und Exponentialfunktionen

Modul T-E
Trigonometrische Funktionen und
Exponentialfunktionen
1
Vertiefungsfach Mathematik – Textverständnis im Sachzusammenhang
Schwerpunkt „Schnittpunkte Ganzrationaler Funktionen“
Modul T-E „Trigonometrische und Exponentialfunktionen“
Stundenvolumen
8 Stunden
Fachbezogene
Kompetenzen
Argumentieren und Kommunizieren
Sie argumentieren bei der Lösungsfindung in
Kleingruppen oder dem Plenum. Ihre Arbeiten und Ergebnisse stellen sie immer in
verschiedenen Präsentationsformen dar.
Probleme erfassen, erkunden und
lösen
Sie wenden ihre Kenntnisse auf ihnen mehr
oder minder bekannte Probleme aus dem
Alltag an und lösen eigene dazu formulierte
Fragen.
Inhaltlicher
Schwerpunkt
 Sinusfunktion
- Graphen
- Beschreibung von
Kreisbewegungen
Schwingungen
 Exponentialfunktionen
- Graphen
- Zerfallsprozesse
- Umkehrfunktion
Modelle erstellen und nutzen
Sie entwerfen mathematische Modelle, die
ein gegebenes Problem möglichst gut beschreibt.
Beziehungen und Veränderungen
beschreiben
Die Schülerinnen und Schüler kennen die
grundlegenden Eigenschaften der Sinusund der Exponentialfunktion.
Medien und Werkzeuge verwenden
Die Schülerinnen und Schüler nutzen
verschiedene Werkzeuge.
Arbeitsschritte
 Zunächst werden mittels der
zur Verfügung gestellten Arbeitsblätter die grundlegenden Eigenschaften der unterschiedlichen Funktionen genannt.
 Individuelle Bearbeitung der
Ergebnisse z.B. der Kompetenztestaufgaben „Das kann
ich noch“, individuelle Nutzung der Testauswertungsdaten, kooperatives Arbeiten,
Schüler-Experten, Lehrerinformation, Unterrichtsgespräch, Schülerinfo-Vorlage
zur selbständigen Weiterarbeit. (Bei Bedarf)
 Die Schülerinnen und Schüler
arbeiten verstärkt mit Funktionsplottern wie MatheAss,
GeoGebra oder KL-Soft. Sie
haben alle einen PC mit entsprechender Software im Unterrichtsraum zur Verfügung.
Arbeitsformen
und Materialien
 Arbeitsblatt
Sinusfunktion
 Riesenradaufgabe
Wiener Prater
 Schaufelradbagger
 Federpendel
 Arbeitsblatt
Exponentialfunktion
 Arbeitsblatt
Logarithmusfunktion
 C14 Methode
Grabtuch
 Bierschaum
 Abkühlungsvorgänge
 Radioaktiver Zerfall
Halbwertszeit von Thoron
 Sie orientieren sich bei der
Diskussion und Lösung an
den grundlegenden Arbeitsblättern.
 SuS nutzen den TR und den
Computer zur Berechnung
und Visualisierung der Ergebnisse
2
4.1 Rahmenbedingungen Modul T-E
Anfangs12 TN (6 w + 6 m)
Teilnahme freiwillig
Vorwiegend Seiteneinsteiger aus RS (9) und HS (1)
4.2 Einschätzung der vorhandenen Kompetenzen und Defizite
Argumentieren/Kommunizieren
kommunizieren, präsentieren und argumentieren
- TN kommunizieren zwanglos und relativ ungehemmt miteinander
- Sie präsentieren ihre Ergebnisse zunehmend selbstbewusst im Vortrag und
an der Tafel
- Sie argumentieren eher unbeholfen
Problemlösen
Probleme erfassen, erkunden und lösen
- TN erfassen bekannte Probleme schnell, diskutieren diese
- Modellierung und somit Lösung fällt anfangs sehr schwer
Modellieren
Modelle erstellen und nutzen
- Erst nach der Vorstellung möglicher Modelle wird eine Lösung erreicht
Werkzeuge
Medien und Werkzeuge verwenden
- Der Umgang mit dem TR ist prinzipiell bekannt
- komplexere Tastenkombinationen (Speichernutzung, exp-Taste etc.) sind
weitestgehend unbekannt
- Der Einsatz von einfachen Funktionenplottern ist unbekannt
- Lehr- und Lernprogramme sind unbekannt
Arithmetik/Algebra
mit Zahlen und Symbolen umgehen
- Der Umgang mit Zahlen ist geläufig
- Das Rechnen mit Symbolen wird auch bei allgemeinen Lösungsansätzen
möglichst vermieden
Funktionen
Beziehungen und Veränderungen beschreiben und erkunden
- Ganzrationale Funktionen vom Grad 1 und 2 sind bekannt
- Nullstellen- und Funktionswertberechnungen sind bekannt
- Schnittpunkte liefern eher Probleme
- Sinusfunktion und Zinseszinsfunktion müssen aufgearbeitet werden
Geometrie
ebene und räumliche Strukturen nach Maß und Form erfassen
- wurde nicht abgefragt
Stochastik
mit Daten und Zufall arbeiten
- wurde nicht abgefragt da irrelevant für dieses Modul
3
Textverständnisaufgaben im Sachzusammenhang mit Schwerpunkt
Trigonometrische und Exponentialfunktionen
(1)
Stundenvolumen
8 Doppelstunden
(2)
Kompetenzerwartung
Die TN kennen am Ende der Reihe verschiedene Einsatzmöglichkeiten
der Trigonometrischen und Exponentialfunktionen und wenden sie an
(Graphisch und rechnerisch).
Dazu erfassen sie an Hand verschiedener Alltagsprobleme in der Diskussion mit den anderen TN das Problem, erstellen ein mathematisches
Modell dafür, kommen mittels der Werkzeuge „Sinusfunktion“ oder
„Wachstumsfunktion“ bzw. mittels Funktionsplottern zu realen Ergebnissen und übertragen diese in die Problemwelt.
Dabei stehen die prozessbezogenen Kompetenzen zunächst durchaus
im Vordergrund. Textverständnis und daraus abgeleitet Argumentieren,
Modellieren und Lösen sind wesentliche Ziele dieses (wie auch jedes anderen) Moduls.
Abschließend präsentieren sie ihre Ergebnisse an der Tafel oder dem
Bildschirm und zeigen gegebenenfalls die Grenzen des Modells auf.
(3)
Inhaltlicher Schwerpunkt
Sicherer Umgang mit periodischen Funktionen und mit Wachstums- bzw.
Zerfallsfunktionen.
Bei den periodischen Funktionen stehen Pendelbewegungen, Riesenrad
und Schaufelradbagger im Mittelpunkt.
Bei den Wachstumsfunktionen wird speziell auf die C14-Methode und forensische Methoden eingegangen.
(4)
Arbeitsformen und Materialien
Materialien für selbstständiges Lernen
Diskussion - Expertenrunde –
Stationenlernen – Präsentation
Der Einsatz der Funktionsplotters Matheass und KL_Soft ist immer noch
schwierig und bedarf der eingehenden Übung.
(5)
Arbeitsschritte
Die TN beschäftigen sich zunächst mit der Riesenradaufgabe. Sie ist allen zunächst zu schwer hinsichtlich des Textverständnisses und auch der
Modellierung.
4
Auseinandersetzung mit dem AB „Sinusfunktion“ gestattet eine Übertragung der Realität aufs mathematische Modell. Die Funktion wird mit Matheass gezeichnet und der Verlauf eingehend diskutiert (Periodizität, Radius, Höhe zu bestimmten Zeitpunkt, Problem des Einsteigezeitpunktes
und der Nabenhöhe).
Anschließende Bearbeitung der AB Bagger und Feder führen zu sicherem Umgang mit den trigonometrischen Funktionen. Die Federschwingung wird im Schülerexperiment (alternativ Demo) realisiert.
In gleicher Weise wird an die Wachstumsfunktionen herangegangen.
Hier erfolgt der Einstieg mit dem Turiner Grabtuchproblem. Nach Bearbeitung des AB Wachstumsfunktion erkennen die TN ähnliche Strukturen, die sie auf die anderen Aufgaben übertragen. Die Bierschaumaufgabe zeigt, dass Zerfallsprozesse nicht unbedingt exponentiell verlaufen
müssen.
(6)
Transparenz/Reflexion der Zielerreichung
Die TN sind aufgeschlossen. Die kleine Gruppengröße führt zu vertiefter
aktiver Auseinandersetzung mit dem Problem und dadurch bedingt zu
verbesserter Motivation und daraus resultierend auch zu Erfolg bei den
inhaltlichen Kompetenzen.
Die Kurszusammensetzung erlaubt keine Regelfach-begleitende Bearbeitung einzelner Themen.
Die Arbeit eines Schülers / einer Schülerin im Vertiefungsfach wird in einem Portfolio dokumentiert. Alle schon angesprochenen Materialien werden in dieses Portfolio (Ordner) abgeheftet. Dies sind zur Verfügung gestellte Materialien der Lehrkraft, Kursergebnisse, individuell Erarbeitetes
(Fachinhaltliches, Dokumentation des eigenen Lernprozesses).
Eine Fortschreibung des Portfolios in der Sekundarstufe II über das Vertiefungsfach hinaus ist möglich
(7)
Lernprozess- und Ergebnisevaluation
Es macht den TN Freude, sich mit den Materialien zu beschäftigen, da
sie zur Erarbeitung, Diskussion, Lösung und Präsentation im Vergleich
zum normalen Unterricht sehr viel Zeit haben.
Die Evaluation bezieht Portfolio, Feedbackbogen, Feedbackgespräche
mit Schülerinnen und Schülern sowie den Lehrerinnen und Lehrern des
Regelkurses ein.
(8)
Kursevaluation
Die Kursevaluation gründet sich auf Ergebnisse von Schülerbefragungen,
Einschätzungen durch die beteiligten Lehrkräfte und ggf. Einschätzungen
der Schulleitung.
Die Erwartungshaltung der Schülerinnen und Schüler gegenüber dem
Fach ist nicht nur anfangs geprägt von einer Hoffnung auf schnell messbaren Erfolg, was allerdings nicht Ziel des Kurses ist.
5
Anhang: Materialien Modul T-E
T-E 1
T-E 2
T-E 3
T-E 4
T-E 5
T-E 6
T-E 7
T-E 8
T-E 9
T-E10
Die Sinusfunktion
Riesenrad
Schaufelradbagger
Federpendel
Die Exponentialfunktion
Die Logarithmusfunktion
Altersbestimmung mittels C14
Bierschaumzerfall
Abkühlungsvorgänge
Radioaktiver Zerfall
6
Material Modul T-E
Trigonometrische Funktionen und
Exponentialfunktionen
7
Die Sinus Funktionen
Diese Sinus-Funktionen sind verschoben:
Notieren Sie Ihre Beobachtungen und fassen Sie sie in entsprechenden Funktionstermen zusammen:
8
Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt:
1. Die Funktion hat die Amplitude …
2. Die Funktion besitzt die Periode …
3. Die Funktion ist um …
nach oben verschoben
4. Die Funktion ist um …
nach rechts verschoben
Also lautet der Funktionsterm
f(x) = ……………………………………..
9
Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt:

Die Funktion hat die Amplitude A =0,5* (3-(-1)) = 2

Die Funktion besitzt die Periode P ≈ (5-2) = 3

Die Funktion ist um
yo = 1
nach oben verschoben

Die Funktion ist um
xo = 2
nach rechts verschoben
Also lautet der Funktionsterm
 2
f ( x)  A  sin 
 x  x0    yo
 P

 2
 2  sin 
 x  2    1
 3

4 
2
 2  sin   x     1
3 
3
10
Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt:
5. Die Funktion hat die Amplitude …
6. Die Funktion besitzt die Periode …
7. Die Funktion ist um …
nach oben verschoben
8. Die Funktion ist um …
nach rechts verschoben
Also lautet der Funktionsterm
f(x) = ………………………
11
Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt:

Die Funktion hat die Amplitude A =0,5* (4,5-1,5) = 1,5

Die Funktion besitzt die Periode P ≈ (7,7-2,5) = 5,2

Die Funktion ist um
yo = -3
nach oben verschoben

Die Funktion ist um
xo = 2,5
nach rechts verschoben
Also lautet der Funktionsterm
 2
f ( x)  A  sin 
 x  x0    yo
 P

 2

 1,5  sin 
 x  2,5   3
 5, 2

12
Riesenrad
Quelle:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Riesenrad01.jpg&filetimestamp=20070808072004
Diese Bild- oder Mediendatei wurde von ihrem Urheber zur uneingeschränkten Nutzung freigegeben – Percon93
Aus dem Wiener Prater
a)
Notieren Sie den Term für die „Riesenradfunktion“ für ein Rad mit
Durchmesser 30,48 m, Umlaufzeit 255 s, tiefster Punkt 3,80 m über der
Erdoberfläche
(die betrachtete Gondel soll sich dort auch zu Beginn der Zeitmessung
aufhalten).
b)
Berechnen Sie die Höhe 17s nach Beobachtungsbeginn.
13
15,24 m
19,04 m
3,80 m

Die Funktion hat die Amplitude
0,5*30,48 m = 15,24 m

Die Funktion besitzt die Periode
255 s

Der Graph der Funktion ist um
15,24m + 3,80m = 19,04 m
nach oben verschoben

Der Graph der Funktion ist um
P / 4 = 255s / 4 = 63,75 s
nach rechts verschoben
(nach dieser Zeit wird die Nabenhöhe das erste Mal von unten durchstoßen)
Es ergibt sich:
 2
f ( x)  A  sin 
 x  x0    yo
 P

 2
 15, 24m  sin 
 x  63, 75s    19, 04m
 255s

 2
f (17 s )  15, 24m  sin 
17s  63, 75s    19, 04m
 255s

 5,11m
14
Schaufelradbagger
Quelle: wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Schaufelradbagger , 21.07.09
Vergleichen Sie den mittleren Bodendruck
p
Gewichtskr aft G m  g
 
Fläche
A
A
des Schaufelradbaggers 288 mit dem Bodendruck eines
Autos oder Ihrem eigenen (mit g = 9,81 N/kg).
http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Gr%C3
%B6%C3%9Fenvergleich_Schaufelradba
gger_Mobilbagger.JPG
Diese Datei wurde unter der GNU-Lizenz
für freie Dokumentation veröffentlicht,
Urheber: A. Gutwein
Die Geometrie des 285 stimmt im Wesentlichen mit der des 288 überein.
Nennen Sie die entscheidende Komponente, die dafür verantwortlich ist, dass der
288 eine größere Nennförderung hat.
Geben Sie die Gleichung an, die die Höhe einer Schaufel in Abhängigkeit von der
Zeit beschreibt. Für eine Umdrehung benötigt eine Schaufel etwa 43 s.
Zusatz: Zu Wartungsarbeiten muss die Schaufel aus der untersten Position 1m angehoben werden. Bestimmen Sie die Zeit, die der Motor dazu laufen muss.
15
Lösungsvorschläge:
Zum Beispiel ist die Auflagefläche eines Reifens ca 10cm x 20cm = 200 cm².
Bei einer Masse von 1500 kg herrscht dann eine Gewichtskraft von ca. 15000 N.
Der Bodendruck ergibt sich zu p = 15000N / 4 x 200cm² = 18,75 N/cm².
Ein Mensch der Masse 75 kg steht auf zwei Füßen mit der Fläche von je
8cm x 25 cm = 200 cm².
Der Bodendruck ergibt sich zu p = 750N / 2 x 200cm² = 1,875 N/cm².
Trägt man Stöckelabsätze mit einer Fläche von 1cm² plus vordere Auflagefläche von
ca. 10cm² erhöht sich der Bodendruck auf p = 750N / 2 x 11cm² = 34,1 N/cm².
Die größere Nennleistung in m³/Tag ist auf die größere Motorleistung des Baggers
zurückzuführen. Dadurch kann offenbar die Umdrehungszahl erhöht werden.
Die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit wird beschrieben durch:
 2
f ( x)  A  sin 
 x  x0    yo
 P

 2 
43s  
 10,8m  sin 
x
 h
4  
 43s 
Wobei man davon ausgeht, dass die Nabenhöhe h sei und die Beobachtung anfängt,
wenn sich die Schaufel im untersten Punkt befindet.
Die Nabenhöhe spielt keine Rolle. Die Schaufel befindet sich jetzt 9,8m unterhalb der
Nabe.
 2 
43s  
10,8m  sin 
x
  9,8m
4  
 43s 
 2 
43s   9,8m
sin 
x
 
4   10,8m
 43s 
2 
43s 
 9,8 
x
  arcsin 

43s 
4 
 10,8 
x
43s 43s
 9,8 

arcsin 

4
2
 10,8 
x
43s
 9,8  43s
arcsin 

2
 10,8  4
 3s
Der letzte Teil der Aufgabe ist lediglich als Zusatz gedacht. Umkehrfunktionen wurden bisher nicht behandelt. SuS haben allerdings manchmal ein gutes Gespür für die
Verwendung des TR bei derartigen Aufgaben.
16
Federpendel
An eine Feder der Länge 0,25 m (a) wird durch ein Massestück mit der Masse 0,25
kg angehängt. Dadurch wird sie um s=0,15 m ausgelenkt (b).
Anschließend dehnt man sie mit der Hand um weitere 0,05 m aus (c) und lässt sie
los.
Die Bewegung der Feder wird auf eine Wand projiziert:
Das Massestück bewegt sich nun sinusförmig mit der Periode T herauf und herunter.
Berechne die Periode T gemäß Thomsonscher Schwingungsgleichung
T  2
s
g
wobei g = 9,81 m/s² die Erdbeschleunigung und
s die Ausdehnung der Feder durch die Masse ist.
Berechne die Länge der Feder nach 3s (schematisch in d).
17
Die Exponentialfunktion
Diese Exponentialfunktionen sind gegeneinander verschoben und/oder gestreckt:
Notieren Sie Ihre Beobachtungen und fassen Sie sie in entsprechenden Funktionstermen zusammen:
18
Die Logarithmus Funktion
Diese Logarithmusfunktionen sind gegeneinander verschoben und/oder gestreckt:
Notieren Sie Ihre Beobachtungen und fassen Sie sie in entsprechenden Funktionstermen zusammen:
19
Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt:
1. Die Funktion ist streng monoton ……………….
2. Der Graph schneidet die Ordinate bei …………………..
3. Die Funktion strebt für x gegen unendlich gegen ……………………
4. Die Funktion besitzt die „Halbwertszeit“ ………………………..
5. Die Funktion nimmt für x = 8,5 den Wert …………. an
20
Notieren Sie einen Funktionsterm,
der den nachfolgenden Graphen beschreibt:

Die Funktion ist streng monoton fallend

Der Graph schneidet die Ordinate bei 100

Die Funktion strebt für x gegen unendlich gegen 0

Die Funktion besitzt die „Halbwertszeit“ 4
Also ist der Funktionsterm gegeben durch
x
 1  x1
f ( x)   Ao  A     2  A
2
x
x
 1 4
 1 4
 100  0      0  100   
2
2
8,5
1 4
f (8,5)  100   
2
 22,925
21
Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt:
1. Die Funktion ist streng monoton ………………………..
2. Der Graph schneidet die Ordinate bei ………………………..
3. Die Funktion strebt für x gegen unendlich gegen ………………………..
4. Die Funktion besitzt die „Halbwertszeit“ ………………………..
5. Die Funktion nimmt für x = 65 den Wert ……………………….. an
22
Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt:
1. Die Funktion ist streng monoton fallend
2. Der Graph schneidet die Ordinate bei 80
3. Die Funktion strebt für x gegen unendlich gegen 20
4. Die Funktion besitzt die „Halbwertszeit“ 10
5. Also ist der Funktionsterm gegeben durch
x
 1  x1
f ( x)   Ao  A     2  A
2
x
x
 1 10
 1 10
  80  20      20  60     20
2
2
65
 1  10
f (65)  60     20  20, 663
2
Die Funktion nimmt für x = 65 den Wert 20,663 an.
23
Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt:
1. Die Funktion ist streng monoton ………………..
2. Der Graph schneidet die Ordinate bei ………………..
3. Die Funktion strebt für x gegen minus unendlich gegen ………………..
4. Die Funktion besitzt die „Halbwertszeit“ ………………..
5. Die Funktion nimmt für x = 23 den Wert ……………….. an
6. Für welchen x-Wert nimmt die Funktion den Wert 111 an?
24
Notieren Sie einen Funktionsterm, der den nachfolgenden Graphen beschreibt:
1. Die Funktion ist streng monoton steigend
2. Der Graph schneidet die Ordinate bei 60
3. Die Funktion strebt für x gegen minus unendlich gegen 0
4. Die Funktion besitzt die „Verdopplungszeit“ 10
5. Also ist der Funktionsterm gegeben durch
x
x2
f ( x)   Ao  A   2  A
x
10
  60  0   2  0  60  2
x
10
23
10
f (23)  80  2
 393,966
Die Funktion nimmt für x = 23 den Wert 393,966 an.
25
6. Mit der Logarithmusfunktion erhält man dann:
x
y  60  210
x
y
 210
60
x
 y 
 log  
10
2  60 
 y 
log  
 y 
 60 
x  10  log    10 
log(2)
2  60 
 y 
 111 
log  
log 

 60   10 
 60   8,875
x  10 
log(2)
log(2)
x = 8,875.
26
Altersbestimmung mittels C14
Bei der Untersuchung des Turiner Grabtuchs wird festgestellt, dass der C-14
Gehalt nur noch (92  0,5)% des Anfangswertes beträgt.
Berechnen Sie das Alter des Tuchs, wenn die Halbwertszeit von C-14 5730
Jahre beträgt.
Quelle: Secondo Pia
http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Shroud-of-Turin-1898-photo.jpg
Diese Bild- oder Mediendatei ist gemeinfrei, weil ihre urheberrechtliche Schutzfrist abgelaufen ist.
Quelle: Fotografie von Giuseppe Enrie
http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Turiner_Grabtuch_Gesicht_negativ_klein.jpg
Die Schutzdauer für das von dieser Datei gezeigte Werk ist nach den Maßstäben des deutschen, des österreichischen und des
schweizerischen Urheberrechts abgelaufen.
27
Nach obigen Angaben beträgt die heutige Aktivität noch 92% von Ao.
Die Aktivität ist gegeben durch
A(t )   Ao  A   0,5
0,92  Ao  Ao  0,5
t
5730 a
t
T1/ 2
 A
0
t
 log 0,5 0,92
5730 a
t  5730 a  log 0,5 0,92
 5730 a 
log 0,92
log 0,5
 690 a
Für 91,5% bzw. 92,5% ergibt sich:
t  5730 a  log 0,5 0,915
 5730 a 
log 0,915
log 0,5
 734 a
t  5730 a  log 0,5 0,925
 5730 a 
log 0,925
log 0,5
 644 a
Demzufolge wurde das Grabtuch etwa um 1300 n.Ch mit einer Ungenauigkeit von
ca. 50 Jahren hergestellt.
28
zeitlicher Abstand der Aufnahmen: t=10s
Diese Bild- oder Mediendatei wurde von ihrem Urheber zur
uneingeschränkten Nutzung freigegeben – P. Bastgen
Formulieren Sie selber eine Aufgabe
und bearbeiten Sie diese.
29
Abkühlung
Mathematisch ähnlich wie das beschränkte Wachstum kann die Abkühlung eines Körpers beschrieben werden, dessen Temperatur höher ist als die der Umgebung.
Y=A(x) sei die Temperatur des Körpers zum Zeitpunkt x,
a sei die Temperatur zur Zeit x = 0 und U die konstante Umgebungstemperatur.
Dann ist
x
 1  x1
T ( x)  T0  U     2  U
2
30
Abkühlung von Schokolade
Eine Tasse warme Schokolade (28,5°C) wird um Mitternacht bei einer konstanten Umgebungstemperatur von 17,4°C entdeckt.
Nach Ablauf von 2 Stunden beträgt die Temperatur der Schokolade noch 23,2°C.
Für Kommissar Derrick ist es wichtig zu wissen, wann die Schokolade aufgegossen wurde.
Er geht davon aus, dass sie anfangs eine Temperatur von 37°C hatte.
Die Halbwertszeit ergibt sich aus
x1
 1  x1
T ( x1 )  T0  U     2  U
2
x1
 1  x 12 T ( x1 )  U 
  
T0  U 
2
x
1  log  T ( x1 )  U  
0,5 
 T  U  
x
0


1
2
x
1

2
x
1
 T ( x1 )  U  
log 0,5 

 T0  U  
Die gesuchte Zeitspanne erhält man dann mit
xT
 1  x1
T ( xT )  T0  U     2  U  37
2
xT
 1  x 12  37  U 
  
T0  U 
2
x
T  log   37  U  
0,5 
 T  U  
x
 0

1
2
x 
T
x
  37  U  
1
log 0,5 

 T ( x1 )  U  
T0  U  

log 0,5 

 T0  U  
  37  U  
log 

T0  U  

x
1
 T ( x1 )  U  
log 

 T0  U  
Eingesetzt liefern die Werte in Stunden vor der ersten Messung: xT = −1,752
Die Schokolade wurde also etwa 1h 45 min vor Mitternacht zubereitet.
31
Radioaktiver Zerfall
Die Radioaktivität das Gases Thoron wird wie folgt aufgenommen:
1. Bestätigen Sie, dass es sich um eine Exponentialfunktion handelt
2. Bestimmen Sie die Halbwertszeit
3. Berechnen Sie die Aktivität nach 555 s, wenn die Aktivität zu Beginn des
Experimentes 33 kBq betrug.
32
Radioaktiver Zerfall
Die Radioaktivität das Gases Thoron wird wie folgt aufgenommen:
Die Halbwertszeit beträgt konstant ca. 61s
Also ergibt sich die Funktion
t
 1 t1
A(t )   Ao  A     2  A
2
t
 1  61s
  33kBq  0    
2
t
 1  61s
 33kBq   
2
555 s
 1  61s
A(555s )  33kBq   
2
 0, 0602 kBq
33