2)
Die eingeklammerten Zahlen sind die Pivotelemente. Sie stehen in den Spalten 2 und 5. Das sind die abhängigen Indexe. Die übrigen Indexe heißen
unabhängige Indexe. Nach (Vorlesung vor Satz 17) ist
π
4
 U  → R


x1
x1
 x2 
 x3 




 x3 
 x4 


 x4  7→


x6
 x5 
x6
ein Isomorphismus von Vektorräumen. D.h. für beliebig vorgegebene Zahlen
x1 , x3 , x4 , x6 gibt es genau einen Vektor in U mit diesen Einträgen. Es sei
e1 , e2 , e3 , e4 die Standardbasis von R4 . Es gibt eindeutig bestimmte Vektoren
b1 , b2 , b3 , b4 ∈ U , so dass π(bi ) = ei . Dann ist b1 , b2 , b3 , b4 die gesuchte Basis
von U .
Man betrachtet das Gleichungssystem, welches der Matrix (2) entspricht.
0x1 +3x2 −x3 +2x4 +5x5 +4x6 = 0
0x1 +0x2 +0x3 +0x4 +1x5 +5x6 = 0.
(3)
Den Vektor b4 erhält man, wenn man x1 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x6 = 1 setzt.
Dann erhält man die Gleichungen
3x2 +5x5 +4 · 1 = 0
0x2 +1x5 +5 · 1 = 0.
Aus der letzten Gleichung folgt x5 = −5. Wenn man das in die erste Gleichung einsetzt, so folgt 3x2 − 25 + 4 = 0, also x2 = 7. Also gilt:


0
 7 


 0 

b4 = 
 0 


 −5 
1
Wie man sieht haben wir den Standardvektor
 
0
 0 
 
 0 
1
um zwei Einträge ergänzt, die in den Zeilen 2 und 5 stehen.
Wenn wir b3 finden wollen müssen wir die Einträge x1 = 0, x3 = 0, x4 =
1, x6 = 0 ergänzen. Wenn wir das in das in das Gleichungssystem (3) einsetzen finden wir
3x2 +2 · 1 +5x5 = 0
0x2 +0 · 1 +1x5 = 0.
Man sieht, dass x5 = 0 und x2 = −2/3. Daraus ergibt sich der Vektor


0
 −2/3 




0

b4 = 

1 



0 
0
Wenn wir b2 finden wollen müssen wir die Einträge x1 = 0, x3 = 1, x4 =
0, x6 = 0 ergänzen. Wenn wir das in das in das Gleichungssystem (3) einsetzen finden wir
3x2 −1
+5x5
=0
0x2 +0 · 1 +x5 = 0.
Man liest den nächsten Vektor ab




b2 = 



0
1/3
1
0
0
0








Wenn wir b1 finden wollen müssen wir die Einträge x1 = 1, x3 = 0, x4 =
0, x6 = 0 ergänzen. Dann ergibt sich
0 · 1 +3x2 +5x5 = 0
0 · 1 +0x2 +1x5 = 0.
Also gilt x2 = x5 = 0 und wir finden




b1 = 



1
0
0
0
0
0




.



Damit haben wir die Basis b1 , b2 , b3 , b4 von U vollständig berechnet.