Terme und Formeln: Logarithmen

Terme und Formeln
Logarithmen
Bei der logarithmischen Spirale nimmt der Radius exponentiell mit dem Winkel zu. Die
logarithmische Spirale, von Jakob Bernoulli „Spira mirabilis“ genannt, hat viele schönen
Eigenschaften und tritt in der Natur nicht nur bei der gezeigten Schnecke, sondern auch bei
Spiralnebeln (Galaxien), Sonnenblumen, Zyklonen (Tiefdruckgebiet), Spinnennetzen etc. auf
1. Logarithmische Gleichungen
Definition des Logarithmus
Pro Memoria: Der Logarithmus ist eine weitere Umkehrfunktion der Potenzoperation:
bx = a
x = logb(a)
⇔
a > 0, b > 0 und b  1
wobei a der Numerus und b die Basis.
Rechenregeln
Satz: Für Logarithmen gelten diese Rechenregeln:
loga (u ⋅ v ) = loga u + loga v
§u·
loga ¨ ¸ = loga u − loga v
©v¹
§ 1·
loga ¨ ¸ = − loga v
©v¹
loga ( vr ) = r ⋅ loga v
Beweis: loga (u ⋅ v ) = loga u + loga v
Es sei : u = ax Ÿ x = loga u
v = ay Ÿ y = loga v
Ÿ loga (u ⋅ v ) = loga ( ax ⋅ ay ) = loga ( ax + y ) = x + y = loga u + loga v
Basiswechsel
Satz:
loga x =
ln x log x
=
ln a log a
Beweis: Es sei : a = 10q Ÿ q = log a
u = loga x Ÿ au = x
u
Ÿ (10q ) = 10q⋅u = x
Ÿ log (10q⋅u ) = q ⋅ u = log x
Ÿ loga ⋅ loga x = log x
Ÿ loga x =
log x
log a
Einsetzen von a = 10
q
log
Einsetzen von q und u
: loga
,.
Spezielle Logarithmen
Satz:
loga 1 = 0
Beweis: a0 = 1
Ÿ
0 = loga 1
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2. Übungen
Aufgabe 1: Vereinfache folgende Ausdrücke durch Anwendung der Logarithmengesetze:
§
·
§
1·
2 ¸
© a ¹
a) log(3xy) – log ¨ 3x ¸
b) loga ¨ 3
c) log(x – 3)5
d) loga(a)
© y ¹
Aufgabe 2: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfache soweit wie möglich:
a) m·log(x) – n·log(y)
b) 0.5·log(a2n) – (n+2)·log(a)
Aufgabe 3: Berechne den Wert x auf vier Dezimalen, wenn
a) 2x = 11
b) 5x = 0.08
d) 101/x = 0.1991
c) 10x = 1991
f) 2.3Ã1.5x =17
e) 23 – 4x = 5
Aufgabe 4: Löse folgende Gleichungen nach der Variablen x auf:
b) 21/x = 10x +1
a) 2x = 7x–2
Aufgabe 5: Löse folgende Gleichungen nach x auf:
a) 3logax = 2logax
b) log(9x+5) = 1 + log x
c) log x + log x2 + log x3 + log x4 = 5
n
Aufgabe 6: Für welche natürlichen Zahlen gilt 7 §¨ 3 ·¸ < 10−5?
© 4¹
Aufgabe 7: Was ist grösser 21000 oder 3360? Wie viele Stellen besitzt die Zahl 22000?
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