Kapitel 03: Zahlen und Arithmetik

3 Zahlen und Arithmetik
In diesem Kapitel werden Zahlen und einzelne Elemente aus dem Bereich der
Arithmetik rekapituliert. Insbesondere werden die reellen Zahlen eingeführt und
einige Rechenregeln wie Potenzrechnung und Logarithmieren wiederholt.
3.1 Zahlen
Grundlegend für die Mathematik sind die Zahlen. Die Zahlen 1, 2, 3, . . ., die sich
intuitiv aus dem Zählen (z.B. der Finger) ergeben, heißen natürliche Zahlen oder
positive ganze Zahlen und werden mit dem Symbol N bezeichnet. Dazu gehören offenbar die geraden Zahlen 2, 4, 6, . . . und die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, . . .. Natürliche Zahlen sind bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen. Das
heißt, daß die Summe und das Produkt zweier natürlicher Zahlen wieder natürliche Zahlen sind.
Positive und negative ganze Zahlen zusammen mit der 0, also . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .
heißen ganze Zahlen und werden mit Z bezeichnet. Die ganzen Zahlen sind zusätzlich bezüglich der Subtraktion abgeschlossen.
Brüche sind Zahlen wie 27 , die sich als Quotient ab zweier ganzer Zahlen a und
b mit b = 0 darstellen lassen. Sie heißen rationale Zahlen und werden als Q bezeichnet. Verschiedene Brüche können die gleiche rationale Zahl darstellen, zum
Beispiel ist 24 = 12 . Eine besondere Rolle spielen daher die gekürzten Brüche, deren
Zähler und Nenner teilerfremd sind und der Nenner stets positiv ist. Wir können
daher jede rationale Zahl durch viele Brüche aber nur mit genau einem gekürzten
Bruch darstellen. Die rationalen Zahlen sind bezüglich aller vier Grundrechenarten +, −, ·, : abgeschlossen.
Die ganzen und auch die rationalen Zahlen lassen sich auf der Zahlengeraden
darstellen. Angenommen, wir würden alle rationalen Zahlen, also zuerst die 0,
dann alle (positiven und negativen) Vielfachen von 1, dann alle (positiven und
negativen) Vielfachen von 12 , dann alle (positiven und negativen) Vielfachen von
1
, usw. auf der Zahlengeraden markieren. Es ist verführerisch, zu denken, dann
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gäbe es keine Löcher mehr auf der Zahlengeraden. Schon die Griechen der Antike
bemerkten jedoch, daß dies nicht der Fall ist. Spätestens Euklid
√ sah, daß keine
p 2
ganzen Zahlen p und q existieren, so daß ( q ) = 2 ist. Also ist 2 keine rationale
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3 Zahlen und Arithmetik
Zahl. Um dies zu zeigen, verwenden wir einen indirekten Beweis. Statt also zu
zeigen ” pq ist gekürzter Bruch aus ganzen Zahlen” ⇒ ”( pq )2 = 2” zeigen wir
”( pq )2 = 2” ⇒ ” pq ist nicht gekürzter Bruch aus ganzen Zahlen”. Dabei verwenden
wir also die logische Äquivalenz
(A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B) ⇔ (B ∨ ¬A) ⇔ (¬B ⇒ ¬A).
Nehmen wir also umgekehrt an, es gäbe einen gekürzten Bruch
p2
q2
p2
q2
2
p
q
=
√
2. Also ist
2
ein gekürzter Bruch (warum?). Wegen = 2 ist also p = 2q . Da q und
auch
2
daher q ganze Zahlen sind, ist 2q 2 und daher auch p2 eine gerade Zahl, denn wäre
p ungerade so wäre auch p2 ungerade. Also ist p2 sogar durch 4 teilbar. Wegen
p2 = 2q 2 muss dann aber auch q gerade sein. Dies widerspricht aber unserer
Annahme, daß pq gekürzt ist. Da also ( pq )2 = 2 zu einem Widerspruch führt, ist
√
2 keine rationale Zahl.
Eine für uns übliche Art, Zahlen zu schreiben, ist die so genannte Dezimalschreibweise. Jede natürliche Zahl kann mit Hilfe der zehn Symbole 0, 1, 2, . . . , 9 geschrieben werden. Die Anordnung der Ziffern als Zahl entspricht der Summe von
Vielfachen der Potenzen von 10. Zum Beispiel bedeutet
2003 = 2 · 103 + 0 · 102 + 0 · 101 + 3 · 100 .
Zusammen mit den Symbolen +, − können alle ganzen Zahlen im Dezimalsystem
geschrieben werden. Mit Hilfe von Kommastellen und negativen Potenzen von
10 können wir auch rationale Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind, in Dezimalschreibweise darstellen, zum Beispiel
3.14 = 3 · 100 + 1 · 10−1 + 4 · 10−2.
Jeder Zahl, die auf diese Weise mit endlich vielen Ziffern in Dezimalschreibweise
geschrieben werden kann, ist eine rationale Zahl zugeordnet. Umgekehrt kann
nicht jede rationale Zahl mit endlich vielen Ziffern in Dezimalschreibweise dargestellt werden. Zum Beispiel ist 13 = 0.3̄ = 0.33 . . ., wobei der obere Balken die
zu wiederholenden Ziffern beschreibt oder die Punkte dafür stehen, daß die Ziffer
3 unendlich oft wiederholt wird. Die Dezimalschreibweise jeder rationalen Zahl
ist jedoch periodisch, d.h. ab einer gewissen Stelle der Dezimalschreibweise wiederholen sich die Ziffern unendlich oft in der gleichen Reihenfolge. Zum Beispiel
ist
1
= 0.142857 = 0.142857142857 . . . .
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Eine intuitive Erweiterung der rationalen Zahlen ist offenbar die Menge aller
Zahlen in (unendlicher) Dezimalschreibweise, also auch die nichtperiodischen. Wir
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3 Zahlen und Arithmetik
nennen alle solchen Zahlen, die nicht schon rationale Zahlen sind, irrational. Dazu
gehören zum Beispiel
√
√
1, 01001000100001 . . . , 2, − 11, π, e.
Rationale und irrationale Zahlen zusammen, also alle Zahlen in Dezimalschreibweise, heißen reelle Zahlen und werden mit R bezeichnet. Dies ist die für Ökonomen wichtigste und am häufigsten verwendete Zahlenmenge und wird daher
später weiter vertieft. Reelle Zahlen sind wie die rationalen Zahlen abgeschlossen bezüglich der vier Grundrechenarten, aber darüber hinaus auch bezüglich
der Bildung von Grenzwerten, die in Kap.??? eingehender behandelt werden. Die
reellen Zahlen sind dagegen nicht
√ abgeschlossen bezüglich der Bildung von Wurzelausdrücken. Zum Beispiel ist −1 keine reelle Zahl. Der Abschluss der reellen
Zahlen bezüglich Wurzelaudrücken heißt komplexe Zahlen und wird mit C bezeichnet. Die komplexen Zahlen sind für die Mathematik und auch für die Physik
grundlegend. Da jedoch komplexe Zahlen selten in den Wirtschaftswissenschaften
vorkommen, werden wir uns hier nicht weiter damit befassen.
Offensichtlich gilt N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Die komplexen Zahlen sind also der
allgemeinste der fünf hier aufgeführten Zahlenbegriffe.
3.2 Potenzen und Wurzeln
Das n-fache Produkt
a
· a ·. . . · a
n mal
einer Zahl a ∈ R mit sich selbst wird als die n-te Potenz dieser Zahl bezeichnet.
Dabei heißt a auch Basis oder Grundzahl und n Exponent oder Hochzahl der
Potenz. Man schreibt dafür an .
Der Potenzbegriff wird über die Definition a−n := a1n mit n ∈ N auf ganzzahlige
Exponenten kleiner Null erweitert und mit der Festsetzung a0 := 1 für a = 0
schließlich auf alle ganzzahligen Exponenten ausgedehnt.1 Für das Rechnen mit
Potenzen gilt für alle n, m ∈ Z:
an am =
an
=
am
n n
a b =
an
=
bn
(an )m =
1
an+m
an−m
n
(ab)
a n
b
nm
a
Der Ausdruck 00 ist nicht definiert.
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; a, b ∈ R
; a, b ∈ R, a = 0
; a, b ∈ R
; a, b ∈ R, b = 0
; a, b ∈ R
3 Zahlen und Arithmetik
Beispiel 3.1:
(i) 32 · 33 = 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.
2
1
1
(ii) 554 = 5−2 = 512 = 5·5
= 25
.
2
2
2
2
(iii) 4 · 6 = (4 · 6) = 24 = 576.
3
(iv) (22 ) = 26 = 64.
Für die Potenz an √
= b mit b ≥ 0 und n ∈ N heißt a auch
√ n-te Wurzel aus b und
n
man schreibt a = b für n = 2 und einfach nur a = b für n = 2. Dabei wird b
auch als Radikant bezeichnet. Das Wurzelziehen ist also die inverse Operation der
Potenzierung. Wurzelausdrücke können auch als Potenzen mit nicht ganzzahligen
Exponenten geschrieben werden, indem
√
a1/n := n a.
festgesetzt wird. Dies ist offenbar konsistent zu den oben angeführten PotenzRechenregeln, denn
√
n
an = (an )1/n = an/n = a.
Also gelten entsprechende Rechenregeln für das Wurzelziehen, so daß für das
Rechnen mit Wurzeln mit a, b ≥ 0 und n, m ∈ N folgt:
√
√
√
n
n
n
a √b =
ab
na
√
= n ab
n
b
√
√
n
m = ( n a)m
a
√
√
m n
a = nm a
Beispiel
√ 3.2: 1/2
16 = 16 = 4.
(i)
1/4
1/4
1/4
4
x12 y 8 = (x12 y 8) = (x12 ) (y 8 ) = x12/4 y 8/4 = x3 y 2.
(ii)
√
1/m
(iii) m x n y = xy 1/n
= x1/m y 1/mn .
3.3 Logarithmen
Mit dem Wurzelziehen wurde im vorhergehenden Abschnitt die zur Potenzierung
inverse Operation bezüglich der Basis oder Grundzahl gebildet. Die inverse Operation zur Potenzierung bezüglich des Exponenten oder der Hochzahl ist das so
genannte Logarithmieren.
Für die Potenz ay = x mit a > 0 und a = 1 heißt y auch Logarithmus von x zur
Basis a. Man schreibt dafür y = loga x. Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis
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a ist also diejenige Zahl y, mit der a potenziert werden muß, um x zu erhalten.
Besondere Basen sind in diesem Zusammenhang 10 und die Eulersche Zahl e ≈
2, 718281828, die in vielen verschiedenen Zusammenhängen, insbesondere z.B.
für Wachstumsprozesse bedeutsam ist. Der Logarithmus zur Basis 10 wird häufig
nur mit log x, der Logarithmus zur Basis e mit ln x (für ’logarithmus naturalis’)
bezeichnet.
Beispiel 3.3:
(i) log 100 = 2.
(ii) log2 64 = 6.
(iii) ln 1 = 0.
Für das Rechnen mit Logarithmen gelten folgende Regeln. Für a, b > 0, a, b = 1
und x, y > 0 gilt:
ax
logb x = log
loga b
loga (xy) = loga x + loga y
loga (x/y) = loga x − loga y
loga (xy ) = y loga x
Beispiel 3.4:
(i) log(100 · 10002) = log 100 + log(10002 ) = log 100 + 2 log 1000 = 2 +2 · 3 =
8.
x2 y 3
2
3
5
1
1
2
3
5
(ii) 7 log x + 7 log y − 7 log z = 7 (log(x ) + log(y ) − log(z )) = 7 log z 5 .
Man beachte, daß der Logarithmus nur für Zahlen größer als Null gebildet werden
kann; für alle Zahlen kleiner oder gleich Null ist er nicht definiert.
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